Teorema Green: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 24 Agustus 2026 23.11

Dalam matematika, teorema Green memberikan hubungan antara sebuah integral garis pada kurva tertutup sederhana C dan integral ganda pada bidang D yang dibatasi oleh C. Teorema ini mendapatkan namanya dari George Green ^[1] dan merupakan kasus khusus dua-dimensi dari teorema Stokes yang lebih umum.

Teorema

Misalkan $C$ adalah sebuah kurva tertutup sederhana di sebuah bidang, bersifat mulus bagian-demi-bagian (piecewise), dan berorientasi positif, dan misalkan $D$ adalah daerah yang dibatasi oleh $C$ . Jika $L$ dan $M$ adalah fungsi terhadap $(x, y)$ yang terdefinisi pada daerah terbuka yang mencakup dan memiliki turunan parsial yang kontinu disana, maka $\oint_{C} (L d x + M d y) = \iint_{D} (\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}) d x d y$ dengan arah integrasi sepanjang $C$ bersifat berlawanan jarum jam.^[2]^[3]

Dalam fisika, teorema Green diterapkan dalam banyak hal. Salah satunya dalam menyelesaikan integral aliran dua-dimensi, yang menyatakan bahwa jumlah aliran fluida yang keluar dari sebuah volume sama dengan jumlah aliran yang terjadi pada permukaan volume tersebut. Sedangkan dalam survey wilayah, teorema Green dapat digunakan untuk menentukan luas dan titik pusat bidang hanya dengan mengintegrasikan kelilingnya.

Bukti ketika D adalah daerah sederhana

Berikut ini adalah bukti dari setengah teorema untuk daerah $D$ yang disederhanakan, sebuah daerah tipe I di mana $C_{1}$ dan $C_{3}$ adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis vertikal (panjangnya bisa saja nol). Bukti yang sama juga dapat diperoleh untuk separuh teorema yang lain ketika $D$ adalah daerah tipe II di mana $C_{2}$ dan $C_{4}$ adalah kurva-kurva yang dihubungkan oleh garis-garis horisontal (lagi-lagi, panjangnya bisa saja nol). Dengan menyatukan kedua bagian ini, teorema ini terbukti untuk daerah tipe III (didefinisikan sebagai daerah yang merupakan gabungan tipe I dan tipe II). Kasus umum kemudian dapat disimpulkan dari kasus khusus ini dengan menguraikan D menjadi sekumpulan daerah tipe III.

Jika dapat ditunjukkan bahwa hubungandanbersifat benar, maka teorema Green berlaku untuk daerah $D$ . Bukti persamaan () dapat diperoleh untuk daerah bertipe I, dan bukti persamaan () untuk daerah bertipe II. Teorema Green selanjutnya dapat diperoleh dengan mudah untuk daerah bertipe III.

Misalkan $D$ adalah daerah bertipe I dan dapat dinyatakan, seperti gambar disamping kanan, oleh $D = {(x, y) ∣ a \leq x \leq b, g_{1} (x) \leq y \leq g_{2} (x)}$ dengan $g_{1}$ dan $g_{2}$ adalah fungsi kontinu pada $[a, b]$ . Dengan menghitung integral ganda pada persamaan ():Selanjutnya akan dihitung integral garis pada persamaan (). Kurva $C$ dapat ditulis ulang sebagai gabungan empat kurva: $C_{1}$ , $C_{2}$ , $C_{3}$ , dan $C_{4}$ .

Pada $C_{1}$ , persamaan parametrik $x = x, y = g_{1} (x)$ untuk $a \leq x \leq b$ dapat digunakan untuk menyatakan $C_{1}$ . Selanjutnya $\int_{C_{1}} L (x, y) d x = \int_{a}^{b} L (x, g_{1} (x)) d x .$ Pada $C_{3}$ , persamaan parametrik $x = x, y = g_{3} (x)$ untuk $a \leq x \leq b$ dapat digunakan untuk menyatakan kurva ini. Selanjutnya, $\int_{C_{3}} L (x, y) d x = - \int_{- C_{3}} L (x, y) d x = - \int_{a}^{b} L (x, g_{2} (x)) d x .$ Integral atas $C_{3}$ bernilai negatif karena bergerak berlawanan arah dari $b$ menuju $a$ , sama dengan arah orientasi $C$ yang positif (berlawanan arah jarum jam). Pada $C_{2}$ dan $C_{4}$ , nilai $x$ tidak berubah, mengartikan $\int_{C_{4}} L (x, y) d x = \int_{C_{2}} L (x, y) d x = 0.$ Akibatnya,Menggabungkan hasil pada persamaan () dengan persamaan (), didapatkan bukti persamaan () untuk daerah bertipe I. Gaya pembuktian yang mirip dapat dibuat untuk menghasilkan () pada daerah bertipe II. Menggabungkan kedua hasil ini, akan didapatkan untuk daerah bertipe III.

