Teorema Stokes rampat: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 18.11

Dalam kalkulus vektor, dan lebih umum lagi geometri diferensial, teorema Stokes rampat (terkadang dieja teorema Stokes, dan juga disebut teorema Stokes–Cartan^[1]) adalah pernyataan tentang integrasi dari bentuk diferensial pada manifold, yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa teorema dari kalkulus vektor. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial di atas batas dari beberapa berorientasi lipatan sama dengan integral turunan luar di seluruh , yaitu:

\int_{\partial Ω} ω = \int_{Ω} d ω .

Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh Élie Cartan pada tahun 1945,^[2] mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh Vito Volterra, Édouard Goursat, dan Henri Poincaré.^[3]^[4]

Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari hasil klasik yang ditentukan oleh Lord Kelvin dikomunikasikan kepada George Stokes dalam surat tertanggal 2 Juli 1850.^[5]^[6]^[7] Stokes set the theorem as a question on the 1854 Smith's Prize exam, which led to the result bearing his name. It was first published by Hermann Hankel in 1861.^[8]^[9] Kelvin–Stokes teorema klasik tersebut menghubungkan integral permukaan dari curl dari bidang vektor di atas permukaan (yaitu, fluks dari ) di Euclidean tiga ruang ke integral garis dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop).

Contoh analisis vektor klasik sederhana

Mari menjadi sedikit demi sedikit mulus kurva bidang Jordan. Teorema kurva Yordania menyiratkan hal itu membagi menjadi dua komponen, satu kompak satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh dan misalkan halus, dengan . Jika adalah kurva spasi yang ditentukan oleh ^[10] dan adalah bidang vektor mulus pada , kemudian:^[11]^[12]^[13]

\oint_{Γ} 𝐅 \cdot d 𝜞 = \iint_{S} \nabla \times 𝐅 \cdot d 𝐒

Pernyataan klasik ini, bersama dengan teorema divergensi klasik, teorema dasar kalkulus, dan Teorema Green hanyalah kasus-kasus khusus dari rumusan umum yang dinyatakan sebagai.

Pengantar

Teorema dasar kalkulus menyatakan bahwa integral dari suatu fungsi selama interval dapat dihitung dengan mencari antiturunan of :

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a) .

Teorema Stokes adalah rampatan yang luas dari teorema ini dalam pengertian. Jadi, sama seperti seseorang dapat menemukan nilai integral () di atas manifold 1 dimensi () dengan mempertimbangkan anti turunan () di batas 0-dimensi (), seseorang dapat menggeneralisasi teorema dasar kalkulus, dengan beberapa peringatan tambahan, untuk menangani nilai integral () di atas -manifold dimensional () dengan mempertimbangkan antiturunan () pada -batas dimensi () dari manifold tersebut.

Jadi teorema fundamental berbunyi:

\int_{[a, b]} f (x) d x = \int_{[a, b]} d F = \int_{{a}^{-} \cup {b}^{+}} F = F (b) - F (a) .

Formulasi untuk lipatan halus dengan batas

Jadi menjadi berorientasi lipatan halus dengan batas dimensi dan biarkan jadi polos -bentuk diferensial yaitu didukung secara kompak aktif . Pertama, anggap saja didukung secara kompak dalam domain tunggal, berorientasi diagram koordinat . Dalam kasus ini, kami mendefinisikan integral dari atas sebagai

\int_{Ω} α = \int_{φ (U)} {(φ^{- 1})}^{*} α,

yaitu, melalui pullback dari ke .

Secara umum, integral dari di atas didefinisikan sebagai berikut: biar menjadi partisi kesatuan terkait dengan terbatas lokal sampul dari bagan koordinat (berorientasi konsisten), lalu tentukan integralnya

\int_{Ω} α \equiv \sum_{i} \int_{U_{i}} ψ_{i} α,

di mana setiap suku dalam penjumlahan dievaluasi dengan menarik kembali ke seperti dijelaskan di atas. Kuantitas ini didefinisikan dengan baik; artinya, ini tidak bergantung pada pilihan bagan koordinat, atau pembagian kesatuan.

