Peta linear: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.09

Dalam matematika, peta linear (disebut juga pemetaan linear, transformasi linear atau, dalam konteks tertentu, fungsi linear) adalah pemetaan antara dua modul (misalnya, dua ruang vektor) yang mempertahankan (artinya dijelaskan di bawah) operasi penambahan dan perkalian skalar.

Kasus khusus yang penting adalah ketika , di mana peta linearnya disebut endomorfisme (linear) dari . Terkadang istilah operator linear dipakai untuk kasus ini.^[1] Dalam kebiasaan yang lain, operator linear membolehkan dan yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor real.^[2] Terkadang istilah fungsi linear memiliki arti yang sama dengan peta linear, sedangkan dalam geometri analitis artinya berbeda.

Sebuah peta linear selalu memetakan subruang linear ke subruang linear (mungkin dengan dimensi yang lebih rendah);^[3] contohnya pemetaan sebuah bidang yang melalui titik nol ke sebuah bidang, garis lurus atau titik. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai matriks, dan contoh sederhananya adalah transformasi linear rotasi dan pencerminan.

Dalam bahasa aljabar abstrak, sebuah peta linear merupakan sebuah homoformisme modul. Dalam bahasa teori kategori, sebuah peta linear merupakan sebuah morfisme dalam kategori modul pada sebuah gelanggang.

Definisi dan akibatnya

Misalkan $V$ dan $W$ adalah ruang vektor pada medan $K .$ Sebuah fungsi $f : V \to W$ disebut sebuah peta linear apabila untuk setiap dua vektor $𝐮, 𝐯 \in V$ dan untuk setiap skalar $c \in K$ terpenuhi dua syarat:

$f (𝐮 + 𝐯) = f (𝐮) + f (𝐯)$	aditifitas / operasi penambahan
$f (c 𝐮) = c f (𝐮)$	homogenitas derajat 1 / operasi perkalian skalar

Oleh sebab itu, sebuah peta linear disebut mempertahankan operasi. Dengan kata lain, tidak bepengaruh apakah pemetaan linear dilakukan sebelum (sisi kanan dari contoh di atas) atau setelah (sisi kiri dari contoh di atas) operasi penambahan dan perkalian skalar.

Oleh karena sifat asosiatif dari operasi penambahan, dengan operasinya disimbolkan dengan +, untuk setiap vektor $𝐮_{1}, \dots, 𝐮_{n} \in V$ dan skalar $c_{1}, \dots, c_{n} \in K,$ berlaku persamaan berikut:^[4]^[5]

f (c_{1} 𝐮_{1} + \dots + c_{n} 𝐮_{n}) = c_{1} f (𝐮_{1}) + \dots + c_{n} f (𝐮_{n}) .

Dengan melambangkan unsur nol dari ruang vektor $V$ dan $W$ masing-masing dengan $𝟎_{V}$ dan $𝟎_{W}$ , bisa ditemukan bahwa $f (𝟎_{V}) = 𝟎_{W} .$ Misalkan $c = 0$ dan $𝐯 \in V$ dalam persamaan homogentias berderajat 1:

f (𝟎_{V}) = f (0 𝐯) = 0 f (𝐯) = 𝟎_{W} .

Terkadang, $V$ dan $W$ bisa jadi merupakan ruang vektor pada medan yang berbeda. Bila begitu, perlu dijelaskan medan yang mana yang digunakan dalam definisi "linear". Jika $V$ dan $W$ adalah ruang pada medan $K$ yang sama, maka kita akan membahas peta $K$ -linear. Misalnya, sekawan dari bilangan kompleks merupakan sebuah peta $𝐑$ -linear $𝐂 \to 𝐂$ , tetapi bukan merupakanp peta $𝐂$ -linear, dengan $𝐑$ dan $𝐂$ masing-masing melambangkan himpunan bilangan real dan bilangan kompleks.

Sebuah peta linear $V \to K$ dengan $K$ dipandang sebagai ruang vektor satu dimensi pada dirinya sendiri disebut fungsional linear.^[6]

Pernyataan-pernyataan tersebut digeneralisasi menjadi modul kiri $_{R} M$ manapun pada gelanggang $R$ tanpa perubahan, dan menjadi modul kanan manapun ketika mengembalikan perkalian skalar.

