Sistem koordinat polar

Examples of Polar Coordinates

Sistem koordinat polar (sistem koordinat kutub) dalam matematika adalah suatu sistem koordinat 2-dimensi di mana setiap titik pada bidang ditentukan dengan jarak dari suatu titik yang telah ditetapkan dan suatu sudut dari suatu arah yang telah ditetapkan.

Titik yang telah ditetapkan (analog dengan titik origin dalam sistem koordinat Kartesius) disebut pole atau "kutub", dan ray atau "sinar" dari kutub pada arah yang telah ditetapkan disebut "aksis polar" (polar axis). Jarak dari suatu kutub disebut radial coordinate atau radius, dan sudutnya disebut angular coordinate, polar angle, atau azimuth.

Grégoire de Saint-Vincent dan Bonaventura Cavalieri secara independen memperkenalkan konsep-konsep tersebut pada pertengahan abad ketujuh belas, meskipun istilah sebenarnya koordinat polar telah dikaitkan. Motivasi awal untuk pengenalan sistem polar adalah mempelajari melingkar dan gerakan orbital.

Koordinat polar paling tepat dalam konteks apa pun di mana fenomena yang dipertimbangkan secara inheren terikat pada arah dan panjang dari titik pusat pada bidang, seperti spiral. Sistem fisik planar dengan benda-benda bergerak di sekitar titik pusat, atau fenomena yang berasal dari titik pusat, sering kali lebih sederhana dan lebih intuitif untuk dimodelkan menggunakan koordinat polar.

Sistem koordinat polar diperluas menjadi tiga dimensi dengan dua cara: sistem koordinat tabung dan bola.

Sejarah

Konsep sudut dan jari-jari sudah digunakan oleh manusia sejak zaman purba, paling tidak pada milenium pertama SM. Astronom dan astrolog Yunani, Hipparchus, (190–120 SM) menciptakan tabel fungsi chord dengan menyatakan panjang chord bagi setiap sudut, dan ada rujukan mengenai penggunaan koordinat polar olehnya untuk menentukan posisi bintang-bintang. Dalam karyanya On Spirals, Archimedes menyatakan Archimedean spiral, suatu fungsi yang jari-jarinya tergantung dari sudut. Namun, karya-karya Yunani tidak berkembang sampai ke suatu sistem koordinat sepenuhnya.

Dari abad ke-8 M dan seterusnya, para astronom mengembangkan metode untuk menghitung arah ke Mekkah (kiblat)— dan jaraknya — dari semua lokasi di bumi. Sejak abad ke-9 dan seterusnya, mereka menggunakan metode trigonometri bola dan proyeksi peta untuk menentukan jumlah ini secara akurat. Perhitungan pada dasarnya adalah konversi koordinat polar ekuator Mekkah (yaitu bujur dan lintang) ke koordinat kutubnya (yaitu kiblat dan jaraknya) relatif terhadap sistem yang meridian referensinya adalah lingkaran besar melalui lokasi tertentu, dan yang sumbu polarnya adalah garis melalui lokasi dan titik antipodal.

Ada berbagai penjelasan tentang pengenalan koordinat polar sebagai bagian dari sistem koordinat formal. Sejarah lengkap dari subjek ini dijelaskan dalam Origin of Polar Coordinates Harvard profesor Julian Lowell Coolidge. Grégoire de Saint-Vincent dan Bonaventura Cavalieri secara independen memperkenalkan konsep-konsep pada pertengahan abad ketujuh belas. Saint-Vincent menulis tentang mereka secara pribadi pada tahun 1625 dan menerbitkan karyanya pada tahun 1647, sementara Cavalieri menerbitkan karyanya pada tahun 1635 dengan versi koreksi yang muncul pada tahun 1653. Cavalieri pertama kali menggunakan koordinat kutub untuk memecahkan masalah yang berkaitan dengan luas di dalam spiral Archimedean. Blaise Pascal kemudian menggunakan koordinat polar untuk menghitung panjang busur parabola.

