Metode Jacobi

Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu bidang analisis numerik yang digunakan untuk menyelesaikan permasalahan persamaan linear dan sering dijumpai dalam berbagai disiplin ilmu. Metode Iterasi Jacobi merupakan salah satu metode tak langsung, yaitu bermula dari suatu hampiran penyelesaian awal dan kemudian berusaha memperbaiki hampiran dalam tak berhingga tetapi langkah konvergen. Metode Iterasi Jacobi ini digunakan untuk menyelesaikan persamaan linear berukuran besar dan proporsi koefisien nolnya besar.

Metode ini ditemukan oleh matematikawan yang berasal dari Jerman, Carl Gustav Jacob Jacobi. Penemuan ini diperkirakan pada tahun 1800-an.

Kalau kita mengubah dalam Sistem Persamaan Linear, maka dapat ditulis sebagai berikut

$Ax=b.$

Kemudian, diketahui bahwa $A=D+\left(L+U\right)$, di mana $D$ merupakan matriks diagonal, $L$ merupakan matriks segitiga bawah, dan $U$ merupakan matriks segitiga atas.

Kemudian, persamaan di atas dapat diubah menjadi:

$Dx+\left(L+U\right)x=b.$

Kemudian,

$x=D^{-1}[b-\left(L+U\right)x],$

Jika ditulis dalam aturan iteratif, maka metode Jacobi dapat ditulis sebagai:

$x^{(k+1)}=D^{-1}[b-\left(L+U\right)x^{(k)}],$

di mana $k$ merupakan banyaknya iterasi. Jika $x^{(k)}$ menyatakan hampiran ke- $k$ penyelesaian SPL, maka $x^{(0)}$ adalah hampiran awal.

$x_i^{(k)}=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{x}_j^{(k-1)}),i=1,2,\dots ,n.$

Deskripsi

Jadi

$A𝐱=𝐛$

menjadi sistem kuadrat dari nilai dalam persamaan linier yaitu:

$A=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& a_{22}& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & a_{nn}\end{array}\right],𝐱=\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ ⋮\\ x_n\end{array}\right],𝐛=\left[\begin{array}{c}{b}_1\\ b_2\\ ⋮\\ b_n\end{array}\right].$

Setelah itu nilai dapat diuraikan menjadi komponen diagonal , bagian segitiga bawah dan bagian segitiga atas :

$A=D+L+U\text{darimana}D=\left[\begin{array}{cccc}{a}_{11}& 0& \cdots & 0\\ 0& a_{22}& \cdots & 0\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ 0& 0& \cdots & a_{nn}\end{array}\right]\text{ and }L+U=\left[\begin{array}{cccc}0& a_{12}& \cdots & a_{1n}\\ a_{21}& 0& \cdots & a_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ a_{n1}& a_{n2}& \cdots & 0\end{array}\right].$

Algoritma Metode Iterasi Jacobi

INPUT:

$n$, A, b, dan hampiran awal Y=(y₁ y₂ y₃...y_n)^T, batas toleransi T, dan maksimum iterasi N

OUTPUT:

X=(x₁ x₂ x₃...x_n)^T, vektor galat hampiran $g$, dan $H$ yang merupakan matriks dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.

1. Set penghitung iterasi k=1
2. WHILE $k<=N$ DO
   1. FOR $i=1,2,3,\mathrm{...},n$, Hitung $x_i=\frac{1}{a_{ii}}(b_i-\sum _{j\ne i}{a}_{ij}{y}_j)$
   2. SET $X=(x_1{x}_2{x}_3\mathrm{...}{x}_n{)}^T$
   3. IF ||X_Y||<T THEN STOP
   4. Tambah penghitung iterasi, $k=k+1$
   5. FOR $i=1,2,3,\mathrm{...},n$, Set y_i=x_i
   6. SET Y=(y₁ y₂ y₃...y_n)^T
3. Tulis pesan "Metode gagal setelah N iterasi"
4. STOP

Input: , (diagonal dominant) matrix $A$, right-hand side vector $b$, convergence criterion
Output: 
Comments: 

while convergence not reached do
    for i := 1 step until n do

        for j := 1 step until n do
            if j ≠ i then

            end
        end
         </math>}}
    end

end

Algoritma Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk software Matlab

Penggunaan algoritme Metode Iterasi Jacobi dalam bentuk matlab. Matlab merupakan program pengolahan data numerik.

INPUT:

$n$, A, b, dan hampiran awal Y=(y₁ y₂ y₃...y_n)^T, batas toleransi T, dan maksimum iterasi N

OUTPUT:

X=(x₁ x₂ x₃...x_n)^T, vektor galat hampiran $g$, dan $H$ yang merupakan matriks dengan baris vektor-vektor hampiran selama iterasi.

H=X0'

n=length (b)

X=X0

for k:=1 until N

for i:=i until n,

S = b (i) - A (i,[1:i-1,i+1:n]) * X0 ([1:i-1,i+1:n])

X(i) = S / A (i,i)

end

g = abs (X-X0)

err = norm (g)

relerr = err / (norm (X)+eps)

X0 = X

H = [H;X0']

if (err<T)|(relerr<T), break, end

end

Kekonvergenan

MEtode ini akan bernilai konvergen jika matriksnya merupakan matriks dominan secara diagonal, yaitu apabila unsur diagonal pada kolom tersebut lebih besar dari penjumlahan unsur-unsur lainnya pada kolom tersebut.

