Lompat ke isi

Geometri aritmetika: Perbedaan antara revisi

Ensiklopedia Pengetahuan Universitas Islam Sultan Agung

Maintenance script (bicara | kontrib)

37.956 suntingan
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29299508; atribusi sumber disertakan.
 
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi
 
Baris 1: Baris 1:
Dalam [[matematika]], '''geometri aritmetika''', secara kasar, adalah penerapan teknik dari [[geometri aljabar]] terhadap masalah pada [[teori bilangan]]. Geometri aritmetika berpusat di sekitar [[geometri Diophantus]], ilmu yang mempelajari [[titik rasional]] dari [[varietas aljabar]].
[[File:Example_of_a_hyperelliptic_curve.svg|thumb|right|280px|Example of a hyperelliptic curve]]


Dalam istilah yang lebih abstrak, geometri aritmetika dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari [[skema (matematika)|skema]] [[Kemorfan hingga#Kemorfan tipe hingga|tipe hingga]] di atas [[spektrum gelanggang|spektrum]] [[gelanggang bilangan bulat]].
Dalam [[matematika]], '''geometri aritmetika''', secara kasar, adalah penerapan teknik dari [[geometri aljabar]] terhadap masalah pada [[teori bilangan]].<ref>Andrew V. Sutherland. [https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-782-introduction-to-arithmetic-geometry-fall-2013/lecture-notes/MIT18_782F13_lec1.pdf Introduction to Arithmetic Geometry]. September 5, 2013.</ref> Geometri aritmetika berpusat di sekitar [[geometri Diophantus]], ilmu yang mempelajari [[titik rasional]] dari [[varietas aljabar]].<ref>Erica Klarreich. [https://www.quantamagazine.org/peter-scholze-and-the-future-of-arithmetic-geometry-20160628/ Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry]. 28 Juni 2016.</ref><ref>Bjorn Poonen. [http://math.mit.edu/~poonen/782/782notes.pdf Introduction to Arithmetic Geometry]. 2009.</ref>
 
Dalam istilah yang lebih abstrak, geometri aritmetika dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari [[skema (matematika)|skema]] [[Kemorfan hingga#Kemorfan tipe hingga|tipe hingga]] di atas [[spektrum gelanggang|spektrum]] [[gelanggang bilangan bulat]].<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+aritmetika&oldid=29299508 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref>


== Tinjauan luas ==
== Tinjauan luas ==
Objek klasik yang menarik pada geometri aritmetika adalah titik rasional: [[himpunan penyelesaian]] [[sistem persamaan polinomial]] di atas [[medan bilangan]], [[medan hingga]], [[medan p-adic]], atau [[medan fungsi aljabar|medan fungsi]], dengan kata lain adalah [[medan (matematika)|medan]] yang tidak [[medan tertutup secara aljabar|tertutup secara aljabar]] kecuali [[bilangan real]]. Titik rasional dapat secara langsung dicirikan oleh [[fungsi tinggi]] yang mengukur kekompleksan aritmetika mereka.
Objek klasik yang menarik pada geometri aritmetika adalah titik rasional: [[himpunan penyelesaian]] [[sistem persamaan polinomial]] di atas [[medan bilangan]], [[medan hingga]], [[medan p-adic]], atau [[medan fungsi aljabar|medan fungsi]], dengan kata lain adalah [[medan (matematika)|medan]] yang tidak [[medan tertutup secara aljabar|tertutup secara aljabar]] kecuali [[bilangan real]]. Titik rasional dapat secara langsung dicirikan oleh [[fungsi tinggi]] yang mengukur kekompleksan aritmetika mereka.<ref>Serge Lang. ''Survey of Diophantine Geometry''. Springer-Verlag. 1997. hlm. 43–67. ISBN 3-540-61223-8.</ref>


