Grup permutasi: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 9 September 2026 06.27

Teka-teki populer kubus Rubik yang ditemukan pada tahun 1974 oleh Ernő Rubik telah digunakan sebagai ilustrasi kelompok permutasi. Setiap rotasi lapisan kubus menghasilkan permutasi warna permukaan dan merupakan anggota grup. Kelompok permutasi kubus disebut grup kubus Rubik.

Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi $G$ adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan $M$ dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym( $M$ ) (notasi Sym di sini bermakna Symmetric). Khusus untuk himpunan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle M = \\{1, 2, ..., n\\}} , grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai $S_{n}$ .^[1]

Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$ dengan panjang $n$ melambangkan pemetaan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle a_1 \\mapsto a_2, a_2 \\mapsto a_3, ..., a_{n-1} \\mapsto a_n, a_n \\mapsto a_1} .^[2] Sebagai contoh, tinjau permutasi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma} pada grup permutasi $S_{6}$ yang didefinisikan oleh

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma=\\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\ 3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\\end{pmatrix}} .

Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi $(132) (4) (56)$ yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi $(132) (56)$ . Dua buah putaran $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}), (b_{1}, b_{2}, ..., b_{k})$ yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\{a_1, ..., a_m\\}} dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\{b_1, ..., b_k\\}} tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha, \\beta \\in S_n} , berlaku pula Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha \\beta = \\beta \\alpha } .^[3]

Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma \\in S_n} suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma=\\begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\\\ \\sigma(1) & \\sigma(2) & ... & \\sigma(n) \\end{pmatrix}} ,

invers dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma} yang dinotasikan sebagai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma^{-1}} dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,

Lihat pula

Referensi

↑ John R. Durbin. Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.
↑ John R. Durbin. Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.
↑ Aleams Barra. Catatan Kuliah Struktur Aljabar. 2015.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 19582625 (2021-12-22T05:49:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] John R. Durbin. Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.

[2] John R. Durbin. Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.

[3] Aleams Barra. Catatan Kuliah Struktur Aljabar. 2015.

[1]

[2]

[3]