Teorema Stokes tergeneralisasi berbunyi:

Secara konvensional, $\int_{\partial Ω} i^{*} ω$ disingkat sebagai $\int_{\partial Ω} ω$ , karena kemunduran bentuk diferensial oleh peta inklusi hanyalah pembatasannya pada domainnya: $i^{*} ω = ω |_{\partial Ω}$ . Saat $d$ adalah turunan eksterior, yang didefinisikan hanya dengan menggunakan struktur manifold. Sisi kanan terkadang ditulis sebagai $\oint_{\partial Ω} ω$ untuk menekankan fakta bahwa $(n - 1)$ -manifold $\partial Ω$ tidak memiliki batasan.^[14] (Fakta ini juga merupakan implikasi dari teorema Stokes, karena untuk kelancaran tertentu $n$ -berjenis dimensi $Ω$ , penerapan teorema dua kali memberi $\int_{\partial (\partial Ω)} ω = \int_{Ω} d (d ω) = 0$ untuk apapun $(n - 2)$ -bentuk $ω$ , yang menyiratkan itu $\partial (\partial Ω) = \emptyset$ .) Ruas kanan persamaan sering digunakan untuk merumuskan hukum integral; sisi kiri kemudian mengarah ke formulasi diferensial ekivalen (lihat di bawah).

The theorem is often used in situations where $Ω$ is an embedded oriented submanifold of some bigger manifold, often $𝐑^{k}$ , on which the form $ω$ is defined.

Pendahuluan topologi; integral melalui rantai

Maka menjadi lipatan halus. Simpleks- dengan didefinisikan sebagai peta dari simplekd standar pada ke . Grup dari singular kaidah- pada didefinisikan sebagai grup abelian bebas pada himpunan singular sederhana dalam . Grup ini, dengan peta batas, , mendefinisikan kompleks kaidah. Grup homologi (resp. Kohomologi) yang sesuai adalah isomorfik dari grup homologi tunggal biasa (resp. grup kohomologi tunggal ), didefinisikan menggunakan kesederhanaan berkelanjutan dari .

Di sisi lain, bentuk diferensial, dengan turunan eksterior, , sebagai peta penghubung, membentuk kompleks cochain, yang mendefinisikan grup kohomologi de Rham .

Prinsip pendasar

Untuk menyederhanakan argumen topologis ini, ada baiknya untuk memeriksa prinsip yang mendasari dengan mempertimbangkan contoh untuk dimensi . Ide esensial dapat dipahami dengan diagram di sebelah kiri, yang menunjukkan bahwa, dalam petak berorientasikan manifold, jalur interior dilintasi dalam arah yang berlawanan; kontribusi mereka ke integral jalan sehingga membatalkan satu sama lain secara berpasangan. Akibatnya, hanya kontribusi dari batas yang tersisa. Dengan demikian, cukup untuk membuktikan teorema Stokes untuk kemiringan yang cukup halus (atau, setara, sederhana), yang biasanya tidak sulit.

Rampat himpunan kasar

Rumus di atas, di mana adalah lipatan halus dengan batas, tidak mencukupi dalam banyak aplikasi. Misalnya, jika domain integrasi didefinisikan sebagai bidang bidang antara dua koordinat dan grafik dari dua fungsi, akan sering terjadi bahwa domain tersebut memiliki sudut. Dalam kasus, titik sudut berarti bahwa bukan lipatan halus dengan batas, sehingga pernyataan teorema Stokes yang diberikan di atas tidak berlaku. Namun demikian, kesimpulan dari teorema Stokes. Ini karena dan batasnya berperilaku baik menjauh dari sekumpulan kecil titik (himpunan mengukur nol).