Struktur varietas aljabar terdefinisi di atas medan tertutup tak secara aljabar telah menjadi pusat ketertarikan yang muncul dengan perkembangan abstrak modern dari geometri aljabar. Di atas bidang hingga, [[kohomologi étale]] menyediakan [[Sifst topologis|invarian topologis]] yang berkaitan dengan varietas aljabar. [[Teori p-adic Hodge]] memberikan sarana untuk memeriksa kapan sifat varietas kohomologis di atas [[bilangan kompleks]] meluas ke atas medan p-adic.
Struktur varietas aljabar terdefinisi di atas medan tertutup tak secara aljabar telah menjadi pusat ketertarikan yang muncul dengan perkembangan abstrak modern dari geometri aljabar. Di atas bidang hingga, [[kohomologi étale]] menyediakan [[Sifst topologis|invarian topologis]] yang berkaitan dengan varietas aljabar.<ref>Alexander Grothendieck. [http://grothendieckcircle.org/ Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958)]. Cambridge University Press. 1960. hlm. 103–118.</ref> [[Teori p-adic Hodge]] memberikan sarana untuk memeriksa kapan sifat varietas kohomologis di atas [[bilangan kompleks]] meluas ke atas medan p-adic.<ref>Jean-Pierre Serre. ''Résumé des cours, 1965–66''. ''Annuaire du Collège de France''. 1967. hlm. 49–58.</ref>


== Sejarah ==
== Sejarah ==
=== Abad ke-19: awal geometri aritmetika ===
=== Abad ke-19: awal geometri aritmetika ===
Pada awal abad ke-19, [[Carl Friedrich Gauss]] mengamati bahwa solusi [[bilangan bulat]] tak nol pada persamaan [[polinomial homogen]] dengan koefisien [[bilangan rasional|rasional]] ada jika solusi rasional tak nol ada.
Pada awal abad ke-19, [[Carl Friedrich Gauss]] mengamati bahwa solusi [[bilangan bulat]] tak nol pada persamaan [[polinomial homogen]] dengan koefisien [[bilangan rasional|rasional]] ada jika solusi rasional tak nol ada.<ref>Louis J. Mordell. ''Diophantine Equations''. Academic Press. 1969. hlm. 1. ISBN 978-0125062503.</ref>


Pada 1850-an, [[Leopold Kronecker]] merumuskan [[teorema Kronecker–Weber]], memperkenalkan teori [[Pembagi (geometri aljabar)|pembagi]], dan membuat banyak hubungan lainnya antara teori bilangan dan [[aljabar]]. Ia kemudian mengonjekturkan "[[Masalah keduabelas Hilbert|liebster Jugendtraum]]"-nya ("mimpi muda yang tersayang"), sebuah generalisasi yang kemudian diajukan Hilbert dalam bentuk termodifikasi sebagai [[Masalah Hilbert|masalah keduabelasnya]], yang menguraikan tujuan memiliki teori bilangan yang beroperasi hanya dengan gelanggang yang merupakan hasil bagi [[gelanggang polinomial]] di atas bilangan bulat.
Pada 1850-an, [[Leopold Kronecker]] merumuskan [[teorema Kronecker–Weber]], memperkenalkan teori [[Pembagi (geometri aljabar)|pembagi]], dan membuat banyak hubungan lainnya antara teori bilangan dan [[aljabar]]. Ia kemudian mengonjekturkan "[[Masalah keduabelas Hilbert|liebster Jugendtraum]]"-nya ("mimpi muda yang tersayang"), sebuah generalisasi yang kemudian diajukan Hilbert dalam bentuk termodifikasi sebagai [[Masalah Hilbert|masalah keduabelasnya]], yang menguraikan tujuan memiliki teori bilangan yang beroperasi hanya dengan gelanggang yang merupakan hasil bagi [[gelanggang polinomial]] di atas bilangan bulat.<ref>Timothy Gowers. ''The Princeton companion to mathematics''. Princeton University Press. 2008. hlm. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2.</ref>


