Lompat ke isi

Uji Kruskal–Wallis: Perbedaan antara revisi

Ensiklopedia Pengetahuan Universitas Islam Sultan Agung

Maintenance script (bicara | kontrib)

37.956 suntingan
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29441795; atribusi sumber disertakan.
 
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi
 
Baris 1: Baris 1:
'''Uji Kruskal–Wallis''' berdasarkan peringkat, '''uji <math>H</math> Kruskal–Wallis''' (dinamai berdasarkan dua orang penemunya yakni [[William Kruskal]] dan [[Wilson Allen Wallis]]), atau '''ANOVA satu arah berdasarkan peringkat''' adalah uji [[statistika nonparametrik]] untuk menguji apakah sampel berasal dari distribusi yang sama. Uji ini digunakan untuk membandingkan dua atau lebih sampel independen dengan ukuran sampel yang sama atau berbeda. Uji ini merupakan perluasan dari [[uji U Mann–Whitney|uji ''U'' Mann–Whitney]], yang hanya digunakan untuk membandingkan dua kelompok. Ekuivalen parametrik dari uji Kruskal–Wallis adalah [[analisis varians satu arah]] (''one way ANOVA'').
[[File:Difference_between_ANOVA_and_KW_test.png|thumb|right|280px|Perbedaan antara ANOVA dan uji Kruskal–Wallis dengan peringkat]]


Uji Kruskal–Wallis yang signifikan menunjukkan bahwa setidaknya satu sampel secara stokastik mendominasi sampel lainnya. Uji ini tidak mengidentifikasi di mana dominasi stokastik ini terjadi atau untuk berapa banyak pasangan kelompok dominasi stokastik diperoleh. Untuk menganalisis pasangan sampel spesifik untuk dominasi stokastik, uji Dunn, [[uji U Mann–Whitney|uji Mann–Whitney]] berpasangan dengan koreksi Bonferroni, atau uji Conover–Iman yang lebih kuat tetapi kurang dikenal terkadang digunakan.
'''Uji Kruskal–Wallis''' berdasarkan peringkat, '''uji <math>H</math> Kruskal–Wallis''' (dinamai berdasarkan dua orang penemunya yakni [[William Kruskal]] dan [[Wilson Allen Wallis]]), atau '''ANOVA satu arah berdasarkan peringkat''' adalah uji [[statistika nonparametrik]] untuk menguji apakah sampel berasal dari distribusi yang sama.<ref>Kruskal. [https://archive.org/details/sim_journal-of-the-american-statistical-association_1952-12_47_260/page/583 Use of ranks in one-criterion variance analysis]. ''Journal of the American Statistical Association''. 1952. Vol. 47 (260). hlm. 583–621. doi:10.1080/01621459.1952.10483441.</ref><ref>Gregory W. Corder. ''Nonparametric Statistics for Non-Statisticians''. John Wiley & Sons. 2009. hlm. 99–105. ISBN 9780470454619.</ref><ref>Siegel. [https://archive.org/details/nonparametricsta0000sieg Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences]. McGraw–Hill. 1988. ISBN 0070573573.</ref> Uji ini digunakan untuk membandingkan dua atau lebih sampel independen dengan ukuran sampel yang sama atau berbeda. Uji ini merupakan perluasan dari [[uji U Mann–Whitney|uji ''U'' Mann–Whitney]], yang hanya digunakan untuk membandingkan dua kelompok. Ekuivalen parametrik dari uji Kruskal–Wallis adalah [[analisis varians satu arah]] (''one way ANOVA'').