Lihat pula

Catatan penting

Bacaan lebih lanjut

Pranala luar

Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem
Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu – an expository explanation

Referensi

↑ Fisika Collisional Plasmas - Pengantar Michel Moisan Springer.
↑ Élie Cartan. Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques. Hermann. 1945.
↑ Victor J. Katz. Sejarah Teorema Stokes. Mathematics Magazine. 1979-01-01. Vol. 52 (3). hlm. 146–156. doi:10.2307/2690275.
↑ Victor J. Katz. Sejarah Topologi. Elsevier. 1999. hlm. 111–122. ISBN 9780444823755.
↑ Lihat: * Victor J. Katz. Sejarah teorema Stokes. Mathematics Magazine. Mei 1979. Vol. 52 (3). hlm. 146–156. doi:10.1080/0025570x.1979.11976770. * Surat dari Thomson kepada Stokes muncul di: William Thomson. Korespondensi antara Sir George Gabriel Stokes dan Sir William Thomson, Baron Kelvin dari Largs, Volume 1: 1846–1869. Cambridge University Press. 1990. hlm. 96–97. ISBN 9780521328319. * Baik Thomson maupun Stokes tidak mempublikasikan bukti teorema tersebut. Bukti terbitan pertama kali muncul pada tahun 1861 di: Hermann Hankel. Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten. Dieterische University Buchdruckerei. 1861. hlm. 34–37. Hankel doesn't mention the author of the theorem. * Dalam catatan kaki, Larmor menyebutkan peneliti sebelumnya yang telah mengintegrasikan, di atas permukaan, lengkungan bidang vektor. Lihat: George Gabriel Stokes. Makalah Matematika dan Fisika oleh almarhum Sir George Gabriel Stokes. University of Cambridge Press. 1905. Vol. 5. hlm. 320–321.
↑ Olivier Darrigol. Elektrodinamika dari Ampère ke Einstein. 2000. hlm. 146. ISBN 0198505930.
↑ Spivak (1965), p. vii, Preface.
↑ Spivak (1965), p. vii, Preface.
↑ See: * Ujian Hadiah 1854 Smith tersedia online di: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell mengambil ujian ini dan terikat untuk tempat pertama dengan Edward John Routh. Lihat: James Clerk Maxwell. The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge University Press. 1990. hlm. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation. * James Clerk Maxwell. A Treatise on Electricity and Magnetism. Clarendon Press. 1873. Vol. 1. hlm. 25–27. Dalam catatan kaki di halaman 27, Maxwell menyebutkan bahwa Stokes menggunakan teorema sebagai pertanyaan 8 dalam Smith's Prize Examination tahun 1854. Catatan kaki ini tampaknya menjadi penyebab teorema itu dikenali.".
↑ dan keduanya adalah loop, belum tentu merupakan kurva Yordania
↑ James Stewart. Kalkulus Esensial: Transendental Awal. Cole. 2010.
↑ Bukti ini berdasarkan Catatan Kuliah yang diberikan oleh Prof. Robert Scheichl (University of Bath, Inggris) [1], please refer the [2]
↑ This proof is also same to the proof shown in
↑ Bagi matematikawan fakta ini diketahui, oleh karena itu lingkaran itu berlebihan dan sering dihilangkan. Namun, orang harus ingat di sini bahwa di termodinamika, di mana sering diekspresikan sebagai muncul (di mana turunan total, lihat di bawah, jangan bingung dengan yang eksterior), jalur integral adalah garis tertutup satu dimensi pada lipatan berdimensi jauh lebih tinggi. Artinya, dalam aplikasi termodinamika, di mana adalah fungsi dari suhu , volume , dan polarisasi listrik dari sampel, seseorang memiliki : \{d_\text{total}U\}=\sum_{i=1}^3\frac{\partial U}{\partial\alpha_i}\,d\alpha_i\,, dan lingkaran sangat diperlukan, mis. jika seseorang mempertimbangkan konsekuensi diferensial dari postulat integral : \oint_W\,\{d_\text{total}U\}\, \stackrel{!}{=}\,0\,.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29587278 (2026-08-16T07:55:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Fisika Collisional Plasmas - Pengantar Michel Moisan Springer.

[2] Élie Cartan. Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques. Hermann. 1945.

[3] Victor J. Katz. Sejarah Teorema Stokes. Mathematics Magazine. 1979-01-01. Vol. 52 (3). hlm. 146–156. doi:10.2307/2690275.

[4] Victor J. Katz. Sejarah Topologi. Elsevier. 1999. hlm. 111–122. ISBN 9780444823755.