=== Awal hingga pertengahan abad ke-20: perkembangan aljabar dan konjektur Weil ===
=== Awal hingga pertengahan abad ke-20: perkembangan aljabar dan konjektur Weil ===
Pada akhir 1920-an, [[André Weil]] mendemonstrasikan hubungan mendalam antara geometri aljabar dan teori bilangan dengan penelitian doktoralnya mengarah ke [[teorema Mordell–Weil]] yang mendemonstrasikan himpunan titik rasional dari [[ragam Abel]] merupakan [[grup Abel terbangkit hingga]].
Pada akhir 1920-an, [[André Weil]] mendemonstrasikan hubungan mendalam antara geometri aljabar dan teori bilangan dengan penelitian doktoralnya mengarah ke [[teorema Mordell–Weil]] yang mendemonstrasikan himpunan titik rasional dari [[ragam Abel]] merupakan [[grup Abel terbangkit hingga]].<ref>A. Weil, ''L'arithmétique sur les courbes algébriques'', Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers .</ref>


Dasar modern dari geometri aljabar dikembangkan berdasarkan pada [[aljabar komutatif]] kontemporer, termasuk [[penilaian (aljabar)|teori penilaian]] dan teori [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] oleh [[Oscar Zariski]] dan matematikawan lainnya pada 1930-an hingga 1940-an.
Dasar modern dari geometri aljabar dikembangkan berdasarkan pada [[aljabar komutatif]] kontemporer, termasuk [[penilaian (aljabar)|teori penilaian]] dan teori [[ideal (teori gelanggang)|ideal]] oleh [[Oscar Zariski]] dan matematikawan lainnya pada 1930-an hingga 1940-an.<ref>Oscar Zariski. [https://books.google.com/books?id=d6Zzhm9eCmgC Algebraic surfaces]. Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-3-540-58658-6.</ref>


Pada 1949, [[André Weil]] mengemukakan [[konjektur Weil]] mengenai [[fungsi zeta lokal]] dari varietas aljabar di atas medan hingga. [[Konjektur]] ini menawarkan kerangka antara geometri aljabar dan teori bilangan yang mendorong [[Alexander Grothendieck]] menyusun ulang dasar pembuatan penggunaan [[teori gemal]] (bersama dengan [[Jean-Pierre Serre]]), dan kemudian teori skema, pada 1950-an hingga 1960-an. [[Bernard Dwork]] membuktikan satu dari empat konjektur Weil (kerasionalan fungsi zeta lokal) pada 1960. Grothendieck mengembangkan teori kohomologi étale untuk membuktikan dua konjektur Weil (bersama dengan [[Michael Artin]] dan [[Jean-Louis Verdier]]) pada 1965. Konjektur Weil terakhir (analog dari [[hipotesis Riemann]]) akhirnya terbukti pada 1974 oleh [[Pierre Deligne]].
Pada 1949, [[André Weil]] mengemukakan [[konjektur Weil]] mengenai [[fungsi zeta lokal]] dari varietas aljabar di atas medan hingga.<ref>André Weil. ''Numbers of solutions of equations in finite fields''. ''Bulletin of the American Mathematical Society''. 1949. Vol. 55 (5). hlm. 497–508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil</ref> [[Konjektur]] ini menawarkan kerangka antara geometri aljabar dan teori bilangan yang mendorong [[Alexander Grothendieck]] menyusun ulang dasar pembuatan penggunaan [[teori gemal]] (bersama dengan [[Jean-Pierre Serre]]), dan kemudian teori skema, pada 1950-an hingga 1960-an.<ref>Jean-Pierre Serre. ''Faisceaux Algebriques Coherents''. ''The Annals of Mathematics''. 1955. Vol. 61 (2). hlm. 197–278. doi:10.2307/1969915.</ref> [[Bernard Dwork]] membuktikan satu dari empat konjektur Weil (kerasionalan fungsi zeta lokal) pada 1960.<ref>Bernard Dwork. ''On the rationality of the zeta function of an algebraic variety''. ''American Journal of Mathematics''. American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3. 1960. Vol. 82 (3). hlm. 631–648. doi:10.2307/2372974.</ref> Grothendieck mengembangkan teori kohomologi étale untuk membuktikan dua konjektur Weil (bersama dengan [[Michael Artin]] dan [[Jean-Louis Verdier]]) pada 1965.<ref>Alexander Grothendieck. [http://grothendieckcircle.org/ Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958)]. Cambridge University Press. 1960. hlm. 103–118.</ref><ref>Alexander Grothendieck. [http://www.numdam.org/item?id=SB_1964-1966__9__41_0 Séminaire Bourbaki]. Société Mathématique de France. 1995. Vol. 9. hlm. 41–55.</ref> Konjektur Weil terakhir (analog dari [[hipotesis Riemann]]) akhirnya terbukti pada 1974 oleh [[Pierre Deligne]].<ref>Pierre Deligne. [http://www.numdam.org/item?id=PMIHES_1974__43__273_0 La conjecture de Weil. I]. ''Publications Mathématiques de l'IHÉS''. 1974. Vol. 43 (43). hlm. 273–307. doi:10.1007/BF02684373.</ref>


