Lompat ke isi

Bilangan tingkat: Perbedaan antara revisi

Ensiklopedia Pengetahuan Universitas Islam Sultan Agung

Maintenance script (bicara | kontrib)

37.956 suntingan
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 28587475; atribusi sumber disertakan.
 
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi
 
Baris 1: Baris 1:
'''Bilangan tingkat''' atau '''bilangan ordinal''' dalam [[teori himpunan]] adalah jenis tatanan dari suatu himpunan yang teratur baik. Biasanya diidentifikasi dengan himpunan transitif hereditari. Bilangan tingkat merupakan perluasan [[bilangan asli]], berbeda dengan [[bilangan bulat]] dan dengan [[bilangan kardinal]]. Sebagaimana jenis bilangan lain, bilangan tingkat dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dipangkatkan.
[[File:Omega-exp-omega-labeled.svg|thumb|right|280px|Representasi bilangan ordinal sampai ω ω . Tiap putaran spiral mewakili satu pangkat ω]]


Bilangan tingkat diperkenalkan oleh [[Georg Cantor]] pada tahun 1883 untuk mengakomodasi [[urutan]] [[himpunan tak terhingga|tak terhingga]] dan untuk menggolongkan [[Derived set (mathematics)|himpunan turunan]], yang sebelumnya telah disampaikannya pada tahun 1872 ketika mempelajari keunikan [[deret trigonometri]].
'''Bilangan tingkat'''<ref>[https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+tingkat&oldid=28587475 sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia]</ref> atau '''bilangan ordinal''' dalam [[teori himpunan]] adalah jenis tatanan dari suatu himpunan yang teratur baik. Biasanya diidentifikasi dengan himpunan transitif hereditari. Bilangan tingkat merupakan perluasan [[bilangan asli]], berbeda dengan [[bilangan bulat]] dan dengan [[bilangan kardinal]]. Sebagaimana jenis bilangan lain, bilangan tingkat dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dipangkatkan.


Bilangan tingkat diperkenalkan oleh [[Georg Cantor]] pada tahun 1883<ref>Pengenalan menyeluruh diberikan oleh Levy (1979) dan Jech (2003).</ref> untuk mengakomodasi [[urutan]] [[himpunan tak terhingga|tak terhingga]] dan untuk menggolongkan [[Derived set (mathematics)|himpunan turunan]], yang sebelumnya telah disampaikannya pada tahun 1872 ketika mempelajari keunikan [[deret trigonometri]].<ref>Michael Hallett. ''Towards a theory of mathematical research programmes. I''. ''The British Journal for the Philosophy of Science''. 1979. Vol. 30 (1). hlm. 1–25. doi:10.1093/bjps/30.1.1.. See the footnote on p. 12.</ref>


Contoh:
Contoh:
Baris 11: Baris 12:
== Lihat pula ==
== Lihat pula ==
* [[Bilangan kardinal]]
* [[Bilangan kardinal]]
== Referensi ==


== Pustaka ==
== Pustaka ==
Baris 22: Baris 20:
* [[Akihiro Kanamori|Kanamori, A.]], [http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf ''Set Theory from Cantor to Cohen''], to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), ''The Handbook of the Philosophy of Science'', volume 4, Mathematics, Cambridge University Press.
* [[Akihiro Kanamori|Kanamori, A.]], [http://math.bu.edu/people/aki/16.pdf ''Set Theory from Cantor to Cohen''], to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), ''The Handbook of the Philosophy of Science'', volume 4, Mathematics, Cambridge University Press.
*  Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
*  Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
*
*  
* Sierpiński, W. (1965). ''Cardinal and Ordinal Numbers'' (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
* Sierpiński, W. (1965). ''Cardinal and Ordinal Numbers'' (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
* [[Patrick Suppes|Suppes, P.]] (1960), ''Axiomatic Set Theory'', D.Van Nostrand Company Inc., ISBN 0-486-61630-4
* [[Patrick Suppes|Suppes, P.]] (1960), ''Axiomatic Set Theory'', D.Van Nostrand Company Inc., ISBN 0-486-61630-4
*
*  
*  - English translation of .
*  - English translation of .