[5] Lihat: * Victor J. Katz. Sejarah teorema Stokes. Mathematics Magazine. Mei 1979. Vol. 52 (3). hlm. 146–156. doi:10.1080/0025570x.1979.11976770. * Surat dari Thomson kepada Stokes muncul di: William Thomson. Korespondensi antara Sir George Gabriel Stokes dan Sir William Thomson, Baron Kelvin dari Largs, Volume 1: 1846–1869. Cambridge University Press. 1990. hlm. 96–97. ISBN 9780521328319. * Baik Thomson maupun Stokes tidak mempublikasikan bukti teorema tersebut. Bukti terbitan pertama kali muncul pada tahun 1861 di: Hermann Hankel. Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten. Dieterische University Buchdruckerei. 1861. hlm. 34–37. Hankel doesn't mention the author of the theorem. * Dalam catatan kaki, Larmor menyebutkan peneliti sebelumnya yang telah mengintegrasikan, di atas permukaan, lengkungan bidang vektor. Lihat: George Gabriel Stokes. Makalah Matematika dan Fisika oleh almarhum Sir George Gabriel Stokes. University of Cambridge Press. 1905. Vol. 5. hlm. 320–321.

[6] Olivier Darrigol. Elektrodinamika dari Ampère ke Einstein. 2000. hlm. 146. ISBN 0198505930.

[7] Spivak (1965), p. vii, Preface.

[8] Spivak (1965), p. vii, Preface.

[9] See: * Ujian Hadiah 1854 Smith tersedia online di: Clerk Maxwell Foundation. Maxwell mengambil ujian ini dan terikat untuk tempat pertama dengan Edward John Routh. Lihat: James Clerk Maxwell. The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862. Cambridge University Press. 1990. hlm. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the Clerk Maxwell Foundation. * James Clerk Maxwell. A Treatise on Electricity and Magnetism. Clarendon Press. 1873. Vol. 1. hlm. 25–27. Dalam catatan kaki di halaman 27, Maxwell menyebutkan bahwa Stokes menggunakan teorema sebagai pertanyaan 8 dalam Smith's Prize Examination tahun 1854. Catatan kaki ini tampaknya menjadi penyebab teorema itu dikenali.".

[10] uanya adalah loop, belum tentu merupakan kurva Yordania

[11] James Stewart. Kalkulus Esensial: Transendental Awal. Cole. 2010.

[12] Bukti ini berdasarkan Catatan Kuliah yang diberikan oleh Prof. Robert Scheichl (University of Bath, Inggris) [1], please refer the [2]