Wilayah yang terhubung banyak

Teorema. Misalkan $Γ_{0}, Γ_{1}, \dots, Γ_{n}$ berorientasi positif pada kurva Jordan yang dapat diperbaiki $ℝ^{2}$ yang memenuhi

\begin{matrix} Γ_{i} \subset R_{0}, & ji 1 \leq i \leq n \\ Γ_{i} \subset ℝ^{2} ∖ {\overline{R}}_{j}, & jika 1 \leq i, j \leq n dan i \neq j, \end{matrix}

dengan $R_{i}$ adalah daerah bagian dalam dari $Γ_{i}$ . Misalkan pula $D$ sebagai $D = R_{0} ∖ ({\overline{R}}_{1} \cup {\overline{R}}_{2} \cup \dots \cup {\overline{R}}_{n}),$ dan $p : \overline{D} ⟶ 𝐑$ dan $q : \overline{D} ⟶ 𝐑$ adalah fungsi kontinu yang batasannya (restriction) di $D$ adalah terdiferensialkan-Fréchet. Jika fungsi

(x, y) ⟼ \frac{\partial q}{\partial e_{1}} (x, y) - \frac{\partial p}{\partial e_{2}} (x, y)

terintegralkan Riemann atas $D$ , maka berlaku hubungan:

\begin{matrix} \int_{Γ_{0}} p (x, y) d x + q (x, y) d y - \sum_{i = 1}^{n} \int_{Γ_{i}} p (x, y) d x + q (x, y) d y \\ = & \int_{D} {\frac{\partial q}{\partial e_{1}} (x, y) - \frac{\partial p}{\partial e_{2}} (x, y)} d (x, y) . \end{matrix}

Lihat pula

Catatan

Referensi

↑ George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green sebenarnya tidak menurunkan bentuk Teorema Green yang muncul pada artikel ini; dia menurunkan bentuk "teorema divergensi" yang muncul pada halaman 10-12 dari karyanya (Essay')'. Pada tahun 1846, bentuk "Teorema Green" yang muncul pada artikel ini pertama kali dipublikasikan, tanpa bukti, dalam sebuah artikel oleh Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (Tentang integral yang meliputi semua titik di dalam sebuah kurva tertutup), Comptes rendus, 23: 251-255. (Persamaannya muncul di bagian bawah halaman 254, di mana (S) melambangkan integral garis fungsi k sepanjang kurva s yang membatasi daerah S) Bukti dari teorema ini akhirnya diberikan pada tahun 1851 oleh Bernhard Riemann dalam disertasi perdananya: Bernard Riemann (1851) Grundlagen für einen allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Basis untuk sebuah teori umum tentang fungsi kuantitas peubah kompleks) (Göttingen, (Jerman): Adalbert Rente, 1867); lihat halaman 8 - 9.
↑ K. F. Riley. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. 2010. ISBN 978-0-521-86153-3.
↑ M. R. Spiegel. Vector Analysis. McGraw Hill. 2009. ISBN 978-0-07-161545-7.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28422533 (2025-11-12T07:32:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] George Green, An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green sebenarnya tidak menurunkan bentuk Teorema Green yang muncul pada artikel ini; dia menurunkan bentuk "teorema divergensi" yang muncul pada halaman 10-12 dari karyanya (Essay')'. Pada tahun 1846, bentuk "Teorema Green" yang muncul pada artikel ini pertama kali dipublikasikan, tanpa bukti, dalam sebuah artikel oleh Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée" (Tentang integral yang meliputi semua titik di dalam sebuah kurva tertutup), Comptes rendus, 23: 251-255. (Persamaannya muncul di bagian bawah halaman 254, di mana (S) melambangkan integral garis fungsi k sepanjang kurva s yang membatasi daerah S) Bukti dari teorema ini akhirnya diberikan pada tahun 1851 oleh Bernhard Riemann dalam disertasi perdananya: Bernard Riemann (1851) Grundlagen für einen allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse (Basis untuk sebuah teori umum tentang fungsi kuantitas peubah kompleks) (Göttingen, (Jerman): Adalbert Rente, 1867); lihat halaman 8 - 9.

[2] K. F. Riley. Mathematical Methods for Physics and Engineering. Cambridge University Press. 2010. ISBN 978-0-521-86153-3.

[3] M. R. Spiegel. Vector Analysis. McGraw Hill. 2009. ISBN 978-0-07-161545-7.

