Derajat polinomial: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 14.04

Derajat polinomial adalah derajat tertinggi dari monomialnya (istilah individual) dengan koefisien tidak nol. Istilah orde biasanya digunakan dalam penyebutan derajat. Misalnya, dalam polinomial $7 x^{2} y^{3} + 4 x - 9,$ dapat dinyatakan sebagai $7 x^{2} y^{3} + 4 x^{1} y^{0} - 9 x^{0} y^{0},$ memiliki tiga suku. Suku pertama memiliki derajat 5 (jumlah dari eksponen 2 dan 3), suku kedua memiliki derajat 1, dan suku terakhir memiliki derajat 0. Oleh karena itu, polinomial ini memiliki derajat 5, yaitu tingkat tertinggi dari seluruh suku.

Untuk menentukan derajat polinomial yang tidak dalam bentuk standar (misalnya: $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2}$ ), yang pertama kali harus dilakukan adalah menjabarkan dan menggabungkan suku-suku sejenis. Sebagai contoh $(x + 1)^{2} - (x - 1)^{2} = 4 x$ memiliki derajat 1.

Nama polinomial menurut derajat

Nama-nama berikut diberikan untuk polinomial sesuai derajatnya:^[1]^[2]^[3]

Kasus khusus - nol
Derajat 0 - konstanta tidak nol ^[4]
Derajat 1 - linear
Derajat 2 - kuadratik
Derajat 3 - kubik
Derajat 4 - kuartik (atau bikuadratik jika semua suku memiliki derajat genap)
Derajat 5 - quintik
Derajat 6 - sekstik (heksik)
Derajat 7 - septik (heptik)

Untuk derajat yang lebih tinggi, terdapat nama-nama yang diusulkan,^[5] namun jarang digunakan:

Derajat 8 – oktik
Derajat 9 – nonik
Derajat 10 – dekik

Contoh lain

Polinomial $3 - 5 x + 2 x^{5} - 7 x^{9}$ adalah polinomial nonik
Polinomial $(y - 3) (2 y + 6) (- 4 y - 21)$ polinomial kubik
Polinomial $(3 z^{8} + z^{5} - 4 z^{2} + 6) + (- 3 z^{8} + 8 z^{4} + 2 z^{3} + 14 z)$ Polinomial kuintik (as the $z^{8}$ are cancelled out)

Perilaku dalam operasi polinomial

Penjumlahan

Jumlah atau selisih dari dua polinomial kurang dari atau sama dengan besar derajatnya.

\deg (P + Q) \leq max {\deg (P), \deg (Q)}

.

\deg (P - Q) \leq max {\deg (P), \deg (Q)}

.

Derajat $(x^{3} + x) + (x^{2} + 1) = x^{3} + x^{2} + x + 1$ adalah 3. Perhatikan bahwa 3 ≤ maks {3, 2}
Derajat $(x^{3} + x) - (x^{3} + x^{2}) = - x^{2} + x$ adalah 2. Perhatikan bahwa 2 ≤ maks {3, 3}

Perkalian skalar

Derajat perkalian polinomial dengan skalar bukan nol sama dengan derajat polinomialnya

\deg (c P) = \deg (P)

.

Derajat $2 (x^{2} + 3 x - 2) = 2 x^{2} + 6 x - 4$ adalah 2, seperti derajat $x^{2} + 3 x - 2$ .

Perkalian

Derajat dari perkalian dua polinomial pada bidang atau domain integral adalah jumlah dari derajatnya:

\deg (P Q) = \deg (P) + \deg (Q)

.

Derajat $(x^{3} + x) (x^{2} + 1) = x^{5} + 2 x^{3} + x$ adalah 3 + 2 = 5.

Komposisi

Derajat dari komposisi dua polinomial non-konstanta $P$ dan $Q$ pada bidang atau domain integral adalah perkalian dari derajatnya:

\deg (P \circ Q) = \deg (P) \deg (Q)

.