[13] This proof is also same to the proof shown in

[14] Bagi matematikawan fakta ini diketahui, oleh karena itu lingkaran itu berlebihan dan sering dihilangkan. Namun, orang harus ingat di sini bahwa di termodinamika, di mana sering diekspresikan sebagai muncul (di mana turunan total, lihat di bawah, jangan bingung dengan yang eksterior), jalur integral adalah garis tertutup satu dimensi pada lipatan berdimensi jauh lebih tinggi. Artinya, dalam aplikasi termodinamika, di mana adalah fungsi dari suhu , volume , dan polarisasi listrik dari sampel, seseorang memiliki : \{d_\text{total}U\}=\sum_{i=1}^3\frac{\partial U}{\partial\alpha_i}\,d\alpha_i\,, dan lingkaran sangat diperlukan, mis. jika seseorang mempertimbangkan konsekuensi diferensial dari postulat integral : \oint_W\,\{d_\text{total}U\}\, \stackrel{!}{=}\,0\,.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam [[kalkulus vektor]], dan lebih umum lagi [[geometri diferensial]], '''teorema Stokes''' rampat (terkadang dieja '''teorema Stokes''', dan juga disebut '''teorema Stokes–Cartan''') adalah pernyataan tentang [[Integral|integrasi]] dari [[bentuk diferensial]] pada [[manifold]], yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa [[teorema]] dari [[kalkulus vektor]]. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial  di atas [[Batas lipatan|batas]] dari beberapa [[Orientasi (ruang vektor)#Orientasi pada lipatan|berorientasi]] lipatan  sama dengan integral [[turunan luar]]  di seluruh , yaitu:
+Dalam [[kalkulus vektor]], dan lebih umum lagi [[geometri diferensial]], '''teorema Stokes''' rampat (terkadang dieja '''teorema Stokes''', dan juga disebut '''teorema Stokes–Cartan'''<ref>[https://www.springer.com/gp/book/9789400745575 Fisika Collisional Plasmas - Pengantar Michel Moisan Springer].</ref>) adalah pernyataan tentang [[Integral|integrasi]] dari [[bentuk diferensial]] pada [[manifold]], yang menyederhanakan dan menggeneralisasi beberapa [[teorema]] dari [[kalkulus vektor]]. Teorema Stokes mengatakan bahwa integral dari suatu bentuk diferensial  di atas [[Batas lipatan|batas]] dari beberapa [[Orientasi (ruang vektor)#Orientasi pada lipatan|berorientasi]] lipatan  sama dengan integral [[turunan luar]]  di seluruh , yaitu:
 : <math>\int_{\partial \Omega}\omega=\int_\Omega d\omega\,.</math>
-Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh [[Élie Cartan]] pada tahun 1945, mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh [[Vito Volterra]], [[Édouard Goursat]], dan [[Henri Poincaré]].
+Teorema Stokes 'dirumuskan dalam bentuk modern oleh [[Élie Cartan]] pada tahun 1945,<ref>Élie Cartan. ''Les Systèmes Différentiels Extérieurs et leurs Applications Géométriques''. Hermann. 1945.</ref> mengikuti pekerjaan sebelumnya pada generalisasi teorema kalkulus vektor oleh [[Vito Volterra]], [[Édouard Goursat]], dan [[Henri Poincaré]].<ref>Victor J. Katz. [https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1979-05_52_3/page/146 Sejarah Teorema Stokes]. ''Mathematics Magazine''. 1979-01-01. Vol. 52 (3). hlm. 146–156. doi:10.2307/2690275.</ref><ref>Victor J. Katz. [https://archive.org/details/historyoftopolog0000unse Sejarah Topologi]. Elsevier. 1999. hlm. [https://archive.org/details/historyoftopolog0000unse/page/111 111]–122. ISBN 9780444823755.</ref>
-Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari [[Teorema#Kelvin–Stokes|hasil klasik]] yang ditentukan oleh [[William Thomson, 1 Baron Kelvin|Lord Kelvin]] dikomunikasikan kepada [[Sir George Stokes, Baronet ke-1|George Stokes]] dalam surat tertanggal 2 Juli 1850. Stokes set the theorem as a question on the 1854 [[Smith's Prize]] exam, which led to the result bearing his name.  It was first published by [[Hermann Hankel]] in 1861. [[Kelvin–Stokes teorema]] klasik tersebut menghubungkan [[integral permukaan]] dari [[Curl (matematika)|curl]] dari [[bidang vektor]]  di atas permukaan (yaitu, [[fluks]] dari ) di Euclidean tiga ruang ke [[integral garis]] dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop).
