Hukum logaritma teriterasi: Perbedaan antara revisi
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 27843430; atribusi sumber disertakan. |
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi |
||
| Baris 1: | Baris 1: | ||
Dalam [[Teori peluang|teori probabilitas]], '''hukum logaritma berulang''' menggambarkan seberapa besar fluktuasi yang terjadi dalam sebuah [[Langkah acak|pergerakan acak]]. Pernyataan asli dari hukum ini pertama kali dikemukakan oleh A. Ya. Khinchin pada tahun 1924. Pernyataan lain yang lebih umum kemudian diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov|AN Kolmogorov]] pada tahun 1929. | [[File:Law_of_large_numbers.gif|thumb|right|280px|Plot dari S_n/n (merah), simpangan bakunya 1/\sqrt{n} (biru) dan batasnya \sqrt{2\log\log n/n} sesuai dengan LIL (hijau). Perhatikan bagaimana nilainya secara acak berpindah dari batas atas ke batas bawah. Kedua sumbu pada grafik ini telah diubah secara non-linier (seperti dijelaskan dalam ringkasan gambar) untuk membuat pola ini lebih mudah terlihat]] | ||
Dalam [[Teori peluang|teori probabilitas]], '''hukum logaritma berulang''' menggambarkan seberapa besar fluktuasi yang terjadi dalam sebuah [[Langkah acak|pergerakan acak]]. Pernyataan asli dari hukum ini pertama kali dikemukakan oleh A. Ya. Khinchin pada tahun 1924.<ref>[./Aleksandr_Khinchin A. Khinchine]. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", ''[./Fundamenta_Mathematicae Fundamenta Mathematicae]'' 6 (1924): pp. 9–20 ''(The author's name is shown here in an alternate transliteration.)''</ref> Pernyataan lain yang lebih umum kemudian diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov|AN Kolmogorov]] pada tahun 1929.<ref>[./Andrey_Kolmogorov A. Kolmogoroff]. [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235181684_0101 "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus"]. ''Mathematische Annalen'', 101: 126–135, 1929.</ref> | |||
== Pernyataan == | == Pernyataan == | ||
| Baris 5: | Baris 7: | ||
: <math> | : <math> | ||
\limsup_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2n \log\log n}} = 1 \quad \text{a.s.}, | \limsup_{n \to \infty} \frac{|S_n|}{\sqrt{2n \log\log n}} = 1 \quad \text{a.s.}, | ||
</math> | </math> | ||
Di sini, "log" adalah [[Logaritma alami|logaritma natural]], "lim sup" menyatakan ''limit superior'', dan "a.s." berarti "[[hampir pasti]]" (''almost surely''). | Di sini, "log" adalah [[Logaritma alami|logaritma natural]], "lim sup" menyatakan ''limit superior'', dan "a.s." berarti "[[hampir pasti]]" (''almost surely'').<ref>Leo Breiman. ''Probability''. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (See Sections 3.9, 12.9, and 12.10; Theorem 3.52 specifically.)</ref><ref>R. Durrett. ''Probability: Theory and Examples''. Fourth edition published by Cambridge University Press in 2010. (See Theorem 8.8.3.)</ref> | ||
Pernyataan lain yang diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov|A. N. Kolmogorov]] pada 1929 sebagai berikut. | Pernyataan lain yang diberikan oleh [[Andrey Kolmogorov|A. N. Kolmogorov]] pada 1929<ref>[./Andrey_Kolmogorov A. Kolmogoroff]. [http://www-gdz.sub.uni-goettingen.de/cgi-bin/digbib.cgi?PPN235181684_0101 "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus"]. ''Mathematische Annalen'', 101: 126–135, 1929.</ref> sebagai berikut. | ||