@@ Baris 3: / Baris 3: @@
 [[Gambar:Rubik's cube.svg|thumb|Teka-teki populer [[kubus Rubik]] yang ditemukan pada tahun 1974 oleh [[Ernő Rubik]] telah digunakan sebagai ilustrasi kelompok permutasi. Setiap rotasi lapisan kubus menghasilkan [[permutasi]] warna permukaan dan merupakan anggota grup. Kelompok permutasi kubus disebut [[grup kubus Rubik]].]]
-Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup (matematika)|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \{1, 2, ..., n\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>.<ref>John R. Durbin. ''Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition''. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.</ref>
+Dalam matematika, khususnya [[aljabar]], suatu '''grup permutasi''' <math> G </math> adalah suatu [[grup (matematika)|grup]] dengan unsur-unsurnya adalah [[permutasi]] dari suatu [[himpunan]] <math>M</math> dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym(<math>M</math>) (notasi Sym di sini bermakna ''Symmetric''). Khusus untuk himpunan <math>M = \\{1, 2, ..., n\\}</math>, grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai <math>S_n</math>.<ref>John R. Durbin. ''Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition''. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.</ref>
-== Notasi ==
-Untuk suatu himpunan <math>M</math>, permutasi <math>\sigma</math> atas <math>M</math> adalah suatu bijeksi <math>\sigma: M \rightarrow M</math>. Sebagai contoh, untuk himpunan <math>M = \{1,2,3,4\}</math>, salah satu permutasi yang mungkin adalah permutasi <math> \sigma </math> yang memenuhi
-:<math> \sigma(1) = 3, \sigma(2) = 1, \sigma(3) = 2</math> dan <math> \sigma(4) = 4 </math>. Permutasi ini dapat dinyatakan sebagai matriks dengan dua baris
-:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
-& 2 & 3 & 4 \\
-& 1 & 2 & 4\end{pmatrix}</math>
-atau secara umum, unsur dalam grup permutasi <math> S_n </math> dapat ditulis sebagai matriks
-:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
-& 2 & 3 & ... & n \\
-\sigma(1) & \sigma(2) & \sigma(3) & ... & \sigma(n)\end{pmatrix}</math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>
-Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \mapsto a_2, a_2 \mapsto a_3, ..., a_{n-1} \mapsto a_n, a_n \mapsto a_1</math>.<ref>John R. Durbin. ''Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition''. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.</ref> Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
+Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_n)</math> dengan panjang <math>n</math> melambangkan pemetaan <math>a_1 \\mapsto a_2, a_2 \\mapsto a_3, ..., a_{n-1} \\mapsto a_n, a_n \\mapsto a_1</math>.<ref>John R. Durbin. ''Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition''. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.</ref> Sebagai contoh, tinjau permutasi <math>\\sigma</math> pada grup permutasi <math>S_6</math> yang didefinisikan oleh
-:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
+:<math>\\sigma=\\begin{pmatrix}
-& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
+& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\
-& 1 & 2 & 4 & 6 & 5\end{pmatrix}</math>.
+& 1 & 2 & 4 & 6 & 5\\end{pmatrix}</math>.
-Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\{a_1, ..., a_m\}</math> dengan <math>\{b_1, ..., b_k\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\alpha, \beta \in S_n</math>, berlaku pula <math>\alpha \beta = \beta \alpha </math>.<ref>Aleams Barra. ''Catatan Kuliah Struktur Aljabar''. 2015.</ref>
+Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi <math>(1 3 2)(4)(5 6)</math> yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi <math>(1 3 2)(5 6)</math>. Dua buah putaran <math>(a_1, a_2, ..., a_m), (b_1, b_2, ..., b_k)</math> yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan <math>\\{a_1, ..., a_m\\}</math> dengan <math>\\{b_1, ..., b_k\\}</math> tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas <math>\\alpha, \\beta \\in S_n</math>, berlaku pula <math>\\alpha \\beta = \\beta \\alpha </math>.<ref>Aleams Barra. ''Catatan Kuliah Struktur Aljabar''. 2015.</ref>
-Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks
+Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan <math>\\sigma \\in S_n</math>suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks
-:<math>\sigma=\begin{pmatrix}
+:<math>\\sigma=\\begin{pmatrix}
-& 2 & ... & n \\
+& 2 & ... & n \\\\
-\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \end{pmatrix}</math>,
+\\sigma(1) & \\sigma(2) & ... & \\sigma(n) \\end{pmatrix}</math>,
-invers dari <math>\sigma</math> yang dinotasikan sebagai <math>\sigma^{-1}</math>dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,
+invers dari <math>\\sigma</math> yang dinotasikan sebagai <math>\\sigma^{-1}</math>dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,
-:<math>\sigma^{-1} =\begin{pmatrix}
-\sigma(1) & \sigma(2) & ... & \sigma(n) \\
-& 2 & ... & n \end{pmatrix}</math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>
-== Dekomposisi putaran ==
-Setiap permutasi pada grup permutasi <math>S_n</math> dapat dinyatakan sebagai hasil kali putaran yang saling lepas.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref> Sebagai contoh, permutasi
-:<math>\sigma = \begin{pmatrix}
-& 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
-& 3 & 4 & 2 & 5 & 1\end{pmatrix}</math>
-dapat ditulis sebagai <math> \sigma = (1 6)(2 3 4)(5) </math>.
-Dekomposisi permutasi menjadi putaran-putaran dapat digunakan untuk menentukan orde suatu unsur pada grup permutasi. Misalkan <math>\sigma \in S_n</math> terdekomposisi menjadi putaran-putaran dengan panjang <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>, orde dari <math>\sigma</math> kemudian adalah [[kelipatan persekutuan terkecil]] dari <math>a_1, a_2, ..., a_k </math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>
-Setiap permutasi juga dapat dipandang sebagai hasil kali transposisi, yaitu putaran dengan panjang dua.<ref>Aleams Barra. ''Catatan Kuliah Struktur Aljabar''. 2015.</ref> Transposisi ini dapat diinterpretasikan sebagai suatu permutasi yang menukar tepat dua unsur dari suatu himpunan. Grup permutasi <math>S_n</math>kemudian dapat dibangun oleh transposisi (yakni setiap unsur di <math>S_n</math>dapat dinyatakan sebagai hasil kali transposisi).<ref>Rotman, Joseph J., 1934-. [https://www.worldcat.org/oclc/61309485 A first course in abstract algebra : with applications]. Pearson Prentice Hall. 2006. ISBN 0131862677.</ref> Hasil penting lainnya terkait dekomposisi ini adalah bahwa suatu permutasi pastilah merupakan hasil kali dari sebanyak ganjil atau sebanyak genap transposisi, tetapi tidak keduanya.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref> Hasil inilah yang memotivasi pendefinisian [[grup berayun]], yaitu grup yang himpunannya adalah permutasi genap dari suatu himpunan. Hasil tersebut menjamin operasi pada grup berayun terdefinisi dengan baik.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>
-== Teorema Cayley ==
-Dalam [[teori grup]], [[teorema Cayley]] mengatakan bahwa sebarang grup <math>G</math> isomorfis dengan suatu subgrup dari Sym(<math>S</math>) untuk suatu <math>S</math>. Untuk <math>G</math> yang memiliki orde berhingga, berlaku <math>G</math> isomorfis dengan grup permutasi <math>S_n</math>.<ref>Israel Nathan Herstein. ''Abstract Algebra, Third Edition''. 1995.</ref>
 == Lihat pula ==

Maintenance script (bicara | kontrib)

Revisi terkini sejak 9 September 2026 06.27

Lihat pula

Referensi

Sumber dan atribusi