Kohimpunan

Left cosets of Z 2 in Z 8

Dalam matematika, khususnya teori grup, subgrup dari grup dapat digunakan untuk mendekomposisi himpunan yang mendasari menjadi disjoint sama- potongan ukuran yang disebut kohimpunan. Ada dua jenis koset: kohimpunan kiri dan kohimpunan kanan. Kohimpunan (dari kedua jenis) memiliki jumlah elemen yang sama (kardinalitas) seperti halnya . Lebih lanjut, itu sendiri adalah kohimpunan, yang merupakan koset kiri dan kohimpunan kanan. Jumlah koset kiri di sama dengan jumlah koset kanan dari di . Nilai yang sama disebut indeks dari dalam bahasa dan biasanya dilambangkan dengan .

Kohimpunan adalah alat dasar dalam mempelajari grup; misalnya, mereka memainkan peran sentral dalam Teorema Lagrange yang menyatakan bahwa untuk grup hingga , jumlah elemen dari setiap subgrup dari membagi jumlah elemen . Koset dari jenis subgrup tertentu (subgrup normal) dapat digunakan sebagai elemen dari grup lain yang disebut grup hasil bagi atau grup faktor. Kohimpunan juga muncul di bidang matematika lain seperti ruang vektor dan kode koreksi kesalahan.

Definisi

Misalkan menjadi subgrup dari grup yang operasinya ditulis secara multiplikatif (penjajaran berarti menerapkan operasi grup). Diberikan elemen dari , 'coset kiri' dari ke adalah himpunan diperoleh dengan mengalikan setiap elemen dengan elemen tetap dari (di mana adalah faktor kiri). Dalam simbol ini adalah,

} untuk setiap di .

Kohimpunan kanan didefinisikan dengan cara yang sama, kecuali bahwa elemen sekarang merupakan faktor kanan, yaitu,

} untuk ke .

Karena bervariasi di seluruh grup, akan tampak bahwa banyak koset (kanan atau kiri) akan dihasilkan. Ini benar, tetapi kosetnya tidak semuanya berbeda. Faktanya, jika dua kohimpunan dari jenis yang sama memiliki setidaknya satu elemen yang sama, maka keduanya identik sebagai himpunan.

Jika operasi grup ditulis secara tambahan, seperti yang sering terjadi ketika grup adalah abelian, notasi yang digunakan berubah menjadi atau .

Contoh pertama

Misalkan adalah kelompok dihedral berorde enam. Elemen-elemennya dapat diwakili oleh }. Dalam grup ini dan . Ini adalah informasi yang cukup untuk mengisi seluruh tabel perkalian:

*

Misalkan menjadi subgrup }. Kohimpunan kiri (berbeda) dari adalah:

},

}, and

}.

Karena semua elemen sekarang telah muncul di salah satu kohimpunan ini, menghasilkan Kohimpunan lagi tidak dapat menghasilkan kohimpunan baru, karena kohimpunan baru harus memiliki unsur yang sama dengan salah satunya dan karenanya identik dengan salah satu kohimpunan ini. Contohnya, .

Kohimpunan kanan dari adalah:

},

} , dan

}.

Dalam contoh ini, kecuali untuk , tidak ada koset kiri yang juga merupakan kohimpunan kanan.

Misalkan menjadi subgrup }. Kohimpunan kiri dari adalah dan }. Kohimpunan kanan dari adalah dan . Dalam hal ini, setiap kohimpunan kiri dari juga merupakan kohimpunan kanan dari .

Properti

Karena adalah subgrup, ia berisi elemen identitas grup, dengan hasil bahwa elemen milik kohimpunan . If jadi milik . Jadi, setiap elemen dari tepat berada di satu koset kiri subgrup .

Identitas tersebut tepat berada di satu kohimpunan kiri atau kanan, yaitu . Jadi adalah kohimpunan kiri dan kanan dari dirinya sendiri.