=== Pertengahan hingga akhir abad ke-20: perkembangan dalam modularitas, metode p-adic, dan seterusnya ===
=== Pertengahan hingga akhir abad ke-20: perkembangan dalam modularitas, metode p-adic, dan seterusnya ===
Antara 1956 dan 1957, [[Yutaka Taniyama]] dan [[Goro Shimura]] mengemukakan [[Teorema modularitas|konjektur Taniyama–Shimura]] (sekarang dikenal sebagai teorema modularitas) mengaitkan [[kurva eliptik]] dengan [[bentuk modular]]. Hubungan ini pada akhirnya mengarah ke [[Pembuktian Wiles pada Teorema Terakhir Fermat|pembuktian pertama]] [[Teorema Terakhir Fermat]] dalam teori bilangan melalui teknik geometri aljabar [[Angkat (matematika)|pengangkatan modularitas]] yang dikembangkan oleh [[Andrew Wiles]] pada 1995.
Antara 1956 dan 1957, [[Yutaka Taniyama]] dan [[Goro Shimura]] mengemukakan [[Teorema modularitas|konjektur Taniyama–Shimura]] (sekarang dikenal sebagai teorema modularitas) mengaitkan [[kurva eliptik]] dengan [[bentuk modular]].<ref>Yutaka Taniyama. ''Problem 12''. ''Sugaku''. 1956. Vol. 7. hlm. 269.</ref><ref>Goro Shimura. ''Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections''. ''The Bulletin of the London Mathematical Society''. 1989. Vol. 21 (2). hlm. 186–196. doi:10.1112/blms/21.2.186.</ref> Hubungan ini pada akhirnya mengarah ke [[Pembuktian Wiles pada Teorema Terakhir Fermat|pembuktian pertama]] [[Teorema Terakhir Fermat]] dalam teori bilangan melalui teknik geometri aljabar [[Angkat (matematika)|pengangkatan modularitas]] yang dikembangkan oleh [[Andrew Wiles]] pada 1995.<ref>Andrew Wiles. [http://math.stanford.edu/~lekheng/flt/wiles.pdf Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem]. ''Annals of Mathematics''. 1995. Vol. 141 (3). hlm. 443–551. doi:10.2307/2118559.</ref>


Pada 1960-an, Goro Shimura memperkenalkan [[varietas Shimura]] sebagai generalisasi [[kurva modular]]. Sejak 1979, varietas Shimura memainkan peran penting pada [[program Langlands]] sebagai dunai alami contoh untuk pengujian konjektur.
Pada 1960-an, Goro Shimura memperkenalkan [[varietas Shimura]] sebagai generalisasi [[kurva modular]].<ref>Goro Shimura. ''The Collected Works of Goro Shimura''. Springer Nature. 2003. ISBN 978-0387954158.</ref> Sejak 1979, varietas Shimura memainkan peran penting pada [[program Langlands]] sebagai dunai alami contoh untuk pengujian konjektur.<ref>Robert Langlands. [http://www.sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Langlands/pdf/autoreps-ps.pdf Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics]. Chelsea Publishing Company. 1979. Vol. XXXIII Part 1. hlm. 205–246.</ref>