Dalam Method of Fluxions (ditulis 1671, diterbitkan 1736), Sir Isaac Newton memeriksa transformasi antara koordinat kutub, yang ia sebut sebagai "Cara Ketujuh; Untuk Spiral". Dalam jurnal Acta Eruditorum (1691), Jacob Bernoulli menggunakan sistem dengan titik pada garis, yang masing-masing disebut polar dan sumbu polar . Koordinat ditentukan oleh jarak dari kutub dan sudut dari sumbu polar . Pekerjaan Bernoulli diperluas untuk menemukan jari-jari kelengkungan.

Istilah sebenarnya koordinat polar telah dikaitkan dengan Gregorio Fontana dan digunakan oleh penulis Italia abad ke-18. Istilah ini muncul dalam Inggris dalam terjemahan George Peacock tahun 1816 dari terjemahan Lacroix Diferensial dan Integral Kalkulus. Alexis Clairaut adalah orang pertama yang memikirkan koordinat kutub dalam tiga dimensi, dan Leonhard Euler adalah orang pertama yang benar-benar mengembangkannya.

Kaidah

Koordinat radial sering dilambangkan dengan r, dan koordinat angular dilambangkan dengan φ, θ, atau t. Koordinat angular ditetapkan sebagai φ oleh standar ISO 31-11.

Sudut dalam notasi polar biasanya dinyatakan dalam derajat atau radian (2π rad sama dengan to 360°). Derajat biasanya digunakan dalam navigasi, surveying, dan banyak bidang, sementara radian lebih umum dalam matematika dan fisika.

Dalam banyak konteks, suatu koordinat angular positif berarti sudut φ diukur berlawanan dengan jarum jam dari aksis.

Dalam literatur matematika, aksis polar sering digambar horizontal dan mengarah ke kanan.

Keunikan koordinat polar

Menambahkan sejumlah putaran (360 °) penuh ke koordinat sudut tidak mengubah arah yang sesuai. Juga, koordinat radial negatif paling baik diinterpretasikan sebagai jarak positif terkait yang diukur dalam arah yang berlawanan. Oleh karena itu, titik yang sama dapat diekspresikan dengan koordinat kutub yang berbeda dalam jumlah tak terhingga atau , dimana n adalah salah satu bilangan bulat. Moreover, the pole itself can be expressed as (0, φ) for any angle φ.

Jika representasi unik diperlukan untuk titik mana pun, biasanya membatasi r menjadi bilangan non-negatif () dan φ ke interval [0, 360 °) atau (−180°, 180°] (dalam radian, [0, 2π) atau (−π, π]). Seseorang juga harus memilih azimuth unik untuk tiang, misalnya φ = 0.

Konversi dari atau ke koordinat Kartesius

Koordinat polar r dan φ dapat dikonversi ke dalam sistem koordinat Kartesius x dan y menggunakan fungsi trigonometri sinus dan kosinus:

$x=r\cos \phi$

$y=r\sin \phi$

Koordinat Kartesius x dan y dapat dikonversi ke dalam koordinat polar r dan φ dengan r ≥ 0 dan φ dalam interval (−π, π] dengan:

$r=\sqrt{x^2+y^2}$ (sebagaimana dalam teorema Pythagoras atau Norma Euklides), dan

$\phi =\mathrm{atan2}(y,x)$,

di mana atan2 merupakan variasi umum pada fungsi arctangent yang didefinisikan sebagai

$\mathrm{atan2}(y,x)=\{\begin{array}{cc}\arctan (\frac{y}{x})& \text{jika }x>0\\ \arctan (\frac{y}{x})+\pi & \text{jika }x<0\text{ dan }y\ge 0\\ \arctan (\frac{y}{x})-\pi & \text{jika }x<0\text{ dan }y<0\\ \frac{\pi }{2}& \text{jika }x=0\text{ dan }y>0\\ -\frac{\pi }{2}& \text{jika }x=0\text{ dan }y<0\\ \text{undefined}& \text{jika }x=0\text{ dan }y=0\end{array}$

Nilai φ di atas adalah nilai pokok dari fungsi bilangan kompleks arg yang diterapkan pada x+iy. Suatu sudut dalam rentang [0, 2π) dapat diperoleh dengan menambahkan 2π pada nilai sudut itu jika nilainya negatif.