Elemen dan termasuk dalam koset kiri yang sama dari , yaitu, jika dan hanya jika belongs to . Lebih lanjut bisa dikatakan di sini. Definisikan dua elemen dari , katakanlah dan , agar setara sehubungan dengan subgrup jika milik . Ini kemudian menjadi relasi ekivalen pada dan kelas ekivalen dari relasi ini adalah koset kiri dari . Seperti halnya himpunan kelas ekivalen, mereka membentuk partisi dari himpunan yang mendasarinya. Repsentasi kohimpunan adalah perwakilan dalam pengertian kelas kesetaraan. Satu set perwakilan dari semua koset disebut transversal. Ada jenis relasi ekivalen lain dalam sebuah grup, seperti konjugasi, yang membentuk kelas berbeda yang tidak memiliki properti yang dibahas di sini.

Pernyataan serupa berlaku untuk koset kanan.

Jika adalah grup abelian, maka untuk setiap subkelompok dari dan setiap elemen dari . Untuk kelompok umum, diberi elemen dan subgrup dari grup , koset kanan dari terkait dengan juga merupakan koset kiri dari subgrup konjugasi dengan , adalah, .

Subgrup normal

Subgrup dari grup adalah subgrup normal dari jika dan hanya jika untuk semua elemen dari yang sesuai, adalah, . Ini adalah kasus untuk subgrup pada contoh pertama di atas. Selanjutnya, kohimpunan dari dalam membentuk sebuah grup yang disebut grup hasil bagi atau grup faktor

Jika bukan normal di , kohimpunan kirinya berbeda dengan Kohimpunan kanannya. Artinya, ada di sehingga tidak ada elemen b yang memenuhi . Ini berarti bahwa partisi ke kohimpunan kiri adalah partisi yang berbeda dengan partisi ke dalam Kohimpunan kanan dari . Ini diilustrasikan oleh subgrup pada contoh pertama di atas. ( Beberapa kohimpunan bertepatan. Misalnya, jika ada di pusat dari , t.)

Sebaliknya, jika subgrup N normal, himpunan semua kohimpunan membentuk grup yang disebut grup hasil bagi dengan operasi ∗ ditentukan oleh . Karena setiap kohimpunan kanan adalah kohimpunan kiri, maka tidak perlu membedakan "kohimpunan kiri" dari "kohimpunan kanan".

Indeks subgrup

Setiap koset kiri atau kanan dari memiliki jumlah elemen yang sama (atau kardinalitas dalam kasus tak terbatas ) sebagai itu sendiri. Selain itu, jumlah koset kiri sama dengan jumlah koset kanan dan dikenal sebagai 'indeks' dari dalam G , ditulis . Teorema Lagrange memungkinkan kita untuk menghitung indeks dalam kasus di mana dan :

$|G|=[G:H]|H|$.

Persamaan ini juga berlaku dalam kasus di mana kelompok tidak terbatas, meskipun artinya mungkin kurang jelas.

Contoh lainnya

Bilangan bulat

Misalkan menjadi grup aditif dari bilangan bulat, dan subgrup . Maka koset dari dalam adalah tiga himpunan , , dan , dimana }. Ketiga himpunan ini mempartisi himpunan 'ℤ' , jadi tidak ada koset kanan lain dari . Karena komutivitas penambahan dan . Artinya, setiap koset kiri juga merupakan koset kanan, jadi adalah subgrup normal. (Argumen yang sama menunjukkan bahwa setiap subgrup Abelian adalah normal.)

Contoh ini dapat digeneralisasikan. Sekali lagi biarkan menjadi grup aditif dari bilangan bulat, , dan sekarang biarkan subgrup , dengan adalah bilangan bulat positif. Maka koset dari dalam adalah himpunan , , ..., , dimana }. Tidak lebih dari Kohimpunan, karena . Kohimpunan adalah kelas kesesuaian dari ke modulo . Subgrup normal , dan dengan demikian, dapat digunakan untuk membentuk kelompok hasil bagi kelompok bilangan bulat mod m.