Misalkan <math> \{ Y_n \} </math> adalah variabel acak yang saling bebas, memiliki nilai harapan nol, dan varians hingga. Misalkan: <math> S_n = Y_1 + \dots + Y_n </math> dan <math> B_n = \operatorname{Var}(Y_1) + \dots + \operatorname{Var}(Y_n) </math>. Jika <math> B_n \to \infty </math> dan terdapat suatu barisan konstanta positif <math> \{ M_n \} </math> sedemikian sehingga: <math> |Y_n| \le M_n </math> a.s. dan | Misalkan <math> \{ Y_n \} </math> adalah variabel acak yang saling bebas, memiliki nilai harapan nol, dan varians hingga. Misalkan: <math> S_n = Y_1 + \dots + Y_n </math> dan <math> B_n = \operatorname{Var}(Y_1) + \dots + \operatorname{Var}(Y_n) </math>. Jika <math> B_n \to \infty </math> dan terdapat suatu barisan konstanta positif <math> \{ M_n \} </math> sedemikian sehingga: <math> |Y_n| \le M_n </math> a.s. dan | ||
| Baris 17: | Baris 19: | ||
maka berlaku: | maka berlaku: | ||
: <math> | : <math> | ||
\limsup_{n \to \infty} \frac{\sqrt{2 B_n \log\log B_n}} = 1 \quad \text{a.s.} | \limsup_{n \to \infty} \frac{|S_n|}{\sqrt{2 B_n \log\log B_n}} = 1 \quad \text{a.s.} | ||
</math> | </math> | ||
Perlu dicatat bahwa pernyataan pertama mencakup kasus [[distribusi normal]] standar, tetapi pernyataan kedua tidak. | Perlu dicatat bahwa pernyataan pertama mencakup kasus [[distribusi normal]] standar, tetapi pernyataan kedua tidak. | ||
==Referensi== | == Referensi == | ||
<references /> | |||
== Sumber dan atribusi == | |||
== | Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Hukum+logaritma+teriterasi&oldid=27843430 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 27843430 (2025-09-18T09:37:10Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku. | ||
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 --> | |||
Revisi terkini sejak 27 Agustus 2026 04.03
Dalam teori probabilitas, hukum logaritma berulang menggambarkan seberapa besar fluktuasi yang terjadi dalam sebuah pergerakan acak. Pernyataan asli dari hukum ini pertama kali dikemukakan oleh A. Ya. Khinchin pada tahun 1924.[1] Pernyataan lain yang lebih umum kemudian diberikan oleh AN Kolmogorov pada tahun 1929.[2]
Pernyataan
Misalkan {Yn} adalah variabel acak yang saling bebas dan terdistribusi identik, dengan nilai harapan nol dan varians satu. Misalkan Sn = Y1 + ... + Yn. Maka
Di sini, "log" adalah logaritma natural, "lim sup" menyatakan limit superior, dan "a.s." berarti "hampir pasti" (almost surely).[3][4]
Pernyataan lain yang diberikan oleh A. N. Kolmogorov pada 1929[5] sebagai berikut.
Misalkan adalah variabel acak yang saling bebas, memiliki nilai harapan nol, dan varians hingga. Misalkan: dan . Jika dan terdapat suatu barisan konstanta positif sedemikian sehingga: a.s. dan
maka berlaku:
Perlu dicatat bahwa pernyataan pertama mencakup kasus distribusi normal standar, tetapi pernyataan kedua tidak.
Referensi
- ↑ [./Aleksandr_Khinchin A. Khinchine]. "Über einen Satz der Wahrscheinlichkeitsrechnung", [./Fundamenta_Mathematicae Fundamenta Mathematicae] 6 (1924): pp. 9–20 (The author's name is shown here in an alternate transliteration.)
- ↑ [./Andrey_Kolmogorov A. Kolmogoroff]. "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus". Mathematische Annalen, 101: 126–135, 1929.
- ↑ Leo Breiman. Probability. Original edition published by Addison-Wesley, 1968; reprinted by Society for Industrial and Applied Mathematics, 1992. (See Sections 3.9, 12.9, and 12.10; Theorem 3.52 specifically.)
- ↑ R. Durrett. Probability: Theory and Examples. Fourth edition published by Cambridge University Press in 2010. (See Theorem 8.8.3.)
- ↑ [./Andrey_Kolmogorov A. Kolmogoroff]. "Über das Gesetz des iterierten Logarithmus". Mathematische Annalen, 101: 126–135, 1929.
Sumber dan atribusi
Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27843430 (2025-09-18T09:37:10Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.