Teorema Gauss–Bonnet: Perbedaan antara revisi
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28486788; atribusi sumber disertakan. |
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi |
||
| Baris 1: | Baris 1: | ||
[[File:Gauss-Bonnet_theorem.svg|thumb|right|280px|Gauss-Bonnet theorem]] | |||
'''Teorema Gauss–Bonnet''' atau '''formula Gauss–Bonnet''' dalam [[geometri diferensial]] adalah pernyataan penting tentang [[permukaan (topologi)|permukaan]] yang menghubungkan geometri mereka (dalam arti [[lengkungan]]) ke topologi mereka (dalam arti [[karakteristik Euler]]). Teorema ini dinamai sesuai dengan [[Carl Friedrich Gauss]] yang mengetahui versi teorema tersebut tetapi tidak pernah menerbitkannya, dan [[Pierre Ossian Bonnet]] yang menerbitkan sebuah argumen khusus pada tahun 1848. | '''Teorema Gauss–Bonnet''' atau '''formula Gauss–Bonnet''' dalam [[geometri diferensial]] adalah pernyataan penting tentang [[permukaan (topologi)|permukaan]] yang menghubungkan geometri mereka (dalam arti [[lengkungan]]) ke topologi mereka (dalam arti [[karakteristik Euler]]). Teorema ini dinamai sesuai dengan [[Carl Friedrich Gauss]] yang mengetahui versi teorema tersebut tetapi tidak pernah menerbitkannya, dan [[Pierre Ossian Bonnet]] yang menerbitkan sebuah argumen khusus pada tahun 1848. | ||
== Pernyataan == | == Pernyataan == | ||
Seharusnya nilai <math>M</math> adalah [[Ruang kompak|kekompakan]] antara dua dimensi [[Manifol Riemannian|berjenis Riemannian]] dengan batas <math>\partial M</math> . Jika nilai <math>K</math> menjadi [[Lengkungan Gauss|kelengkungan Gaussian]] pada nilai <math>M</math>, dan membiarkan nilai <math>k_g</math> menjadi [[kelengkungan geodesik]] <math>\partial M</math> . Setelah itu | Seharusnya nilai <math>M</math> adalah [[Ruang kompak|kekompakan]] antara dua dimensi [[Manifol Riemannian|berjenis Riemannian]] dengan batas <math>\partial M</math> . Jika nilai <math>K</math> menjadi [[Lengkungan Gauss|kelengkungan Gaussian]] pada nilai <math>M</math>, dan membiarkan nilai <math>k_g</math> menjadi [[kelengkungan geodesik]] <math>\partial M</math> . Setelah itu <ref>Manfredo Perdigão do Carmo. [https://archive.org/details/riemanniangeomet0000carm Riemannian geometry]. Birkhäuser. 1992. ISBN 0817634908.</ref><ref>Manfredo Perdigão do Carmo. [https://archive.org/details/differentialgeom0000carm Differential geometry of curves and surfaces]. Prentice-Hall. 1976. ISBN 0132125897.</ref> | ||
<math>\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M), \,</math> | <math>\int_M K\;dA+\int_{\partial M}k_g\;ds=2\pi\chi(M), \,</math> | ||
| Baris 16: | Baris 18: | ||
dapat dihilangkan. Ini menyatakan bahwa kelengkungan Gaussian total dari permukaan tertutup tersebut sama dengan 2π kali karakteristik Euler dari permukaan tersebut. Perhatikan bahwa untuk permukaan kompak yang [[Manifold yang dapat diorientasikan|dapat diorientasikan]] tanpa batas, karakteristik Euler sama <math>2-2g</math>, di mana <math>g</math> adalah [[Genus (matematika)|genus]] permukaan: Setiap permukaan padat yang dapat diorientasikan tanpa batas secara topologis setara dengan bola dengan beberapa pegangan terpasang, dan <math>g</math> menghitung jumlah pegangan. | dapat dihilangkan. Ini menyatakan bahwa kelengkungan Gaussian total dari permukaan tertutup tersebut sama dengan 2π kali karakteristik Euler dari permukaan tersebut. Perhatikan bahwa untuk permukaan kompak yang [[Manifold yang dapat diorientasikan|dapat diorientasikan]] tanpa batas, karakteristik Euler sama <math>2-2g</math>, di mana <math>g</math> adalah [[Genus (matematika)|genus]] permukaan: Setiap permukaan padat yang dapat diorientasikan tanpa batas secara topologis setara dengan bola dengan beberapa pegangan terpasang, dan <math>g</math> menghitung jumlah pegangan. | ||
== Pranala luar == | == Pranala luar == | ||
* | * | ||
* [http://mathworld.wolfram.com/Gauss-BonnetFormula.html Gauss–Bonnet Theorem] di Wolfram Mathworld | * [http://mathworld.wolfram.com/Gauss-BonnetFormula.html Gauss–Bonnet Theorem] di Wolfram Mathworld | ||
== Referensi == | |||
<references /> | |||
== Sumber dan atribusi == | |||
== | Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Gauss%E2%80%93Bonnet&oldid=28486788 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28486788 (2025-11-14T09:53:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku. | ||
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 --> | |||
Revisi terkini sejak 26 Agustus 2026 14.15
Teorema Gauss–Bonnet atau formula Gauss–Bonnet dalam geometri diferensial adalah pernyataan penting tentang permukaan yang menghubungkan geometri mereka (dalam arti lengkungan) ke topologi mereka (dalam arti karakteristik Euler). Teorema ini dinamai sesuai dengan Carl Friedrich Gauss yang mengetahui versi teorema tersebut tetapi tidak pernah menerbitkannya, dan Pierre Ossian Bonnet yang menerbitkan sebuah argumen khusus pada tahun 1848.
Pernyataan
Seharusnya nilai adalah kekompakan antara dua dimensi berjenis Riemannian dengan batas . Jika nilai menjadi kelengkungan Gaussian pada nilai , dan membiarkan nilai menjadi kelengkungan geodesik . Setelah itu [1][2]
Darimana nilai dA adalah elemen luas pada permukaan dan nilai ds adalah elemen garis di sepanjang batas M. Nilai adalah karakteristik Euler dari .
Jika batas pada nilai adalah rumus sedikit halus, setelah itu kami akan menafsirkan nilai pada integral sebagai jumlah dari integral terkait sepanjang bagian mulus dari batas, ditambah jumlah sudut di mana bagian halus berputar di sudut batas.
Interpretasi dan signifikansi
Teorema tersebut diterapkan khususnya pada permukaan kompak tanpa batas, dalam hal ini:
dapat dihilangkan. Ini menyatakan bahwa kelengkungan Gaussian total dari permukaan tertutup tersebut sama dengan 2π kali karakteristik Euler dari permukaan tersebut. Perhatikan bahwa untuk permukaan kompak yang dapat diorientasikan tanpa batas, karakteristik Euler sama , di mana adalah genus permukaan: Setiap permukaan padat yang dapat diorientasikan tanpa batas secara topologis setara dengan bola dengan beberapa pegangan terpasang, dan menghitung jumlah pegangan.
Pranala luar
- Gauss–Bonnet Theorem di Wolfram Mathworld
Referensi
- ↑ Manfredo Perdigão do Carmo. Riemannian geometry. Birkhäuser. 1992. ISBN 0817634908.
- ↑ Manfredo Perdigão do Carmo. Differential geometry of curves and surfaces. Prentice-Hall. 1976. ISBN 0132125897.
Sumber dan atribusi
Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28486788 (2025-11-14T09:53:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.