Contoh

Contoh prototipikal yang melahirkan nama peta linear adalah fungsi , di mana grafiknya berbentuk garis yang melalui titik nol.^[7]
Secara umum, semua homotetik yang berpusat di titik nol ruang vektor, $𝐯 \mapsto c 𝐯$ dengan c melambangkan skalar, merupakan sebuah operator linear. Ini tidak berlaku untuk modul secara umum, karena petanya mungkin hanya semilinear.
Peta nol di antara dua modul kiri (atau dua modul kanan) atas gelanggang yang sama selalu linear.
Peta identitas dari modul manapun merupakan sebuah operator linear.
Untuk bilangan real, peta tidak linear.
Untuk bilangan real, peta tidak linear (tetapi merupakan transformasi afin; adalah persamaan linear, menurut istilah yang digunakan geometri analisis.)
Jika A merupakan matriks real, maka A mendefinisikan sebuah peta linear dari Rⁿ ke R^m dengan cara mengirim vektor kolom ke vektor kolom . Sebaliknya pula, peta linear antara ruang vektor berdimensi hingga manapun bisa direpresentasikan dengan cara ini; lihat bagian berikutnya.
Diferensiasi mendefinisikan sebuah peta linear dari ruang semua fungsi yang dapat diturunkan ke ruang semua fungsi. Diferensiasi juga mendefinisikan sebuah operator linear di ruang semua fungsi mulus (sebuah operator linear merupakan sebuah endomorfisme linear, artinya peta linear yang domain dan kodomainnya sama). Contohnya $\frac{d}{d x} ((x) + (x) + \dots + (x)) = \frac{d (x)}{d x} + \frac{d (x)}{d x} + \dots + \frac{d (x)}{d x}$ .
Integral tertentu di suatu interval I merupakan peta linear dari ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat dintegralkan di I ke R. Contohnya,Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \int_{a}^{b}{[(x)+(x)+\ldots +(x)]dx}=\int_{a}^{b}(x)dx}+\int_{a}^{b}(x)dx}+\ldots +\int_{a}^{b}(x)dx}} .
Integral tak tentu (atau antiturunan) dengan titik awal integrasi yang tetap mendefinisikan sebuah peta linear dari ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat diintegralkan di R ke ruang semua fungsi yang bernilai real yang dapat diturunkan di R. Tanpa titik awal yang ditetapkan, teori grup akan menunjukkan bahwa antiturunan tersebut akan memetakan ke ruang kuosien fungsi yang dapat diturunkan dengan relasi ekuivalensi "berselisih sebuah konstanta", yang menghasilkan sebuah kelas identitas berisi fungsi yang bernlai konstan $(\int : I (ℜ) \to D (ℜ) / ℜ)$ .
Jika V dan W merupakan ruang vektor berdimensi hingga pada medan F, maka fungsi yang mengirim peta linear ke matriks dengan cara yang digambarkan berikutnya juga merupakan peta linear.
Nilai harapan dari sebuah peubah acak (yang sebenarnya merupakan sebuah fungsi, dan anggota sebuah ruang vektor) bersifat linear, karena untuk variabel acak X dan Y kita punya dan , tetapi varians dari sebuah variabel acak tidaklah linear.

Penggunaan

Penggunaan khusus dari peta linear adalah untuk transformasi geometri, seperti yang dilakukan dalam grafik komputer, di mana translasi, rotasi dan skala dari objek 2D atau 3D dilakukan menggunakan matriks transformasi. Pemetaan linear juga digunakan sebagai mekanisme untuk menggambarkan perubahan: contohnya dalam kalkulus menggambarkan turunan; atau dalam relativitas, digunakan sebagai alat mencatat transformasi lokal dari kerangka acuan.

Penggunaan lain dari transformasi adalah dalam pengoptimuman kompilator kode nested-loop, dan dalam teknik pemaralelan kompilator.