+Bentuk modern dari teorema Stokes 'ini adalah generalisasi luas dari [[Teorema#Kelvin–Stokes|hasil klasik]] yang ditentukan oleh [[William Thomson, 1 Baron Kelvin|Lord Kelvin]] dikomunikasikan kepada [[Sir George Stokes, Baronet ke-1|George Stokes]] dalam surat tertanggal 2 Juli 1850.<ref>Lihat: * Victor J. Katz. [https://archive.org/details/sim_mathematics-magazine_1979-05_52_3/page/146 Sejarah teorema Stokes]. ''Mathematics Magazine''. Mei 1979. Vol. 52 (3). hlm. 146–156. doi:10.1080/0025570x.1979.11976770. * Surat dari Thomson kepada Stokes muncul di: William Thomson. [https://books.google.com/books?id=YrjkOEdC83gC&pg=PA97#v=onepage&q&f=false Korespondensi antara Sir George Gabriel Stokes dan Sir William Thomson, Baron Kelvin dari Largs, Volume 1: 1846–1869]. Cambridge University Press. 1990. hlm. 96–97. ISBN 9780521328319. * Baik Thomson maupun Stokes tidak mempublikasikan bukti teorema tersebut. Bukti terbitan pertama kali muncul pada tahun 1861 di: Hermann Hankel. [http://babel.hathitrust.org/cgi/pt?id=mdp.39015035826760#page/34/mode/1up Zur allgemeinen Theorie der Bewegung der Flüssigkeiten]. Dieterische University Buchdruckerei. 1861. hlm. 34–37. Hankel doesn't mention the author of the theorem. * Dalam catatan kaki, Larmor menyebutkan peneliti sebelumnya yang telah mengintegrasikan, di atas permukaan, lengkungan bidang vektor. Lihat: George Gabriel Stokes. [https://books.google.com/books?id=O28ssiqLT9AC&pg=PA320#v=onepage&q&f=false Makalah Matematika dan Fisika oleh almarhum Sir George Gabriel Stokes]. University of Cambridge Press. 1905. Vol. 5. hlm. 320–321.</ref><ref>Olivier Darrigol. [https://archive.org/details/electrodynamicsf0000oliv Elektrodinamika dari Ampère ke Einstein]. 2000. hlm. [https://archive.org/details/electrodynamicsf0000oliv/page/146 146]. ISBN 0198505930.</ref><ref>Spivak (1965), p. vii, Preface.</ref> Stokes set the theorem as a question on the 1854 [[Smith's Prize]] exam, which led to the result bearing his name.  It was first published by [[Hermann Hankel]] in 1861.<ref>Spivak (1965), p. vii, Preface.</ref><ref>See: * Ujian Hadiah 1854 Smith tersedia online di: [http://www.clerkmaxwellfoundation.org/SmithsPrizeExam_Stokes.pdf Clerk Maxwell Foundation]. Maxwell mengambil ujian ini dan terikat untuk tempat pertama dengan Edward John Routh. Lihat: James Clerk Maxwell. [https://books.google.com/books?id=zfM8AAAAIAAJ&pg=PA237#v=onepage&q&f=false The Scientific Letters and Papers of James Clerk Maxwell, Volume I: 1846–1862]. Cambridge University Press. 1990. hlm. 237, footnote 2. ISBN 9780521256254. See also Smith's prize or the [http://www.clerkmaxwellfoundation.org/SmithsPrizeSolutions2008_2_14.pdf Clerk Maxwell Foundation]. * James Clerk Maxwell. [https://books.google.com/books?id=92QSAAAAIAAJ&pg=PA27#v=onepage&q&f=false A Treatise on Electricity and Magnetism]. Clarendon Press. 1873. Vol. 1. hlm. 25–27. Dalam catatan kaki di halaman 27, Maxwell menyebutkan bahwa Stokes menggunakan teorema sebagai pertanyaan 8 dalam Smith's Prize Examination tahun 1854. Catatan kaki ini tampaknya menjadi penyebab teorema itu dikenali.".</ref> [[Kelvin–Stokes teorema]] klasik tersebut menghubungkan [[integral permukaan]] dari [[Curl (matematika)|curl]] dari [[bidang vektor]]  di atas permukaan (yaitu, [[fluks]] dari ) di Euclidean tiga ruang ke [[integral garis]] dari bidang vektor di atas batasnya (juga dikenal sebagai integral loop).
 '''Contoh analisis vektor klasik sederhana'''