Vektor

Contoh lain dari berasal dari teori ruang vektor. Unsur-unsur (vektor) ruang vektor membentuk gruo abelian di bawah penjumlahan vektor. subruang dari ruang vektor adalah subgrup dari grup ini. Untuk ruang vektor , subruang , dan vektor tetap pada , himpunan nya

$\{\overrightarrow{x}\in V:\overrightarrow{x}=\overrightarrow{a}+\overrightarrow{w},\overrightarrow{w}\in W\}$

disebut affine subspace s, dan merupakan coset (kiri dan kanan, karena grupnya abelian). Dalam hal vektor 3 dimensi geometris, subruang affine ini adalah semua "garis" atau "bidang" paralel ke subruang, yang merupakan garis atau bidang yang melewati titik asal. Misalnya, perhatikan bidang ℝ². Jika adalah garis melalui asal , maka adalah subgrup dari grup abelian ℝ². Jika masuk ℝ², maka kohimpunan adalah garis sejajar dengan dan melewati .

Matriks

Misalkan adalah kelompok matriks perkalian,

$G=\{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right]:a,b\in ℝ,a\ne 0\},$

dan subgrup dari ,

$H=\{\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ c& 1\end{array}\right]:c\in ℝ\}.$

Untuk elemen tetap dari pertimbangkan kohimpunan kiri

$\begin{array}{cc}\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right]H=& \{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}1& 0\\ c& 1\end{array}\right]:c\in ℝ\}\\ =& \{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ b+c& 1\end{array}\right]:c\in ℝ\}\\ =& \{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ d& 1\end{array}\right]:d\in ℝ\}.\end{array}$

Artinya, koset kiri terdiri dari semua matriks di yang memiliki entri kiri atas yang sama. Subgrup ini normal di , tetapi subgrup

$T=\{\left[\begin{array}{cc}a& 0\\ 0& 1\end{array}\right]:a\in ℝ-\{0\}\}$

tidak normal pada .

Sebagai orbit dari tindakan grup

Subgrup dari grup bisa digunakan untuk mendefinisikan aksi dari pada di dua cara alami. tindakan kanan, diberikan oleh atau tindakan kiri, diberikan oleh . orbit dari di bawah aksi kanan adalah kohimpunan kiri , sedangkan orbit di bawah aksi kiri adalah kohimpunan kanan .

Sejarah

Konsep koset berasal dari karya Galois tahun 1830-31. Dia memperkenalkan notasi tetapi tidak memberikan nama untuk konsep tersebut. Istilah "co-set" muncul untuk pertama kalinya pada tahun 1910 dalam makalah oleh G. A. Miller di Quarterly Journal of Mathmatics (vol. 41, p. 382). Berbagai istilah lain telah digunakan termasuk jerman Nebengruppen (Weber) dan grup konjugasi (Burnside).

Galois prihatin dengan menentukan kapan persamaan polinomial tertentu dapat diselesaikan dari radikal. Sebuah alat yang dia kembangkan adalah dengan mencatat bahwa subkelompok dari sekelompok permutasi menginduksi dua dekomposisi (apa yang kita sekarang kohimpunan kiri dan kanan). Jika dekomposisi ini bertepatan, yaitu jika koset kiri sama dengan kohimpunan kanan, lalu ada cara untuk mengurangi masalah menjadi salah satu dengan mengerjakan , bukan . Camille Jordan dalam komentarnya tentang karya Galois pada tahun 1865 dan 1869 menguraikan ide-ide ini dan mendefinisikan subkelompok normal seperti yang telah kita bahas di atas, meskipun dia tidak menggunakan istilah ini.

Lihat pula

• Heap
• Pencacahan kohimpunan

Pranala luar

• Illustrated examples

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 19690935 (2022-01-08T15:58:23Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.