Persamaan kutub dari sebuah kurva

Persamaan yang menentukan kurva aljabar yang dinyatakan dalam koordinat kutub dikenal sebagai persamaan polar . Dalam banyak kasus, persamaan seperti itu dapat dengan mudah ditentukan dengan mendefinisikan r sebagai fungsi dari φ. Kurva yang dihasilkan kemudian terdiri dari titik-titik bentuk (r(φ), φ) dan dapat dianggap sebagai grafik dari fungsi kutub r.

Berbagai bentuk simetri dapat disimpulkan dari persamaan fungsi kutub r . Bila kurva akan simetris tentang horizontal (0°/180°) pada ray, bila itu akan simetris terhadap sinar vertikal (90°/270°), dan bila maka hal itu akan menjadi simetris rotasi oleh α berlawanan arah jarum jam di sekitar kutub.

Karena sistem koordinat kutub bersifat melingkar, banyak kurva dapat dijelaskan dengan persamaan kutub yang agak sederhana, sedangkan bentuk Cartesiannya jauh lebih rumit. Di antara yang paling terkenal dari kurva ini adalah mawar polar, spiral Archimedean, lemniscate, limaçon, dan cardioid.

Untuk lingkaran, garis, dan mawar kutub di bawahnya, dipahami bahwa tidak ada batasan pada domain dan range kurva.

Lingkaran

Lingkaran dengan persamaan

Persamaan umum untuk lingkaran dengan pusat di dan radius a adalah

$r^2-2r{r}_0\cos (\phi -\gamma )+r_0^2=a^2.$

Ini dapat disederhanakan dengan berbagai cara, untuk menyesuaikan dengan kasus yang lebih spesifik, seperti persamaan

$r(\phi )=a$

untuk lingkaran dengan pusat di kutub dan jari-jari a.

Ketika ₀ = , atau ketika titik asal terletak pada lingkaran, persamaan menjadi

$r=2a\cos (\phi -\gamma )$.

Dalam kasus umum, persamaan dapat diselesaikan , memberi

$r=r_0\cos (\phi -\gamma )+\sqrt{a^2-r_0^2{\sin }^2(\phi -\gamma )}$,

the solution with a minus sign in front of the square root gives the same curve.

Garis

Mawar kutub dengan persamaan

Garis radial (yang melewati kutub) diwakili oleh persamaan

$\phi =\gamma$,

dimana ɣ adalah sudut elevasi garis; maka hal itu adalah, di mana m adalah kemiringan garis dalam sistem koordinat Kartesius. Garis non radial yang melintasi garis radial tegak lurus pada titik (r₀, ɣ) memiliki persamaan

$r(\phi )=r_0\sec (\phi -\gamma ).$

Dinyatakan sebaliknya (r₀, ɣ) adalah titik di mana garis singgung memotong lingkaran imajiner jari-jari r₀.

Polar mawar

Polar mawar adalah kurva matematika terkenal yang terlihat seperti kelopak bunga, dan dapat diekspresikan sebagai persamaan kutub sederhana,

$r(\phi )=a\cos (k\phi +{\gamma }_0)$

for any constant ɣ₀ (including 0). If k is an integer, these equations will produce a k-petaled rose if k is odd, or a 2k-petaled rose if k is even. If k rasional tetapi bukan bilangan bulat, bentuk seperti mawar dapat terbentuk tetapi dengan kelopak yang tumpang tindih. Perhatikan bahwa persamaan ini tidak pernah mendefinisikan mawar dengan kelopak 2, 6, 10, 14, dll. variabel a mewakili panjang kelopak mawar.

Spiral Archimedean

Spiral Archimedean adalah spiral terkenal yang ditemukan oleh Archimedes, yang juga dapat dinyatakan sebagai persamaan kutub sederhana. Itu diwakili oleh persamaan

$r(\phi )=a+b\phi .$

Mengubah parameter a akan memutar spiral, sedangkan b mengontrol jarak antar lengan, yang untuk spiral tertentu selalu konstan. Spiral Archimedean memiliki dua lengan, satu untuk dan satu untuk . Kedua lengan terhubung dengan mulus di tiang. Mengambil bayangan cermin dari satu lengan melintasi garis 90°/270° akan menghasilkan lengan lainnya. Kurva ini terkenal sebagai salah satu kurva pertama, setelah bagian kerucut, untuk dijelaskan dalam risalah matematika, dan sebagai contoh utama dari kurva yang paling baik didefinisikan dengan persamaan kutub.

