Homomorfisme aljabar: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 09.04

Pada matematika, homomorfisme aljabar adalah homomorfisme di antara dua aljabar asosiatif. Lebih tepatnya, jika dan adalah aljabar atas suatu lapangan (atau gelanggang komutatif) , fungsi $F : A \to B$ merupakan homomorfisme aljabar apabila untuk setiap anggota dan anggota ,^[1]^[2]

$F (k x) = k F (x)$
$F (x + y) = F (x) + F (y)$
$F (x y) = F (x) F (y)$

Dua kondisi pertama merupakan syarat agar menjadi pemetaan linier-K (atau homomorfisme modul-K jika K adalah gelanggang komutatif), dan kondisi terakhir merupakan syarat agar fungsi menjadi homomorfisme gelanggang (nonunit).

Jika invers dari merupakan homomorfisme atau dengan kata lain bijektif, maka fungsi merupakan isomorfisme antara dan .

Homomorfisme aljabar unital

Misalkan A dan B adalah dua aljabar dengan unsur satuan. Homomorfisme aljabar disebut homomofisme unital jika memetakan unsur satuan di ke unsur satuan di . Homomorfisme aljabar sering kali diasumsikan juga bersifat unital, sekalipun tidak secara eksplisit disebut unital.

Homomorfisme aljabar unital merupakan bagian dari homomorfisme gelanggang yang unital.

Contoh

Setiap gelanggang adalah aljabar-Z. Hal ini dikarenakan terdapat homomorfisme unik . Konversnya juga berlaku, i.e. setiap aljabar-Z merupakan gelanggang.
Homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan menginduksi struktur aljabar-R komutatif pada S. Sebaliknya, jika S merupakan aljabar-R komutatif, maka pemetaan merupakan homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan. Dengan demikian, overcategory gelanggang-R komutatif adalah kategori aljabar-R komutatif.
Misalkan A adalah subaljabar dari B, maka untuk setiap unsur unit b, fungsi yang mengirim setiap elemen a di A ke b⁻¹ab merupakan homomorfisme aljabar. (Jika , homomorfisme ini disebut automorfisme dalam dari B ). Homomorfisme ini biasa disebut sebagai pemetaan konjugasi oleh b. Misalkan pula A adalah aljabar sederhana dan B merupakan central simple algebra, maka semua homomorfisme dari A ke B merupakan pemetaan konjugasi; ini merupakan bunyi dari teorema Skolem – Noether .

Lihat pula

Morfisme
Spektrum gelanggang
Augmentasi (aljabar)

Referensi

↑ David S. Dummit. Abstract Algebra. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.
↑ Serge Lang. Algebra. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29466135 (2026-07-16T15:26:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] David S. Dummit. Abstract Algebra. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Serge Lang. Algebra. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.

[1]

[2]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Pada matematika, '''homomorfisme aljabar'''  adalah homomorfisme di antara dua [[aljabar asosiatif]]. Lebih tepatnya, jika  dan  adalah [[:en:Algebra_over_a_field|aljabar]] atas suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]] (atau [[:en:Commutative_ring|gelanggang komutatif]]) , fungsi<math>F\colon A\to B</math> merupakan homomorfisme aljabar apabila untuk setiap  anggota  dan  anggota ,
+Pada matematika, '''homomorfisme aljabar'''  adalah homomorfisme di antara dua [[aljabar asosiatif]]. Lebih tepatnya, jika  dan  adalah [[:en:Algebra_over_a_field|aljabar]] atas suatu [[Lapangan (matematika)|lapangan]] (atau [[:en:Commutative_ring|gelanggang komutatif]]) , fungsi<math>F\colon A\to B</math> merupakan homomorfisme aljabar apabila untuk setiap  anggota  dan  anggota ,<ref>David S. Dummit. [https://archive.org/details/abstractalgebra0000dumm_k3c6 Abstract Algebra]. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.</ref><ref>Serge Lang. ''Algebra''. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.</ref>
 * <math>F(kx) = kF(x)</math>
@@ Baris 15: / Baris 15: @@
 == Contoh ==
+* Setiap gelanggang adalah aljabar-'''Z.''' Hal ini dikarenakan terdapat homomorfisme unik . Konversnya juga berlaku, i.e. setiap aljabar-'''Z''' merupakan gelanggang'''.'''
-* Setiap gelanggang adalah aljabar-'''Z.''' Hal ini dikarenakan terdapat homomorfisme unik . Konversnya juga berlaku, i.e. setiap aljabar-'''Z''' merupakan gelanggang'''.'''
 * Homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan  menginduksi struktur aljabar-''R'' komutatif pada ''S.''  Sebaliknya, jika ''S'' merupakan aljabar-''R'' komutatif, maka pemetaan    merupakan homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan. Dengan demikian, ''overcategory'' gelanggang-''R'' komutatif adalah kategori aljabar-''R'' komutatif.
 * Misalkan ''A'' adalah [[subaljabar]] dari ''B,'' maka untuk setiap unsur unit ''b,'' fungsi yang mengirim setiap elemen ''a'' di ''A'' ke ''b''<sup>−1</sup>''ab'' merupakan homomorfisme aljabar''.'' (Jika , homomorfisme ini disebut automorfisme dalam dari ''B'' ). Homomorfisme ini biasa disebut sebagai pemetaan konjugasi oleh ''b''. Misalkan pula ''A'' adalah aljabar sederhana dan ''B'' merupakan ''central simple algebra'', maka semua homomorfisme dari ''A'' ke ''B'' merupakan pemetaan konjugasi; ini merupakan bunyi dari teorema Skolem – Noether .
 == Lihat pula ==
 * Morfisme
 *
 * Spektrum gelanggang
 * Augmentasi (aljabar)
 == Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Homomorfisme+aljabar&oldid=29466135 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29466135 (2026-07-16T15:26:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->