$\left|a_{ii}\right|>\sum _{i\ne j}\left|a_{ij}\right|.$

Contoh

Sistem linear dari bentuk $Ax=b$ dengan perkiraan awal $x^{(0)}$ diberikan oleh

$A=\left[\begin{array}{cc}2& 1\\ 5& 7\end{array}\right],b=\left[\begin{array}{c}11\\ 13\end{array}\right]\text{dan}{x}^{(0)}=\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right].$

Kami menggunakan persamaan $x^{(k+1)}=D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})$, dijelaskan di atas, untuk memperkirakan $x$. Pertama, kami menulis ulang persamaan dalam bentuk yang lebih mudah $D^{-1}(b-(L+U)x^{(k)})=T{x}^{(k)}+C$, dimana $T=-D^{-1}(L+U)$ dan $C=D^{-1}b$. Dari nilai-nilai yang diketahui

$D^{-1}=\left[\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1/7\end{array}\right],L=\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ 5& 0\end{array}\right]\text{dan}U=\left[\begin{array}{cc}0& 1\\ 0& 0\end{array}\right].$

we determine $T=-D^{-1}(L+U)$ as

$T=\left[\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1/7\end{array}\right]\{\left[\begin{array}{cc}0& 0\\ -5& 0\end{array}\right]+\left[\begin{array}{cc}0& -1\\ 0& 0\end{array}\right]\}=\left[\begin{array}{cc}0& -1/2\\ -5/7& 0\end{array}\right].$

Further, $C$ is found as

$C=\left[\begin{array}{cc}1/2& 0\\ 0& 1/7\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}11\\ 13\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}11/2\\ 13/7\end{array}\right].$

Dengan $T$ dan $C$ dihitung, kami perkirakan $x$ sebagai $x^{(1)}=T{x}^{(0)}+C$:

$x^{(1)}=\left[\begin{array}{cc}0& -1/2\\ -5/7& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}1\\ 1\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}11/2\\ 13/7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}5.0\\ 8/7\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}5\\ 1.143\end{array}\right].$

Hasil iterasi berikutnya

$x^{(2)}=\left[\begin{array}{cc}0& -1/2\\ -5/7& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}5.0\\ 8/7\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}11/2\\ 13/7\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}69/14\\ -12/7\end{array}\right]\approx \left[\begin{array}{c}4.929\\ -1.714\end{array}\right].$

Proses ini diulangi sampai konvergensi (yaitu, sampai $\Vert A{x}^{(n)}-b\Vert$ kecil). Solusi setelah 25 iterasi adalah

$x=\left[\begin{array}{c}7.111\\ -3.222\end{array}\right].$

Contoh lain

Contohnya kita diberi sistem linier berikut:

$\begin{array}{cc}10x_1-x_2+2x_3& =6,\\ -x_1+11x_2-x_3+3x_4& =25,\\ 2x_1-x_2+10x_3-x_4& =-11,\\ 3x_2-x_3+8x_4& =15.\end{array}$

Bila kita memilih sebagai pendekatan awal, maka solusi perkiraan pertama diberikan oleh

$\begin{array}{cc}{x}_1& =(6+0-(2\ast 0))/10=0.6,\\ x_2& =(25+0+0-(3\ast 0))/11=25/11=2.2727,\\ x_3& =(-11-(2\ast 0)+0+0)/10=-1.1,\\ x_4& =(15-(3\ast 0)+0)/8=\mathrm{1.875.}\end{array}$

Dengan menggunakan perkiraan yang diperoleh, prosedur iteratif diulangi sampai akurasi yang diinginkan tercapai. Berikut ini adalah solusi yang diperkirakan setelah lima iterasi.

$x_1$	$x_2$	$x_3$	$x_4$
0.6	2.27272	-1.1	1.875
1.04727	1.7159	-0.80522	0.88522
0.93263	2.05330	-1.0493	1.13088
1.01519	1.95369	-0.9681	0.97384
0.98899	2.0114	-1.0102	1.02135

Solusi yang tepat dari sistem ini adalah .

Contoh menggunakan Python dan NumPy

Prosedur numerik berikut hanya melakukan iterasi untuk menghasilkan vektor solusi.

<syntaxhighlight lang="python"> def jacobi(A, b, x_init, epsilon=1e-10, max_iterations=500):

   D = np.diag(np.diag(A))
   LU = A - D
   x = x_init
   for i in range(max_iterations):
       D_inv = np.diag(1 / np.diag(D))
       x_new = np.dot(D_inv, b - np.dot(LU, x))
       if np.linalg.norm(x_new - x) < epsilon:
           return x_new
       x = x_new
   return x

1. problem data

A = np.array([

   [5, 2, 1, 1],
   [2, 6, 2, 1],
   [1, 2, 7, 1],
   [1, 1, 2, 8]

]) b = np.array([29, 31, 26, 19])

1. you can choose any starting vector

x_init = np.zeros(len(b)) x = jacobi(A, b, x_init)

print("x:", x) print("computed b:", np.dot(A, x)) print("real b:", b) </syntaxhighlight>

Menghasilkan keluaran:

x: [3.99275362 2.95410628 2.16183575 0.96618357]
computed b: [29. 31. 26. 19.]
real b: [29 31 26 19]

Lihat pula

• Metode Gauss–Seidel
• Relaksasi berlebihan berturut-turut
• Metode berulang§Sistem linier
• Propagasi Keyakinan Gaussian
• Pemisahan matriks

Pranala luar

• Jacobi Method from www.math-linux.com

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28481376 (2025-11-14T07:29:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.