Bagian kerucut

Elips, menunjukkan rektum semi-latus

Sebuah bagian kerucut dengan satu fokus pada kutub dan yang lainnya pada suatu tempat pada sinar 0° (sehingga sumbu mayor kerucut terletak di sepanjang sumbu kutub) diberikan oleh:

$r=\frac{\ell }{1-e\cos \phi }$

di mana e adalah eksentrisitas dan $\ell$ adalah rektum semi-latus (jarak tegak lurus pada fokus dari sumbu utama ke kurva). Bila , persamaan ini mendefinisikan hiperbola; bila , itu mendefinisikan parabola; dan bila , itu mendefinisikan elips. Kasus khusus hasil terakhir dalam lingkaran jari-jari $\ell$.

Perpotongan dua kurva polar

Grafik dua fungsi polar $r=f(\theta )$ dan $r=g(\theta )$ memiliki kemungkinan persimpangan dalam 3 kasus:

1. Di asal bila persamaan $f(\theta )=0$ dan $g(\theta )=0$ masing-masing memiliki setidaknya satu solusi.
2. Semua poin $[g({\theta }_i),{\theta }_i]$ dimana ${\theta }_i$ adalah solusi untuk persamaan tersebut $f(\theta )=g(\theta )$.
3. Semua poin $[g({\theta }_i),{\theta }_i]$ dimana ${\theta }_i$ adalah solusi untuk persamaan tersebut $f(\theta +(2k+1)\pi )=-g(\theta )$ dimana $k$ adalah bilangan bulat.

Bilangan kompleks

Ilustrasi bilangan kompleks z yang diplot pada bidang kompleks

Ilustrasi bilangan kompleks yang diplot pada bidang kompleks menggunakan rumus Euler

Setiap bilangan kompleks dapat direpresentasikan sebagai sebuah titik dalam bidang kompleks, dan oleh karena itu dapat diekspresikan dengan menentukan koordinat Kartesius titik tersebut (disebut bentuk persegi panjang atau kartesius) atau koordinat kutub titik (disebut bentuk polar). Bilangan kompleks z dapat direpresentasikan dalam bentuk persegi panjang sebagai

$z=x+iy$

di mana i adalah unit imajiner, atau dapat juga ditulis dalam bentuk kutub (melalui rumus konversi yang diberikan di atas) sebagai

$z=r\cdot (\cos \phi +i\sin \phi )$

and from there as

$z=r{e}^{i\phi }$

di mana e adalah bilangan Euler, yang setara dengan yang ditunjukkan oleh rumus Euler. (Perhatikan bahwa rumus ini, seperti semua rumus yang melibatkan sudut eksponensial, mengasumsikan bahwa sudut φ dinyatakan dalam radian.) Untuk mengonversi antara bentuk persegi panjang dan kutub dari sebuah bilangan kompleks, rumus konversi yang diberikan di atas dapat digunakan.

Untuk operasi perkalian, pembagian, dan eksponen bilangan kompleks, it umumnya jauh lebih sederhana untuk bekerja dengan bilangan kompleks yang diekspresikan dalam bentuk kutub daripada persegi panjang. Dari hukum eksponen:

• Perkalian:

$r_0{e}^{i{\phi }_0}\cdot r_1{e}^{i{\phi }_1}=r_0{r}_1{e}^{i({\phi }_0+{\phi }_1)}$

• Divisi:

$\frac{r_0{e}^{i{\phi }_0}}{r_1{e}^{i{\phi }_1}}=\frac{r_0}{r_1}{e}^{i({\phi }_0-{\phi }_1)}$

• Eksponensial (rumus De Moivre):

$(r{e}^{i\phi }{)}^n=r^n{e}^{in\phi }$

Kalkulus

Kalkulus dapat diterapkan pada persamaan yang dinyatakan dalam koordinat polar.