Diasumsikan bahwa perlakuan secara signifikan mempengaruhi tingkat respons dan kemudian ada urutan di antara perlakuan: satu cenderung memberikan respons terendah, yang lain memberikan respons terendah berikutnya, dan seterusnya. Karena merupakan metode nonparametrik, uji Kruskal–Wallis tidak mengasumsikan [[distribusi normal]] dari residual, tidak seperti analisis varians satu arah yang analog. Jika peneliti dapat membuat asumsi bahwa distribusi memiliki bentuk dan skala yang identik untuk semua kelompok, kecuali perbedaan median, maka hipotesis nolnya adalah bahwa median semua kelompok sama, dan hipotesis alternatifnya adalah bahwa setidaknya satu median populasi dari satu kelompok berbeda dari median populasi setidaknya satu kelompok lainnya. Jika tidak, tidak mungkin untuk mengatakan apakah penolakan hipotesis nol berasal dari pergeseran lokasi atau dispersi kelompok. Ini adalah masalah yang sama yang juga terjadi pada uji Mann-Whitney. Jika data mengandung potensi ''outlier'', jika distribusi populasi memiliki ekor yang tebal, atau jika distribusi populasi sangat miring, uji Kruskal–Wallis lebih ampuh dalam mendeteksi perbedaan antar perlakuan daripada uji F ANOVA. Di sisi lain, jika distribusi populasi normal atau berekor ringan dan simetris, maka uji F ANOVA umumnya akan memiliki daya yang lebih besar yaitu probabilitas menolak hipotesis nol ketika memang seharusnya ditolak.
Uji Kruskal–Wallis yang signifikan menunjukkan bahwa setidaknya satu sampel secara stokastik mendominasi sampel lainnya. Uji ini tidak mengidentifikasi di mana dominasi stokastik ini terjadi atau untuk berapa banyak pasangan kelompok dominasi stokastik diperoleh. Untuk menganalisis pasangan sampel spesifik untuk dominasi stokastik, uji Dunn,<ref>Olive Jean Dunn. [https://archive.org/details/sim_technometrics_1964-08_6_3/page/241 Multiple comparisons using rank sums]. ''Technometrics''. 1964. Vol. 6 (3). hlm. 241–252. doi:10.2307/1266041.</ref> [[uji U Mann–Whitney|uji Mann–Whitney]] berpasangan dengan koreksi Bonferroni,<ref>W. Jay Conover. [http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?00209046.pdf "On multiple-comparisons procedures"]. Los Alamos Scientific Laboratory. 1979.</ref> atau uji Conover–Iman yang lebih kuat tetapi kurang dikenal<ref>W. Jay Conover. [http://library.lanl.gov/cgi-bin/getfile?00209046.pdf "On multiple-comparisons procedures"]. Los Alamos Scientific Laboratory. 1979.</ref> terkadang digunakan.
 
Diasumsikan bahwa perlakuan secara signifikan mempengaruhi tingkat respons dan kemudian ada urutan di antara perlakuan: satu cenderung memberikan respons terendah, yang lain memberikan respons terendah berikutnya, dan seterusnya.<ref>Lehmann, E. L., & D'Abrera, H. J. (1975). ''Nonparametrics: Statistical methods based on ranks.'' Holden-Day.</ref> Karena merupakan metode nonparametrik, uji Kruskal–Wallis tidak mengasumsikan [[distribusi normal]] dari residual, tidak seperti analisis varians satu arah yang analog. Jika peneliti dapat membuat asumsi bahwa distribusi memiliki bentuk dan skala yang identik untuk semua kelompok, kecuali perbedaan median, maka hipotesis nolnya adalah bahwa median semua kelompok sama, dan hipotesis alternatifnya adalah bahwa setidaknya satu median populasi dari satu kelompok berbeda dari median populasi setidaknya satu kelompok lainnya. Jika tidak, tidak mungkin untuk mengatakan apakah penolakan hipotesis nol berasal dari pergeseran lokasi atau dispersi kelompok. Ini adalah masalah yang sama yang juga terjadi pada uji Mann-Whitney.<ref>Divine. ''The Wilcoxon–Mann–Whitney Procedure Fails as a Test of Medians''. The American Statistician. 2018. doi:10.1080/00031305.2017.1305291.</ref><ref>Hart. ''Mann-Whitney test is not just a test of medians: differences in spread can be important''. BMJ. 2001. doi:10.1136/bmj.323.7309.391.</ref><ref>Bruin. ''FAQ: Why is the Mann-Whitney significant when the medians are equal?''. UCLA: Statistical Consulting Group. 2006.</ref> Jika data mengandung potensi ''outlier'', jika distribusi populasi memiliki ekor yang tebal, atau jika distribusi populasi sangat miring, uji Kruskal–Wallis lebih ampuh dalam mendeteksi perbedaan antar perlakuan daripada uji F ANOVA. Di sisi lain, jika distribusi populasi normal atau berekor ringan dan simetris, maka uji F ANOVA umumnya akan memiliki daya yang lebih besar yaitu probabilitas menolak hipotesis nol ketika memang seharusnya ditolak.<ref>James J. Higgins. ''An introduction to modern nonparametric statistics''. Brooks-Cole; Thomson Learning. 2004. ISBN 978-0-534-38775-4.</ref><ref>Paul D. Berger. [http://link.springer.com/10.1007/978-3-319-64583-4 Experimental Design]. Springer International Publishing. 2018. doi:10.1007/978-3-319-64583-4. ISBN 978-3-319-64582-7.</ref>