Lihat pula

Referensi

↑ Transformasi linear dari ke sering disebut operator linear di
↑ Misalkan dan adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari ke disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari ke , apabila a(u+v)=au+av untuk setiap u,v \in V , a(\lambda u)= \lambda au untuk setiap u \in V dan semua real.
↑ Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear \Lambda: X \to Y yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa A \subset X dan B \subset Y :
↑ . Misalkan dan adalah ruang vektor pada medan skalar yang sama. Sebuah pemetaan \Lambda: X \to Y disebut linear apabila \Lambda(\alpha x + \beta y) = \alpha\Lambda x + \beta\Lambda y untuk setiap x, y \in X dan untuk setiap skalar \alpha dan \beta . Perhatikan bahwa biasanya ditulis \Lambda x , bukan \Lambda(x) , ketika \Lambda bersifat linear.
↑ . Sebuah pemetaan dari ruang vektor ke ruang vektor disebut sebuah transformasi linear apabila: A\left(\bf{x}_1 + \bf{x}_2\right) = A\bf{x}_1 + A\bf{x}_2,\ A(c\bf{x}) = cA\bf{x} untuk setiap \bf{x}, \bf{x}_1, \bf{x}_2 \in X dan semua skalar . Perhatikan bahwa biasanya ditulis A\bf{x} bukannya A(\bf {x}) jika linear.
↑ . Pemetaan linear dari ke medan skalarnya disebut fungsional linear.
↑ https://math.stackexchange.com/a/62791/401895

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28837569 (2026-01-15T14:52:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Transformasi linear dari ke sering disebut operator linear di

[2] Misalkan dan adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari ke disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari ke , apabila a(u+v)=au+av untuk setiap u,v \in V , a(\lambda u)= \lambda au untuk setiap u \in V dan semua real.

[3] Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear \Lambda: X \to Y yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa A \subset X dan B \subset Y :

[4] . Misalkan dan adalah ruang vektor pada medan skalar yang sama. Sebuah pemetaan \Lambda: X \to Y disebut linear apabila \Lambda(\alpha x + \beta y) = \alpha\Lambda x + \beta\Lambda y untuk setiap x, y \in X dan untuk setiap skalar \alpha dan \beta . Perhatikan bahwa biasanya ditulis \Lambda x , bukan \Lambda(x) , ketika \Lambda bersifat linear.

[5] . Sebuah pemetaan dari ruang vektor ke ruang vektor disebut sebuah transformasi linear apabila: A\left(\bf{x}_1 + \bf{x}_2\right) = A\bf{x}_1 + A\bf{x}_2,\ A(c\bf{x}) = cA\bf{x} untuk setiap \bf{x}, \bf{x}_1, \bf{x}_2 \in X dan semua skalar . Perhatikan bahwa biasanya ditulis A\bf{x} bukannya A(\bf {x}) jika linear.

[6] . Pemetaan linear dari ke medan skalarnya disebut fungsional linear.