Pada makalah tahun 1977 dan 1978, [[Barry Mazur]] membuktikan [[konjektur torsi]] dengan memberikan daftar lengkap torsi subgrup kurva eliptik yang mungkin di atas bilangan rasional. Pembuktian pertama Mazur dari teorema ini bergantung pada analisis lengkap titik rasional pada sejumlah [[kurva modular]]. Pada 1996, pembuktian konjektur torsi diperluas ke semua medan bilangan oleh [[Loïc Merel]].
Pada makalah tahun 1977 dan 1978, [[Barry Mazur]] membuktikan [[konjektur torsi]] dengan memberikan daftar lengkap torsi subgrup kurva eliptik yang mungkin di atas bilangan rasional. Pembuktian pertama Mazur dari teorema ini bergantung pada analisis lengkap titik rasional pada sejumlah [[kurva modular]].<ref>Barry Mazur. [http://www.numdam.org/item/PMIHES_1977__47__33_0/ Modular curves and the Eisenstein ideal]. ''Publications Mathématiques de l'IHÉS''. 1977. Vol. 47 (1). hlm. 33–186. doi:10.1007/BF02684339.</ref><ref>Barry Mazur. ''Rational isogenies of prime degree''. ''Inventiones Mathematicae''. 1978. Vol. 44 (2). hlm. 129–162. doi:10.1007/BF01390348.</ref> Pada 1996, pembuktian konjektur torsi diperluas ke semua medan bilangan oleh [[Loïc Merel]].<ref>Loïc Merel. ''Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres''. ''Inventiones Mathematicae''. 1996. Vol. 124 (1). hlm. 437–449. doi:10.1007/s002220050059.</ref>


Pada 1983, [[Gerd Faltings]] membuktikan [[Teorema Faltings|konjektur Mordell]], mendemonstrasikan kurva bergenus lebih besar dari 1 hanya memiliki banyak titik rasional hingga (teorema Mordell–Weil hanya mendemonstrasikan [[grup Abel terbangkit hingga|pembangkitan hingga]] himpunan titik rasional sebagai lawan keterhinggaan).
Pada 1983, [[Gerd Faltings]] membuktikan [[Teorema Faltings|konjektur Mordell]], mendemonstrasikan kurva bergenus lebih besar dari 1 hanya memiliki banyak titik rasional hingga (teorema Mordell–Weil hanya mendemonstrasikan [[grup Abel terbangkit hingga|pembangkitan hingga]] himpunan titik rasional sebagai lawan keterhinggaan).<ref>Gerd Faltings. ''Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern''. ''Inventiones Mathematicae''. 1983. Vol. 73 (3). hlm. 349–366. doi:10.1007/BF01388432.</ref><ref>Gerd Faltings. ''Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern''. ''Inventiones Mathematicae''. 1984. Vol. 75 (2). hlm. 381. doi:10.1007/BF01388572.</ref>


Pada 2001, pembuktian [[Konjektur Langlands lokal#Konjektur Langlands lokal untuk GLn|konjektur Langlands lokal untuk GL<sub>n</sub>]] berdasarkan pada geometri sejumlah varietas Shimura.
Pada 2001, pembuktian [[Konjektur Langlands lokal#Konjektur Langlands lokal untuk GLn|konjektur Langlands lokal untuk GL<sub>n</sub>]] berdasarkan pada geometri sejumlah varietas Shimura.<ref>Michael Harris. [https://books.google.com/books?id=sigBbO69hvMC The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties]. Princeton University Press. 2001. Vol. 151. ISBN 978-0-691-09090-0.</ref>


Pada 2010-an, [[Peter Scholze]] mengembangkan [[ruang perfektoid]] dan teori kohomologi baru pada geometri aritmetika di atas bidang p-adic dengan penerapan [[wakilan Galois]] dan sejumlah kasus [[konjektur bobot-monodromi]].
Pada 2010-an, [[Peter Scholze]] mengembangkan [[ruang perfektoid]] dan teori kohomologi baru pada geometri aritmetika di atas bidang p-adic dengan penerapan [[wakilan Galois]] dan sejumlah kasus [[konjektur bobot-monodromi]].<ref>[https://www.mathunion.org/imu-awards/fields-medal/fields-medals-2018 Fields Medals 2018]. International Mathematical Union.</ref><ref>Peter Scholze. [http://www.math.uni-bonn.de/people/scholze/CDM.pdf Perfectoid spaces: A survey]. ''University of Bonn''.</ref>