Jika $P = (x^{3} + x)$ , $Q = (x^{2} + 1)$ , dan $P \circ Q = P \circ (x^{2} + 1) = (x^{2} + 1)^{3} + (x^{2} + 1) = x^{6} + 3 x^{4} + 4 x^{2} + 2$ , dimana meiliki derajat 6.

Referensi

↑ Names of Polynomials. November 25, 1997.
↑ Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)
↑ King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".
↑ Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, f(x)=a_0 : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value a_0 ." (p. 23)
↑ James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 22870129 (2023-02-05T22:32:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Names of Polynomials. November 25, 1997.

[2] Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)

[3] King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".

[4] Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, f(x)=a_0 : "Such a polynomial is called a constant because if we substitute different values of x in it, we always obtain the same value a_0 ." (p. 23)

[5] James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. (Mechanics Magazine, Vol. LV, p. 171)

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Baris 4: / Baris 4: @@
 == Nama polinomial menurut derajat ==
-Nama-nama berikut diberikan untuk polinomial sesuai derajatnya:
+Nama-nama berikut diberikan untuk polinomial sesuai derajatnya:<ref>[http://mathforum.org/library/drmath/view/56413.html Names of Polynomials]. November 25, 1997.</ref><ref>Mac Lane and Birkhoff (1999) define "linear", "quadratic", "cubic", "quartic", and "quintic". (p. 107)</ref><ref>King (2009) defines "quadratic", "cubic", "quartic", "quintic", "sextic", "septic", and "octic".</ref>
 * Kasus khusus - [[Polinomial|nol]]
-* Derajat 0 - [[Fungsi konstan|konstanta]] tidak nol
+* Derajat 0 - [[Fungsi konstan|konstanta]] tidak nol <ref>Shafarevich (2003) says of a polynomial of degree zero, f(x)=a_0 : "Such a polynomial is called a ''constant'' because if we substitute different values of ''x'' in it, we always obtain the same value a_0 ." (p. 23)</ref>
 * Derajat 1 - [[Fungsi linear|linear]]
 * Derajat 2 - [[Fungsi kuadrat|kuadratik]]
@@ Baris 16: / Baris 16: @@
 * Derajat 7 - septik (heptik)
-Untuk derajat yang lebih tinggi, terdapat nama-nama yang diusulkan, namun jarang digunakan:
+Untuk derajat yang lebih tinggi, terdapat nama-nama yang diusulkan,<ref>James Cockle proposed the names "sexic", "septic", "octic", "nonic", and "decic" in 1851. ([https://books.google.com/books?id=cxIFAAAAQAAJ&pg=PP1#v=onepage&q=sexic%20septic%20octic%20nonic%20decic&f=false ''Mechanics Magazine'', Vol. LV, p. 171])</ref> namun jarang digunakan:
 * Derajat 8 – [[Persamaan oktik|oktik]]
@@ Baris 23: / Baris 23: @@
 == Contoh lain ==
 * Polinomial <math>3 - 5 x + 2 x^5 - 7 x^9</math> adalah polinomial nonik
 * Polinomial <math>(y - 3)(2y + 6)(-4y - 21)</math> polinomial kubik
@@ Baris 29: / Baris 28: @@
 == Perilaku dalam operasi polinomial ==
 === Penjumlahan ===
 Jumlah atau selisih dari dua polinomial kurang dari atau sama dengan besar derajatnya.
@@ Baris 60: / Baris 58: @@
 * Jika <math>P = (x^3+x)</math>, <math>Q = (x^2+1)</math>, dan<math>P \circ Q = P \circ (x^2+1) = (x^2+1)^3+(x^2+1) = x^6+3x^4+4x^2+2</math>, dimana meiliki derajat 6.
-==Referensi==
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Derajat+polinomial&oldid=22870129 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 22870129 (2023-02-05T22:32:16Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)