-Mari  menjadi [[sedikit demi sedikit]] mulus [[Kurva Jordan|kurva bidang Jordan]]. [[Teorema kurva Yordania]] menyiratkan hal itu  membagi  menjadi dua komponen, satu [[Ruang kompak|kompak]] satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan  menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh  dan misalkan  halus, dengan . Jika  adalah [[kurva spasi]] yang ditentukan oleh  dan  adalah bidang vektor mulus pada , kemudian:
+Mari  menjadi [[sedikit demi sedikit]] mulus [[Kurva Jordan|kurva bidang Jordan]]. [[Teorema kurva Yordania]] menyiratkan hal itu  membagi  menjadi dua komponen, satu [[Ruang kompak|kompak]] satu sama lain yang tidak kompak. Membiarkan  menunjukkan bagian kompak yang dibatasi oleh  dan misalkan  halus, dengan . Jika  adalah [[kurva spasi]] yang ditentukan oleh <ref>dan keduanya adalah loop, belum tentu merupakan kurva Yordania</ref> dan  adalah bidang vektor mulus pada , kemudian:<ref>James Stewart. ''Kalkulus Esensial: Transendental Awal''. Cole. 2010.</ref><ref>Bukti ini berdasarkan Catatan Kuliah yang diberikan oleh Prof. Robert Scheichl (University of Bath, Inggris) [http://www.maths.bath.ac.uk/~masrs/ma20010/], please refer the [http://www.maths.bath.ac.uk/~masrs/ma20010/stokesproofs.pdf]</ref><ref>This proof is also same to the proof shown in</ref>
 : <math>\oint_\Gamma \mathbf{F}\, \cdot\, d{\mathbf{\Gamma}}  = \iint_S \nabla\times\mathbf{F}\, \cdot\, d\mathbf{S} </math>
@@ Baris 42: / Baris 42: @@
 Teorema Stokes tergeneralisasi berbunyi:
+Secara konvensional, <math display="inline">\int_{\partial\Omega} i^*\omega</math> disingkat sebagai <math display="inline">\int_{\partial\Omega} \omega</math>, karena kemunduran bentuk diferensial oleh peta inklusi hanyalah pembatasannya pada domainnya: <math>i^*\omega=\omega|_{\partial\Omega}</math>.  Saat <math>d</math> adalah  [[turunan eksterior]], yang didefinisikan hanya dengan menggunakan struktur manifold. Sisi kanan terkadang ditulis sebagai <math display="inline">\oint_{\partial\Omega} \omega</math> untuk menekankan fakta bahwa <math>(n-1)</math>-manifold <math>\partial\Omega</math> tidak memiliki batasan.<ref>Bagi matematikawan fakta ini diketahui, oleh karena itu lingkaran itu berlebihan dan sering dihilangkan. Namun, orang harus ingat di sini bahwa di termodinamika, di mana sering diekspresikan sebagai muncul (di mana turunan total, lihat di bawah, jangan bingung dengan yang eksterior), jalur integral adalah garis tertutup satu dimensi pada lipatan berdimensi jauh lebih tinggi. Artinya, dalam aplikasi termodinamika, di mana adalah fungsi dari suhu , volume , dan polarisasi listrik dari sampel, seseorang memiliki : \{d_\text{total}U\}=\sum_{i=1}^3\frac{\partial U}{\partial\alpha_i}\,d\alpha_i\,, dan lingkaran sangat diperlukan, mis. jika seseorang mempertimbangkan konsekuensi diferensial dari postulat integral : \oint_W\,\{d_\text{total}U\}\, \stackrel{!}{=}\,0\,.</ref> (Fakta ini juga merupakan implikasi dari teorema Stokes, karena untuk kelancaran tertentu <math>n</math>-berjenis dimensi <math>\Omega</math>, penerapan teorema dua kali memberi <math display="inline">\int_{\partial(\partial \Omega)}\omega=\int_\Omega d(d\omega)=0</math> untuk apapun <math>(n-2)</math>-bentuk <math>\omega</math>, yang menyiratkan itu <math>\partial(\partial\Omega)=\emptyset</math>.) Ruas kanan persamaan sering digunakan untuk merumuskan hukum integral; sisi kiri kemudian mengarah ke formulasi diferensial ekivalen (lihat di bawah).