== Lihat pula ==
== Lihat pula ==
Baris 39: Baris 41:


== Referensi ==
== Referensi ==
<references />


== Sumber dan atribusi ==


Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+aritmetika&oldid=29299508 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29299508 (2026-05-31T22:27:40Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


== Sumber dan atribusi ==
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->
 
Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Geometri+aritmetika&oldid=29299508 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29299508 (2026-05-31T22:27:40Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.08

Example of a hyperelliptic curve

Dalam matematika, geometri aritmetika, secara kasar, adalah penerapan teknik dari geometri aljabar terhadap masalah pada teori bilangan.[1] Geometri aritmetika berpusat di sekitar geometri Diophantus, ilmu yang mempelajari titik rasional dari varietas aljabar.[2][3]

Dalam istilah yang lebih abstrak, geometri aritmetika dapat didefinisikan sebagai ilmu yang mempelajari skema tipe hingga di atas spektrum gelanggang bilangan bulat.[4]

Tinjauan luas

Objek klasik yang menarik pada geometri aritmetika adalah titik rasional: himpunan penyelesaian sistem persamaan polinomial di atas medan bilangan, medan hingga, medan p-adic, atau medan fungsi, dengan kata lain adalah medan yang tidak tertutup secara aljabar kecuali bilangan real. Titik rasional dapat secara langsung dicirikan oleh fungsi tinggi yang mengukur kekompleksan aritmetika mereka.[5]

Struktur varietas aljabar terdefinisi di atas medan tertutup tak secara aljabar telah menjadi pusat ketertarikan yang muncul dengan perkembangan abstrak modern dari geometri aljabar. Di atas bidang hingga, kohomologi étale menyediakan invarian topologis yang berkaitan dengan varietas aljabar.[6] Teori p-adic Hodge memberikan sarana untuk memeriksa kapan sifat varietas kohomologis di atas bilangan kompleks meluas ke atas medan p-adic.[7]

Sejarah

Abad ke-19: awal geometri aritmetika

Pada awal abad ke-19, Carl Friedrich Gauss mengamati bahwa solusi bilangan bulat tak nol pada persamaan polinomial homogen dengan koefisien rasional ada jika solusi rasional tak nol ada.[8]

Pada 1850-an, Leopold Kronecker merumuskan teorema Kronecker–Weber, memperkenalkan teori pembagi, dan membuat banyak hubungan lainnya antara teori bilangan dan aljabar. Ia kemudian mengonjekturkan "liebster Jugendtraum"-nya ("mimpi muda yang tersayang"), sebuah generalisasi yang kemudian diajukan Hilbert dalam bentuk termodifikasi sebagai masalah keduabelasnya, yang menguraikan tujuan memiliki teori bilangan yang beroperasi hanya dengan gelanggang yang merupakan hasil bagi gelanggang polinomial di atas bilangan bulat.[9]

Awal hingga pertengahan abad ke-20: perkembangan aljabar dan konjektur Weil

Pada akhir 1920-an, André Weil mendemonstrasikan hubungan mendalam antara geometri aljabar dan teori bilangan dengan penelitian doktoralnya mengarah ke teorema Mordell–Weil yang mendemonstrasikan himpunan titik rasional dari ragam Abel merupakan grup Abel terbangkit hingga.[10]

Dasar modern dari geometri aljabar dikembangkan berdasarkan pada aljabar komutatif kontemporer, termasuk teori penilaian dan teori ideal oleh Oscar Zariski dan matematikawan lainnya pada 1930-an hingga 1940-an.[11]