[1]

[2]

[3]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Dalam [[matematika]], '''teorema Green''' memberikan hubungan antara sebuah [[integral garis]] pada kurva tertutup sederhana ''C'' dan [[integral ganda]] pada bidang ''D'' yang dibatasi oleh ''C''. Teorema ini mendapatkan namanya dari [[George Green]]  dan merupakan kasus khusus dua-dimensi dari [[teorema Stokes]] yang lebih umum.
+Dalam [[matematika]], '''teorema Green''' memberikan hubungan antara sebuah [[integral garis]] pada kurva tertutup sederhana ''C'' dan [[integral ganda]] pada bidang ''D'' yang dibatasi oleh ''C''. Teorema ini mendapatkan namanya dari [[George Green]] <ref>George Green, ''An Essay on the Application of Mathematical Analysis to the Theories of Electricity and Magnetism'' (Nottingham, England: T. Wheelhouse, 1828). Green sebenarnya tidak menurunkan bentuk Teorema Green yang muncul pada artikel ini; dia menurunkan bentuk "teorema divergensi" yang muncul pada [http://books.google.com/books?id=GwYXAAAAYAAJ&pg=PA10#v=onepage&q&f=false halaman 10-12] dari karyanya (''Essay')'. Pada tahun 1846, bentuk "Teorema Green" yang muncul pada artikel ini pertama kali dipublikasikan, tanpa bukti, dalam sebuah artikel oleh Augustin Cauchy: A. Cauchy (1846) [http://archive.org/stream/ComptesRendusAcademieDesSciences0023/ComptesRendusAcadmieDesSciences-Tome023-Juillet-dcembre1846#page/n254/mode/1up "Sur les intégrales qui s'étendent à tous les points d'une courbe fermée"] (Tentang integral yang meliputi semua titik di dalam sebuah kurva tertutup), ''Comptes rendus'', '''23''': 251-255. (Persamaannya muncul di bagian bawah halaman 254, di mana (S) melambangkan integral garis fungsi ''k'' sepanjang kurva ''s'' yang membatasi daerah S) Bukti dari teorema ini akhirnya diberikan pada tahun 1851 oleh Bernhard Riemann dalam disertasi perdananya: Bernard Riemann (1851) [http://books.google.com/books?id=PpALAAAAYAAJ&pg=PP5#v=onepage&q&f=false''Grundlagen für einen allgemeine Theorie der Functionen einer veränderlichen complexen Grösse''] (Basis untuk sebuah teori umum tentang fungsi kuantitas peubah kompleks) (Göttingen, (Jerman): Adalbert Rente, 1867); lihat halaman 8 - 9.</ref> dan merupakan kasus khusus dua-dimensi dari [[teorema Stokes]] yang lebih umum.
 == Teorema ==
-Misalkan <math>C</math> adalah sebuah [[Kurva|kurva tertutup sederhana]] di sebuah [[Bidang (geometri)|bidang]], bersifat [[Kemulusan|mulus]] bagian-demi-bagian (''piecewise''), dan [[Orientasi kurva|berorientasi]] positif, dan misalkan <math>D</math> adalah daerah yang dibatasi oleh <math>C</math>. Jika <math>L</math> dan <math>M</math> adalah fungsi terhadap <math>(x,\,y)</math> yang terdefinisi pada [[Himpunan terbuka|daerah terbuka]] yang mencakup  dan memiliki [[turunan parsial]] yang [[Fungsi kontinu|kontinu]] disana, maka<math display="block">\oint_C (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) dx\, dy</math>dengan arah integrasi sepanjang <math>C</math> bersifat berlawanan jarum jam.
+Misalkan <math>C</math> adalah sebuah [[Kurva|kurva tertutup sederhana]] di sebuah [[Bidang (geometri)|bidang]], bersifat [[Kemulusan|mulus]] bagian-demi-bagian (''piecewise''), dan [[Orientasi kurva|berorientasi]] positif, dan misalkan <math>D</math> adalah daerah yang dibatasi oleh <math>C</math>. Jika <math>L</math> dan <math>M</math> adalah fungsi terhadap <math>(x,\,y)</math> yang terdefinisi pada [[Himpunan terbuka|daerah terbuka]] yang mencakup  dan memiliki [[turunan parsial]] yang [[Fungsi kontinu|kontinu]] disana, maka<math display="block">\oint_C (L\, dx + M\, dy) = \iint_{D} \left(\frac{\partial M}{\partial x} - \frac{\partial L}{\partial y}\right) dx\, dy</math>dengan arah integrasi sepanjang <math>C</math> bersifat berlawanan jarum jam.<ref>K. F. Riley. [https://archive.org/details/mathematicalmeth00rile Mathematical Methods for Physics and Engineering]. Cambridge University Press. 2010. ISBN 978-0-521-86153-3.</ref><ref>M. R. Spiegel. [https://archive.org/details/vectoranalysisan0000lips Vector Analysis]. McGraw Hill. 2009. ISBN 978-0-07-161545-7.</ref>
 Dalam fisika, teorema Green diterapkan dalam banyak hal. Salah satunya dalam menyelesaikan integral aliran dua-dimensi, yang menyatakan bahwa jumlah aliran fluida yang keluar dari sebuah volume sama dengan jumlah aliran yang terjadi pada permukaan volume tersebut. Sedangkan dalam survey wilayah, teorema Green dapat digunakan untuk menentukan luas dan titik pusat bidang hanya dengan mengintegrasikan kelilingnya.
@@ Baris 41: / Baris 41: @@
 == Catatan ==
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Teorema+Green&oldid=28422533 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28422533 (2025-11-12T07:32:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)