== Pranala luar ==
== Pranala luar ==
 
*  
*
*  
*
* [http://www.apronus.com/provenmath/ordinals.htm Ordinals at ProvenMath]
* [http://www.apronus.com/provenmath/ordinals.htm Ordinals at ProvenMath]
* [http://www.springerlink.com/content/n3797702v6422612/ Beitraege zur Begruendung der transfiniten Mengenlehre] Cantor's original paper published in Mathematische Annalen 49(2), 1897
* [http://www.springerlink.com/content/n3797702v6422612/ Beitraege zur Begruendung der transfiniten Mengenlehre] Cantor's original paper published in Mathematische Annalen 49(2), 1897
* [http://mtnmath.com/ord/index.html Ordinal calculator]  [[GNU General Public License|GPL'd]] free software for computing with ordinals and ordinal notations
* [http://mtnmath.com/ord/index.html Ordinal calculator]  [[GNU General Public License|GPL'd]] free software for computing with ordinals and ordinal notations


== Referensi ==
<references />


== Sumber dan atribusi ==


== Sumber dan atribusi ==
Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+tingkat&oldid=28587475 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28587475 (2025-11-21T12:17:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bilangan+tingkat&oldid=28587475 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28587475 (2025-11-21T12:17:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.04

Representasi bilangan ordinal sampai ω ω . Tiap putaran spiral mewakili satu pangkat ω

Bilangan tingkat[1] atau bilangan ordinal dalam teori himpunan adalah jenis tatanan dari suatu himpunan yang teratur baik. Biasanya diidentifikasi dengan himpunan transitif hereditari. Bilangan tingkat merupakan perluasan bilangan asli, berbeda dengan bilangan bulat dan dengan bilangan kardinal. Sebagaimana jenis bilangan lain, bilangan tingkat dapat dijumlahkan, dikalikan, dan dipangkatkan.

Bilangan tingkat diperkenalkan oleh Georg Cantor pada tahun 1883[2] untuk mengakomodasi urutan tak terhingga dan untuk menggolongkan himpunan turunan, yang sebelumnya telah disampaikannya pada tahun 1872 ketika mempelajari keunikan deret trigonometri.[3]

Contoh:

  • Himpunan bilangan tingkat kurang dari 3 adalah 3 = , bilangan tingkat terkecil tidak kurang dari 3.
  • Himpunan bilangan tingkat terhingga adalah tak terhingga, bilangan ordinal tak terhingga terkecil: ω.
  • Himpunan bilangan tingkat terhitung adalah tak terhitung, bilangan tingkat tak terhitung terkecil: ω1.

Lihat pula

Pustaka

  • Cantor, G., (1897), Beitrage zur Begrundung der transfiniten Mengenlehre. II (tr.: Contributions to the Founding of the Theory of Transfinite Numbers II), Mathematische Annalen 49, 207-246 English translation.
  • Conway, J. H. and Guy, R. K. "Cantor's Ordinal Numbers." In The Book of Numbers. New York: Springer-Verlag, pp. 266–267 and 274, 1996.
  • Dauben, Joseph Warren, (1990), Georg Cantor: his mathematics and philosophy of the infinite. Chapter 5: The Mathematics of Cantor's Grundlagen. ISBN 0-691-02447-2
  • See Ch. 6, "Ordinal and cardinal numbers"
  • Kanamori, A., Set Theory from Cantor to Cohen, to appear in: Andrew Irvine and John H. Woods (editors), The Handbook of the Philosophy of Science, volume 4, Mathematics, Cambridge University Press.
  • Reprinted 2002, Dover. ISBN 0-486-42079-5
  • Sierpiński, W. (1965). Cardinal and Ordinal Numbers (2nd ed.). Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe. Also defines ordinal operations in terms of the Cantor Normal Form.
  • Suppes, P. (1960), Axiomatic Set Theory, D.Van Nostrand Company Inc., ISBN 0-486-61630-4
  • - English translation of .

Pranala luar

Referensi

  1. ↑ sumber pada Wikipedia bahasa Indonesia
  2. ↑ Pengenalan menyeluruh diberikan oleh Levy (1979) dan Jech (2003).
  3. ↑ Michael Hallett. Towards a theory of mathematical research programmes. I. The British Journal for the Philosophy of Science. 1979. Vol. 30 (1). hlm. 1–25. doi:10.1093/bjps/30.1.1.. See the footnote on p. 12.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28587475 (2025-11-21T12:17:20Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Diperoleh dari "https://wiki.unissula.ac.id/index.php?title=Bilangan_tingkat&oldid=8308"