[7] ttps://math.stackexchange.com/a/62791/401895

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
 Dalam [[matematika]], '''peta linear''' (disebut juga '''pemetaan linear''', '''transformasi''' linear atau, dalam konteks tertentu, '''fungsi linear''') adalah [[Peta (matematika)|pemetaan]]  antara dua [[Modul (matematika)|modul]] (misalnya, dua [[ruang vektor]]) yang mempertahankan (artinya dijelaskan di bawah) operasi penambahan dan perkalian [[skalar]].
-Kasus khusus yang penting adalah ketika , di mana peta linearnya disebut '''[[endomorfisme]]''' (linear) dari . Terkadang istilah '''operator linear''' dipakai untuk kasus ini. Dalam kebiasaan yang lain, ''operator linear'' membolehkan  dan  yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor [[Bilangan real|real]]. Terkadang istilah ''[[fungsi linear]]'' memiliki arti yang sama dengan ''peta linear'', sedangkan dalam [[geometri analitis]] artinya berbeda.
+Kasus khusus yang penting adalah ketika , di mana peta linearnya disebut '''[[endomorfisme]]''' (linear) dari . Terkadang istilah '''operator linear''' dipakai untuk kasus ini.<ref>Transformasi linear dari ke sering disebut ''operator linear'' di</ref> Dalam kebiasaan yang lain, ''operator linear'' membolehkan  dan  yang berbeda, tetapi mereka harus merupakan urang vektor [[Bilangan real|real]].<ref>Misalkan dan adalah dua ruang vektor real. Sebuat pemetaan dari ke disebut sebuah 'pemetaan linear' atau 'transformasi linear' atau 'operator linear' [...] dari ke , apabila a(u+v)=au+av untuk setiap u,v \in V , a(\lambda u)= \lambda au untuk setiap u \in V dan semua real.</ref> Terkadang istilah ''[[fungsi linear]]'' memiliki arti yang sama dengan ''peta linear'', sedangkan dalam [[geometri analitis]] artinya berbeda.
-Sebuah peta linear selalu memetakan [[subruang linear]] ke subruang linear (mungkin dengan [[Dimensi (ruang vektor)|dimensi]] yang lebih rendah); contohnya pemetaan sebuah [[Bidang (geometri)|bidang]] yang melalui [[titik nol]] ke sebuah bidang, [[Garis (geometri)|garis lurus]] atau [[Titik (geometri)|titik]]. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai [[matriks (matematika)|matriks]], dan contoh sederhananya adalah transformasi linear [[rotasi (matematika)|rotasi]] dan [[pencerminan (matematika)|pencerminan]].
+Sebuah peta linear selalu memetakan [[subruang linear]] ke subruang linear (mungkin dengan [[Dimensi (ruang vektor)|dimensi]] yang lebih rendah);<ref>Berikut beberapa sifat dari pemetaan linear \Lambda: X \to Y yang buktinya sangat mudah jadi kita tidak menuliskannya; diasumsikan bahwa A \subset X dan B \subset Y :</ref> contohnya pemetaan sebuah [[Bidang (geometri)|bidang]] yang melalui [[titik nol]] ke sebuah bidang, [[Garis (geometri)|garis lurus]] atau [[Titik (geometri)|titik]]. Peta linear biasanya dilambangkan sebagai [[matriks (matematika)|matriks]], dan contoh sederhananya adalah transformasi linear [[rotasi (matematika)|rotasi]] dan [[pencerminan (matematika)|pencerminan]].
 Dalam bahasa [[aljabar abstrak]], sebuah peta linear merupakan sebuah [[homoformisme modul]]. Dalam bahasa [[teori kategori]], sebuah peta linear merupakan sebuah [[morfisme]] dalam [[kategori modul]] pada sebuah [[Gelanggang (matematika)|gelanggang]].
@@ Baris 10: / Baris 10: @@
 Misalkan <math display="inline">V</math> dan <math display="inline">W</math> adalah ruang vektor pada [[medan (matematika)|medan]] <math display="inline">K.</math> Sebuah fungsi <math display="inline">f : V \to W</math> disebut sebuah ''peta linear'' apabila untuk setiap dua vektor <math display="inline">\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V</math> dan untuk setiap skalar <math display="inline">c \in K</math> terpenuhi dua syarat:
+{|
+|-
+| style="padding:0 20pt"|<math>f(\mathbf{u}+\mathbf{v}) = f(\mathbf{u})+f(\mathbf{v})</math>
+| [[Peta aditif|aditifitas]] / operasi penambahan
+|-
+| style="padding:0 20pt"|<math>f(c \mathbf{u}) = c f(\mathbf{u})</math>
+| [[Fungsi homogen|homogenitas]] derajat 1 / operasi perkalian skalar
+|}
 Oleh sebab itu, sebuah peta linear disebut ''mempertahankan operasi''.  Dengan kata lain, tidak bepengaruh apakah pemetaan linear dilakukan sebelum (sisi kanan dari contoh di atas) atau setelah (sisi kiri dari contoh di atas) operasi penambahan dan [[perkalian skalar]].
-Oleh karena [[Penambahan#Sifat|sifat asosiatif dari operasi penambahan]], dengan operasinya disimbolkan dengan +, untuk setiap vektor <math display="inline">\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n \in V</math> dan skalar <math display="inline">c_1, \ldots, c_n \in K,</math> berlaku persamaan berikut:
+Oleh karena [[Penambahan#Sifat|sifat asosiatif dari operasi penambahan]], dengan operasinya disimbolkan dengan +, untuk setiap vektor <math display="inline">\mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n \in V</math> dan skalar <math display="inline">c_1, \ldots, c_n \in K,</math> berlaku persamaan berikut:<ref>. Misalkan dan adalah ruang vektor ''pada medan skalar yang sama''. Sebuah pemetaan \Lambda: X \to Y disebut ''linear'' apabila \Lambda(\alpha x + \beta y) = \alpha\Lambda x + \beta\Lambda y untuk setiap x, y \in X dan untuk setiap skalar \alpha dan \beta . Perhatikan bahwa biasanya ditulis \Lambda x , bukan \Lambda(x) , ketika \Lambda bersifat linear.</ref><ref>. Sebuah pemetaan dari ruang vektor ke ruang vektor disebut sebuah ''transformasi linear'' apabila: A\left(\bf{x}_1 + \bf{x}_2\right) = A\bf{x}_1 + A\bf{x}_2,\ A(c\bf{x}) = cA\bf{x} untuk setiap \bf{x}, \bf{x}_1, \bf{x}_2 \in X dan semua skalar . Perhatikan bahwa biasanya ditulis A\bf{x} bukannya A(\bf {x}) jika linear.</ref>
 : <math>f(c_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + c_n \mathbf{u}_n) = c_1 f(\mathbf{u}_1) + \cdots + c_n f(\mathbf{u}_n).</math>
@@ Baris 23: / Baris 31: @@
 Terkadang, <math display="inline">V</math> dan <math display="inline">W</math> bisa jadi merupakan ruang vektor pada medan yang berbeda. Bila begitu, perlu dijelaskan medan yang mana yang digunakan dalam definisi "linear". Jika <math display="inline">V</math> dan <math display="inline">W</math> adalah ruang pada medan <math display="inline">K</math> yang sama, maka kita akan membahas peta <math display="inline">K</math>-linear. Misalnya, [[sekawan kompleks|sekawan]] dari [[bilangan kompleks]] merupakan sebuah peta <math display="inline">\mathbf{R}</math>-linear <math display="inline">\mathbf{C} \to \mathbf{C}</math>, tetapi bukan merupakanp peta <math display="inline">\mathbf{C}</math>-linear, dengan <math display="inline">\mathbf{R}</math> dan <math display="inline">\mathbf{C}</math> masing-masing melambangkan himpunan bilangan real dan bilangan kompleks.
-Sebuah peta linear <math display="inline">V \to K</math> dengan <math display="inline">K</math> dipandang sebagai ruang vektor satu dimensi pada dirinya sendiri disebut [[fungsional linear]].
+Sebuah peta linear <math display="inline">V \to K</math> dengan <math display="inline">K</math> dipandang sebagai ruang vektor satu dimensi pada dirinya sendiri disebut [[fungsional linear]].<ref>. Pemetaan linear dari ke medan skalarnya disebut ''fungsional linear''.</ref>
 Pernyataan-pernyataan tersebut digeneralisasi menjadi modul kiri <math display="inline">{}_R M</math> manapun pada gelanggang <math display="inline">R</math> tanpa perubahan, dan menjadi modul kanan manapun ketika mengembalikan perkalian skalar.
 == Contoh ==
-* Contoh prototipikal yang melahirkan nama peta linear adalah fungsi , di mana grafiknya berbentuk garis yang melalui titik nol.
+* Contoh prototipikal yang melahirkan nama peta linear adalah fungsi , di mana grafiknya berbentuk garis yang melalui titik nol.<ref>https://math.stackexchange.com/a/62791/401895</ref>
 * Secara umum, semua [[homotetik]] yang berpusat di titik nol ruang vektor, <math display="inline">\mathbf{v} \mapsto c\mathbf{v}</math> dengan ''c'' melambangkan skalar, merupakan sebuah operator linear. Ini tidak berlaku untuk modul secara umum, karena petanya mungkin hanya [[peta semilinear|semilinear]].
 * Peta nol  di antara dua modul kiri (atau dua modul kanan) atas gelanggang yang sama selalu linear.
@@ Baris 40: / Baris 48: @@
 * Jika ''V'' dan ''W'' merupakan ruang vektor berdimensi hingga pada medan ''F'', maka fungsi yang mengirim peta linear  ke matriks  dengan cara yang digambarkan berikutnya juga merupakan peta linear.
 * [[Nilai harapan]] dari sebuah [[peubah acak]] (yang sebenarnya merupakan sebuah fungsi, dan anggota sebuah ruang vektor) bersifat linear, karena untuk variabel acak ''X'' dan ''Y'' kita punya  dan , tetapi [[varians]] dari sebuah variabel acak tidaklah linear.
 == Penggunaan ==
@@ Baris 48: / Baris 55: @@
 == Lihat pula ==
 * [[Peta antilinear]]
 * [[Bent function]]
 * [[Bounded operator]]
-== Catatan kaki ==
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Peta+linear&oldid=28837569 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28837569 (2026-01-15T14:52:13Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->