-Secara konvensional, <math display="inline">\int_{\partial\Omega} i^*\omega</math> disingkat sebagai <math display="inline">\int_{\partial\Omega} \omega</math>, karena kemunduran bentuk diferensial oleh peta inklusi hanyalah pembatasannya pada domainnya: <math>i^*\omega=\omega|_{\partial\Omega}</math>.  Saat <math>d</math> adalah  [[turunan eksterior]], yang didefinisikan hanya dengan menggunakan struktur manifold. Sisi kanan terkadang ditulis sebagai <math display="inline">\oint_{\partial\Omega} \omega</math> untuk menekankan fakta bahwa <math>(n-1)</math>-manifold <math>\partial\Omega</math> tidak memiliki batasan. (Fakta ini juga merupakan implikasi dari teorema Stokes, karena untuk kelancaran tertentu <math>n</math>-berjenis dimensi <math>\Omega</math>, penerapan teorema dua kali memberi <math display="inline">\int_{\partial(\partial \Omega)}\omega=\int_\Omega d(d\omega)=0</math> untuk apapun <math>(n-2)</math>-bentuk <math>\omega</math>, yang menyiratkan itu <math>\partial(\partial\Omega)=\emptyset</math>.) Ruas kanan persamaan sering digunakan untuk merumuskan hukum integral; sisi kiri kemudian mengarah ke formulasi diferensial ekivalen (lihat di bawah).
 The theorem is often used in situations where <math>\Omega</math> is an embedded oriented submanifold of some bigger manifold, often <math>\mathbf{R}^k</math>, on which the form <math>\omega</math> is defined.
 == Pendahuluan topologi; integral melalui rantai ==
 Maka  menjadi [[lipatan halus]]. [[Simpleks | Simpleks-]] dengan  didefinisikan sebagai peta dari simplekd standar pada  ke . Grup  dari singular [[Kaidah (topologi aljabar)|kaidah]]- pada  didefinisikan sebagai [[grup abelian bebas]] pada himpunan singular sederhana dalam . Grup ini, dengan peta batas, , mendefinisikan [[kompleks kaidah]]. Grup homologi (resp. Kohomologi) yang sesuai adalah isomorfik dari grup [[homologi tunggal]] biasa  (resp. grup [[kohomologi tunggal]] ), didefinisikan menggunakan kesederhanaan berkelanjutan dari .
@@ Baris 54: / Baris 52: @@
 == Prinsip pendasar ==
 Untuk menyederhanakan argumen topologis ini, ada baiknya untuk memeriksa prinsip yang mendasari dengan mempertimbangkan contoh untuk dimensi . Ide esensial dapat dipahami dengan diagram di sebelah kiri, yang menunjukkan bahwa, dalam petak berorientasikan manifold, jalur interior dilintasi dalam arah yang berlawanan; kontribusi mereka ke integral jalan sehingga membatalkan satu sama lain secara berpasangan. Akibatnya, hanya kontribusi dari batas yang tersisa. Dengan demikian, cukup untuk membuktikan teorema Stokes untuk kemiringan yang cukup halus (atau, setara, [[Simpleks|sederhana]]), yang biasanya tidak sulit.
 == Rampat himpunan kasar ==
 Rumus di atas, di mana  adalah lipatan halus dengan batas, tidak mencukupi dalam banyak aplikasi. Misalnya, jika domain integrasi didefinisikan sebagai bidang bidang antara dua koordinat  dan grafik dari dua fungsi, akan sering terjadi bahwa domain tersebut memiliki sudut. Dalam kasus, titik sudut berarti bahwa  bukan lipatan halus dengan batas, sehingga pernyataan teorema Stokes yang diberikan di atas tidak berlaku.  Namun demikian, kesimpulan dari teorema Stokes. Ini karena  dan batasnya berperilaku baik menjauh dari sekumpulan kecil titik (himpunan [[mengukur nol]]).
@@ Baris 67: / Baris 61: @@
 *[[:Portal:Matematika/Intro/Gambar]]
 *[[:Portal:Matematika/Templat halaman]]
-== Catatan kaki ==
 == Catatan penting ==
-==Referensi==
 ==Bacaan lebih lanjut==
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 *
 ==Pranala luar==
 *
 * [http://higheredbcs.wiley.com/legacy/college/hugheshallett/0471484822/theory/hh_focusontheory_sectionm.pdf Proof of the Divergence Theorem and Stokes' Theorem]
 * [http://tutorial.math.lamar.edu/classes/calcIII/stokestheorem.aspx Calculus 3 – Stokes Theorem from lamar.edu] – an expository explanation
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Stokes+rampat&oldid=29587278 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29587278 (2026-08-16T07:55:15Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)