Pada 1949, André Weil mengemukakan konjektur Weil mengenai fungsi zeta lokal dari varietas aljabar di atas medan hingga.[12] Konjektur ini menawarkan kerangka antara geometri aljabar dan teori bilangan yang mendorong Alexander Grothendieck menyusun ulang dasar pembuatan penggunaan teori gemal (bersama dengan Jean-Pierre Serre), dan kemudian teori skema, pada 1950-an hingga 1960-an.[13] Bernard Dwork membuktikan satu dari empat konjektur Weil (kerasionalan fungsi zeta lokal) pada 1960.[14] Grothendieck mengembangkan teori kohomologi étale untuk membuktikan dua konjektur Weil (bersama dengan Michael Artin dan Jean-Louis Verdier) pada 1965.[15][16] Konjektur Weil terakhir (analog dari hipotesis Riemann) akhirnya terbukti pada 1974 oleh Pierre Deligne.[17]

Pertengahan hingga akhir abad ke-20: perkembangan dalam modularitas, metode p-adic, dan seterusnya

Antara 1956 dan 1957, Yutaka Taniyama dan Goro Shimura mengemukakan konjektur Taniyama–Shimura (sekarang dikenal sebagai teorema modularitas) mengaitkan kurva eliptik dengan bentuk modular.[18][19] Hubungan ini pada akhirnya mengarah ke pembuktian pertama Teorema Terakhir Fermat dalam teori bilangan melalui teknik geometri aljabar pengangkatan modularitas yang dikembangkan oleh Andrew Wiles pada 1995.[20]

Pada 1960-an, Goro Shimura memperkenalkan varietas Shimura sebagai generalisasi kurva modular.[21] Sejak 1979, varietas Shimura memainkan peran penting pada program Langlands sebagai dunai alami contoh untuk pengujian konjektur.[22]

Pada makalah tahun 1977 dan 1978, Barry Mazur membuktikan konjektur torsi dengan memberikan daftar lengkap torsi subgrup kurva eliptik yang mungkin di atas bilangan rasional. Pembuktian pertama Mazur dari teorema ini bergantung pada analisis lengkap titik rasional pada sejumlah kurva modular.[23][24] Pada 1996, pembuktian konjektur torsi diperluas ke semua medan bilangan oleh Loïc Merel.[25]

Pada 1983, Gerd Faltings membuktikan konjektur Mordell, mendemonstrasikan kurva bergenus lebih besar dari 1 hanya memiliki banyak titik rasional hingga (teorema Mordell–Weil hanya mendemonstrasikan pembangkitan hingga himpunan titik rasional sebagai lawan keterhinggaan).[26][27]

Pada 2001, pembuktian konjektur Langlands lokal untuk GLn berdasarkan pada geometri sejumlah varietas Shimura.[28]

Pada 2010-an, Peter Scholze mengembangkan ruang perfektoid dan teori kohomologi baru pada geometri aritmetika di atas bidang p-adic dengan penerapan wakilan Galois dan sejumlah kasus konjektur bobot-monodromi.[29][30]