Koordinat sudut φ dinyatakan dalam radian di sepanjang bagian ini, yang merupakan pilihan konvensional saat mengerjakan kalkulus.

Kalkulus diferensial

Menggunakan dan , seseorang dapat memperoleh hubungan antara turunan di Cartesian dan koordinat kutub. Untuk fungsi tertentu, u(x,y), Maka itu (dengan menghitung turunan total)

$r\frac{\partial u}{\partial r}=r\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial r}+r\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial r},$

$\frac{\partial u}{\partial \phi }=\frac{\partial u}{\partial x}\frac{\partial x}{\partial \phi }+\frac{\partial u}{\partial y}\frac{\partial y}{\partial \phi },$

atau

$r\frac{\partial u}{\partial r}=r\frac{\partial u}{\partial x}\cos \phi +r\frac{\partial u}{\partial y}\sin \phi =x\frac{\partial u}{\partial x}+y\frac{\partial u}{\partial y},$

$\frac{\partial u}{\partial \phi }=-\frac{\partial u}{\partial x}r\sin \phi +\frac{\partial u}{\partial y}r\cos \phi =-y\frac{\partial u}{\partial x}+x\frac{\partial u}{\partial y}.$

Karenanya, kami memiliki rumus berikut:

$r\frac{\partial }{\partial r}=x\frac{\partial }{\partial x}+y\frac{\partial }{\partial y}$

$\frac{\partial }{\partial \phi }=-y\frac{\partial }{\partial x}+x\frac{\partial }{\partial y}.$

Menggunakan transformasi koordinat terbalik, hubungan timbal balik analog dapat diturunkan antara turunannya. Diberikan fungsi u(r,φ), maka hal ini mengikuti

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial \phi }\frac{\partial \phi }{\partial x},$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y}+\frac{\partial u}{\partial \phi }\frac{\partial \phi }{\partial y},$

atau

$\frac{\partial u}{\partial x}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}-\frac{\partial u}{\partial \phi }\frac{y}{x^2+y^2}=\cos \phi \frac{\partial u}{\partial r}-\frac{1}{r}\sin \phi \frac{\partial u}{\partial \phi },$

$\frac{\partial u}{\partial y}=\frac{\partial u}{\partial r}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}+\frac{\partial u}{\partial \phi }\frac{x}{x^2+y^2}=\sin \phi \frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r}\cos \phi \frac{\partial u}{\partial \phi }.$

Karenanya, kami memiliki rumus berikut:

$\frac{\partial }{\partial x}=\cos \phi \frac{\partial }{\partial r}-\frac{1}{r}\sin \phi \frac{\partial }{\partial \phi }$

$\frac{\partial }{\partial y}=\sin \phi \frac{\partial }{\partial r}+\frac{1}{r}\cos \phi \frac{\partial }{\partial \phi }.$

Untuk mencari kemiringan Cartesian dari garis singgung ke kurva polar r(φ) pada titik tertentu, kurva pertama kali dinyatakan sebagai sistem persamaan parametrik.

$x=r(\phi )\cos \phi$

$y=r(\phi )\sin \phi$

Diferensiasi kedua persamaan sehubungan dengan hasil φ

$\frac{dx}{d\phi }=r^{\prime }(\phi )\cos \phi -r(\phi )\sin \phi$

$\frac{dy}{d\phi }=r^{\prime }(\phi )\sin \phi +r(\phi )\cos \phi .$

Membagi persamaan kedua dengan persamaan pertama menghasilkan kemiringan Kartesius dari garis singgung ke kurva pada titik tersebut. :

$\frac{dy}{dx}=\frac{r^{\prime }(\phi )\sin \phi +r(\phi )\cos \phi }{r^{\prime }(\phi )\cos \phi -r(\phi )\sin \phi }.$

Untuk rumus berguna lainnya termasuk divergensi, gradien, dan Laplacian dalam koordinat polar, lihat koordinat lengkung.

