Simetri turunan kedua: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 08.56

Dalam ilmu matematika, simetri turunan kedua adalah kemungkinan mengganti susunan pencarian turunan parsial suatu fungsi pada kondisi tertentu.

f (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n})

Jika turunan parsial untuk $x_{i}$ ditandai dengan $i$ kecil, maka simetri turunan kedua adalah penegasan bahwa turunan parsial kedua $f_{i j}$ memenuhi identitas:

f_{i j} = f_{j i}

sehingga mereka membentuk n × n matriks simetri. Karakteristik ini juga disebut teorema Schwarz, teorema Clairaut atau teorema Young.^[1]^[2]

Dalam konteks persamaan diferensial parsial, simetri turunan kedua disebut kondisi integrabilitas Schwarz.

Pernyataan simetri secara formil

Simetri ini dapat ditulis sebagai berikut:

\frac{\partial}{\partial x} (\frac{\partial f}{\partial y}) = \frac{\partial}{\partial y} (\frac{\partial f}{\partial x}) .

Ekspresi lain yang dapat digunakan adalah:

\partial_{x y} f = \partial_{y x} f .

Teorema Schwarz

Teorema Schwarz menyatakan bahwa jika

f : ℝ^{n} \to ℝ

memiliki turunan parsial kedua kontinu pada titik manapun di $ℝ^{n}$ , misalnya, $(a_{1}, \dots, a_{n}),$ maka $\forall i, j \in {1, 2, \dots, n},$

\frac{\partial^{2} f}{\partial x_{i} \partial x_{j}} (a_{1}, \dots, a_{n}) = \frac{\partial^{2} f}{\partial x_{j} \partial x_{i}} (a_{1}, \dots, a_{n}) .

Bacaan lanjut

Referensi

↑ Salinan arsip.
↑ R. G. D. Allen. Mathematical Analysis for Economists. St. Martin's Press. 1964. hlm. 300–305.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 18088072 (2021-03-07T21:38:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Salinan arsip.

[2] R. G. D. Allen. Mathematical Analysis for Economists. St. Martin's Press. 1964. hlm. 300–305.

[1]

[2]

@@ Baris 6: / Baris 6: @@
 :<math>f_{ij}=f_{ji}</math>
-sehingga mereka membentuk ''n'' × ''n'' [[matriks simetri]]. Karakteristik ini juga disebut '''teorema Schwarz''', '''teorema Clairaut''' atau '''teorema Young'''.
+sehingga mereka membentuk ''n'' × ''n'' [[matriks simetri]]. Karakteristik ini juga disebut '''teorema Schwarz''', '''teorema Clairaut''' atau '''teorema Young'''.<ref>[http://are.berkeley.edu/courses/ARE210/fall2005/lecture_notes/Young%27s-Theorem.pdf Salinan arsip].</ref><ref>R. G. D. Allen. [https://books.google.com/books?id=fgm9O6reUcsC&pg=PA300 Mathematical Analysis for Economists]. St. Martin's Press. 1964. hlm. 300–305.</ref>
 Dalam konteks [[persamaan diferensial parsial]], simetri turunan kedua disebut '''kondisi integrabilitas Schwarz'''.
@@ Baris 26: / Baris 26: @@
 :<math>\frac{\partial^2 f}{\partial x_i\, \partial x_j}(a_1, \dots, a_n) = \frac{\partial^2 f}{\partial x_j\, \partial x_i}(a_1, \dots, a_n).</math>
-== Catatan kaki ==
 == Bacaan lanjut ==
 *
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Simetri+turunan+kedua&oldid=18088072 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 18088072 (2021-03-07T21:38:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->