Lihat pula

Referensi

  1. ↑ Andrew V. Sutherland. Introduction to Arithmetic Geometry. September 5, 2013.
  2. ↑ Erica Klarreich. Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry. 28 Juni 2016.
  3. ↑ Bjorn Poonen. Introduction to Arithmetic Geometry. 2009.
  4. ↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
  5. ↑ Serge Lang. Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. 1997. hlm. 43–67. ISBN 3-540-61223-8.
  6. ↑ Alexander Grothendieck. Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958). Cambridge University Press. 1960. hlm. 103–118.
  7. ↑ Jean-Pierre Serre. Résumé des cours, 1965–66. Annuaire du Collège de France. 1967. hlm. 49–58.
  8. ↑ Louis J. Mordell. Diophantine Equations. Academic Press. 1969. hlm. 1. ISBN 978-0125062503.
  9. ↑ Timothy Gowers. The Princeton companion to mathematics. Princeton University Press. 2008. hlm. 773–774. ISBN 978-0-691-11880-2.
  10. ↑ A. Weil, L'arithmétique sur les courbes algébriques, Acta Math 52, (1929) p. 281-315, reprinted in vol 1 of his collected papers .
  11. ↑ Oscar Zariski. Algebraic surfaces. Springer-Verlag. 2004. ISBN 978-3-540-58658-6.
  12. ↑ André Weil. Numbers of solutions of equations in finite fields. Bulletin of the American Mathematical Society. 1949. Vol. 55 (5). hlm. 497–508. doi:10.1090/S0002-9904-1949-09219-4. Reprinted in Oeuvres Scientifiques/Collected Papers by André Weil
  13. ↑ Jean-Pierre Serre. Faisceaux Algebriques Coherents. The Annals of Mathematics. 1955. Vol. 61 (2). hlm. 197–278. doi:10.2307/1969915.
  14. ↑ Bernard Dwork. On the rationality of the zeta function of an algebraic variety. American Journal of Mathematics. American Journal of Mathematics, Vol. 82, No. 3. 1960. Vol. 82 (3). hlm. 631–648. doi:10.2307/2372974.
  15. ↑ Alexander Grothendieck. Proc. Internat. Congress Math. (Edinburgh, 1958). Cambridge University Press. 1960. hlm. 103–118.
  16. ↑ Alexander Grothendieck. Séminaire Bourbaki. Société Mathématique de France. 1995. Vol. 9. hlm. 41–55.
  17. ↑ Pierre Deligne. La conjecture de Weil. I. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1974. Vol. 43 (43). hlm. 273–307. doi:10.1007/BF02684373.
  18. ↑ Yutaka Taniyama. Problem 12. Sugaku. 1956. Vol. 7. hlm. 269.
  19. ↑ Goro Shimura. Yutaka Taniyama and his time. Very personal recollections. The Bulletin of the London Mathematical Society. 1989. Vol. 21 (2). hlm. 186–196. doi:10.1112/blms/21.2.186.
  20. ↑ Andrew Wiles. Modular elliptic curves and Fermat's Last Theorem. Annals of Mathematics. 1995. Vol. 141 (3). hlm. 443–551. doi:10.2307/2118559.
  21. ↑ Goro Shimura. The Collected Works of Goro Shimura. Springer Nature. 2003. ISBN 978-0387954158.
  22. ↑ Robert Langlands. Automorphic Forms, Representations, and L-Functions: Symposium in Pure Mathematics. Chelsea Publishing Company. 1979. Vol. XXXIII Part 1. hlm. 205–246.
  23. ↑ Barry Mazur. Modular curves and the Eisenstein ideal. Publications Mathématiques de l'IHÉS. 1977. Vol. 47 (1). hlm. 33–186. doi:10.1007/BF02684339.
  24. ↑ Barry Mazur. Rational isogenies of prime degree. Inventiones Mathematicae. 1978. Vol. 44 (2). hlm. 129–162. doi:10.1007/BF01390348.
  25. ↑ Loïc Merel. Bornes pour la torsion des courbes elliptiques sur les corps de nombres. Inventiones Mathematicae. 1996. Vol. 124 (1). hlm. 437–449. doi:10.1007/s002220050059.
  26. ↑ Gerd Faltings. Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Mathematicae. 1983. Vol. 73 (3). hlm. 349–366. doi:10.1007/BF01388432.
  27. ↑ Gerd Faltings. Erratum: Endlichkeitssätze für abelsche Varietäten über Zahlkörpern. Inventiones Mathematicae. 1984. Vol. 75 (2). hlm. 381. doi:10.1007/BF01388572.
  28. ↑ Michael Harris. The geometry and cohomology of some simple Shimura varieties. Princeton University Press. 2001. Vol. 151. ISBN 978-0-691-09090-0.
  29. ↑ Fields Medals 2018. International Mathematical Union.
  30. ↑ Peter Scholze. Perfectoid spaces: A survey. University of Bonn.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29299508 (2026-05-31T22:27:40Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Diperoleh dari "https://wiki.unissula.ac.id/index.php?title=Geometri_aritmetika&oldid=8381"