Kalkulus integral (panjang busur)

Panjang busur (panjang segmen garis) yang ditentukan oleh fungsi kutub ditentukan oleh integrasi di atas kurva r(φ). Contohnya L menunjukkan panjang ini sepanjang kurva mulai dari titik A hingga titik B , di mana titik-titik ini sesuai dengan φ = a dan φ = b seperti yang . Panjang L diberikan oleh integral berikut

$L={\int }_a^b\sqrt{{[r(\phi )]}^2+{\left[\frac{dr(\phi )}{d\phi }\right]}^2}d\phi$

Koneksi ke koordinat bola dan tabung

Sistem koordinat kutub diperluas menjadi tiga dimensi dengan dua sistem koordinat yang berbeda, tabung dan sistem koordinat bola.

Aplikasi

Koordinat polar adalah dua dimensi dan karenanya hanya dapat digunakan jika posisi titik terletak pada bidang dua dimensi tunggal. Mereka paling sesuai dalam konteks apa pun di mana fenomena yang sedang dipertimbangkan secara inheren terkait dengan arah dan panjang dari titik pusat. Contohnya, Contoh di atas menunjukkan bagaimana persamaan kutub elementer cukup untuk mendefinisikan kurva, seperti spiral Archimedean yang persamaannya dalam sistem koordinat Cartesian akan jauh lebih rumit. Selain itu, banyak sistem fisik — seperti yang berkaitan dengan benda yang bergerak di sekitar titik pusat atau dengan fenomena yang berasal dari titik pusat lebih sederhana dan lebih intuitif untuk dimodelkan menggunakan polat. Motivasi awal untuk pengenalan sistem kutub adalah mempelajari melingkar dan gerakan orbital.

Posisi dan navigasi

Koordinat kutub sering digunakan dalam navigasi, karena tujuan atau arah perjalanan dapat diberikan sebagai sudut dan jarak dari objek yang dipertimbangkan. Contohnya, pesawat menggunakan versi yang sedikit dimodifikasi dari koordinat polar untuk navigasi. Dalam sistem ini, yang umumnya digunakan untuk segala jenis navigasi, sinar 0 ° umumnya disebut heading 360, dan sudutnya berlanjut ke arah searah jarum jam, bukan berlawanan arah jarum jam, seperti dalam sistem matematika. Judul 360 berkaitan dengan magnet utara, sedangkan judul 90, 180, dan 270 masing-masing terkait dengan magnet timur, selatan, dan barat. Dengan demikian, sebuah pesawat terbang yang menempuh 5 mil laut ke arah timur akan menempuh 5 unit pada pos 90 (baca nol-niner-nol oleh kontrol lalu lintas udara).

Pemodelan

Sistem yang menampilkan simetri radial memberikan pengaturan alami untuk sistem koordinat kutub, dengan titik pusat bertindak sebagai kutub. Contoh utama dari penggunaan ini adalah persamaan aliran air tanah. Sistem dengan gaya radial juga merupakan kandidat yang baik untuk penggunaan sistem koordinat polar. Sistem ini mencakup medan gravitasi, yang mematuhi hukum kuadrat terbalik, serta sistem dengan sumber titik, seperti antena radio.

Sistem asimetris radial juga dapat dimodelkan dengan koordinat polar. Contohnya, pola pengambilan mikrofon mengilustrasikan respons proporsionalnya terhadap suara yang masuk dari arah tertentu, dan pola ini dapat diulang. Kurva untuk mikrofon cardioid standar, mikrofon searah yang paling umum, dapat direpresentasikan sebagai pada frekuensi desain targetnya. Pola bergeser ke arah omnidirectionality pada frekuensi yang lebih rendah.

Lihat pula

• Daftar transformasi koordinat
• Garis Lintang dan Garis Bujur
• Sistem koordinat
• Sistem koordinat Bola
• Sistem koordinat Cartesius
• Sistem koordinat Ekliptika
• Sistem koordinat Ekuator
• Sistem koordinat Geografi
• Sistem koordinat Silinder

Pranala luar

• Coordinate Converter — converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
• Polar Coordinate System Dynamic Demo

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29583493 (2026-08-15T15:02:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.