==Metode==
==Metode==
# Urutkan semua data dari semua kelompok bersama-sama, yaitu urutkan data dari  hingga  dengan mengabaikan keanggotaan kelompok. Tetapkan nilai yang sama dengan rata-rata peringkat yang akan mereka terima jika tidak sama.
# Urutkan semua data dari semua kelompok bersama-sama, yaitu urutkan data dari  hingga  dengan mengabaikan keanggotaan kelompok. Tetapkan nilai yang sama dengan rata-rata peringkat yang akan mereka terima jika tidak sama.
# Statistik uji diberikan oleh
# Statistik uji diberikan oleh
Baris 38: Baris 39:
</math><br />Rumus terakhir hanya berisi kuadrat dari peringkat rata-rata.
</math><br />Rumus terakhir hanya berisi kuadrat dari peringkat rata-rata.
# Koreksi untuk nilai yang sama jika menggunakan rumus singkat yang dijelaskan pada poin sebelumnya dapat dilakukan dengan membagi <math>H</math> dengan <math>1 - \frac{\sum_{i=1}^G (t_i^3 - t_i)}{N^3-N}</math>, di mana <math display="inline">G</math> adalah jumlah pengelompokan peringkat yang sama, dan <math display="inline">t_i</math> adalah jumlah nilai yang sama dalam kelompok <math display="inline">i</math> yang sama pada nilai tertentu. Koreksi ini biasanya tidak banyak mengubah nilai ''<math display="inline">H</math>'' kecuali jika terdapat banyak nilai yang sama.
# Koreksi untuk nilai yang sama jika menggunakan rumus singkat yang dijelaskan pada poin sebelumnya dapat dilakukan dengan membagi <math>H</math> dengan <math>1 - \frac{\sum_{i=1}^G (t_i^3 - t_i)}{N^3-N}</math>, di mana <math display="inline">G</math> adalah jumlah pengelompokan peringkat yang sama, dan <math display="inline">t_i</math> adalah jumlah nilai yang sama dalam kelompok <math display="inline">i</math> yang sama pada nilai tertentu. Koreksi ini biasanya tidak banyak mengubah nilai ''<math display="inline">H</math>'' kecuali jika terdapat banyak nilai yang sama.
# Saat melakukan perbandingan beberapa sampel, kesalahan tipe I cenderung meningkat. Oleh karena itu, prosedur Bonferroni digunakan untuk menyesuaikan tingkat signifikansi, yaitu, <math>\bar{a}=\frac{\alpha}{\Bbbk}</math>, di mana <math>\bar{a}</math> adalah tingkat signifikansi yang disesuaikan, <math>\alpha</math> adalah tingkat signifikansi awal, dan <math>\Bbbk</math> adalah jumlah kontras.
# Saat melakukan perbandingan beberapa sampel, kesalahan tipe I cenderung meningkat. Oleh karena itu, prosedur Bonferroni digunakan untuk menyesuaikan tingkat signifikansi, yaitu, <math>\bar{a}=\frac{\alpha}{\Bbbk}</math>, di mana <math>\bar{a}</math> adalah tingkat signifikansi yang disesuaikan, <math>\alpha</math> adalah tingkat signifikansi awal, dan <math>\Bbbk</math> adalah jumlah kontras.<ref>Corder, G.W. & Foreman, D.I. (2010). Nonparametric Statistics for Non-statisticians: A Step-by-Step Approach. Hoboken, NJ: Wiley.</ref>
# Akhirnya, keputusan untuk menolak atau menerima hipotesis nol dibuat dengan membandingkan <math>H</math> dengan nilai kritis <math>H_c</math> (diperoleh dari tabel atau perangkat lunak) untuk tingkat signifikansi atau alfa tertentu. Jika <math>H</math> lebih besar dari <math>H_c</math>, hipotesis nol ditolak. Jika memungkinkan (tidak ada ikatan, sampel tidak terlalu besar) seseorang harus membandingkan <math>H</math> dengan nilai kritis yang diperoleh dari distribusi eksak <math>H</math>. Jika tidak, distribusi H dapat didekati dengan distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan <math display="inline">g-1</math>. Jika beberapa nilai <math>n_i</math> kecil (yaitu, kurang dari 5), [[sebaran probabilitas|distribusi probabilitas]] <math>H</math> yang tepat dapat sangat berbeda dari [[distribusi khi-kuadrat]] ini. Jika tabel distribusi probabilitas khi-kuadrat tersedia, nilai kritis khi-kuadrat, <math>\chi^2_{\alpha: g-1}</math>, dapat ditemukan dengan memasukkan tabel pada derajat kebebasan <math display="inline">g-1</math> dan melihat di bawah tingkat signifikansi atau alfa yang diinginkan.
# Akhirnya, keputusan untuk menolak atau menerima hipotesis nol dibuat dengan membandingkan <math>H</math> dengan nilai kritis <math>H_c</math> (diperoleh dari tabel atau perangkat lunak) untuk tingkat signifikansi atau alfa tertentu. Jika <math>H</math> lebih besar dari <math>H_c</math>, hipotesis nol ditolak. Jika memungkinkan (tidak ada ikatan, sampel tidak terlalu besar) seseorang harus membandingkan <math>H</math> dengan nilai kritis yang diperoleh dari distribusi eksak <math>H</math>. Jika tidak, distribusi H dapat didekati dengan distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan <math display="inline">g-1</math>. Jika beberapa nilai <math>n_i</math> kecil (yaitu, kurang dari 5), [[sebaran probabilitas|distribusi probabilitas]] <math>H</math> yang tepat dapat sangat berbeda dari [[distribusi khi-kuadrat]] ini. Jika tabel distribusi probabilitas khi-kuadrat tersedia, nilai kritis khi-kuadrat, <math>\chi^2_{\alpha: g-1}</math>, dapat ditemukan dengan memasukkan tabel pada derajat kebebasan <math display="inline">g-1</math> dan melihat di bawah tingkat signifikansi atau alfa yang diinginkan.<ref>Douglas C. Montgomery. ''Applied statistics and probability for engineers''. Wiley. 2018. ISBN 978-1-119-40036-3.</ref>
# Jika statistik tidak signifikan, tidak ada bukti dominasi stokastik di antara sampel. Namun, jika uji tersebut signifikan maka setidaknya satu sampel secara stokastik mendominasi sampel lain. Kemudian, seorang peneliti dapat menggunakan kontras sampel antara pasangan sampel individu, atau uji ''post hoc'' menggunakan uji Dunn, yang (1) menggunakan peringkat yang sama dengan uji Kruskal–Wallis, dan (2) menggunakan varians gabungan yang tersirat oleh hipotesis nol dari uji Kruskal–Wallis untuk menentukan pasangan sampel mana yang berbeda secara signifikan. Ketika melakukan beberapa kontras atau pengujian sampel, tingkat kesalahan Tipe I cenderung meningkat, menimbulkan kekhawatiran tentang perbandingan berganda.
# Jika statistik tidak signifikan, tidak ada bukti dominasi stokastik di antara sampel. Namun, jika uji tersebut signifikan maka setidaknya satu sampel secara stokastik mendominasi sampel lain. Kemudian, seorang peneliti dapat menggunakan kontras sampel antara pasangan sampel individu, atau uji ''post hoc'' menggunakan uji Dunn, yang (1) menggunakan peringkat yang sama dengan uji Kruskal–Wallis, dan (2) menggunakan varians gabungan yang tersirat oleh hipotesis nol dari uji Kruskal–Wallis untuk menentukan pasangan sampel mana yang berbeda secara signifikan.<ref>Olive Jean Dunn. [https://archive.org/details/sim_technometrics_1964-08_6_3/page/241 Multiple comparisons using rank sums]. ''Technometrics''. 1964. Vol. 6 (3). hlm. 241–252. doi:10.2307/1266041.</ref> Ketika melakukan beberapa kontras atau pengujian sampel, tingkat kesalahan Tipe I cenderung meningkat, menimbulkan kekhawatiran tentang perbandingan berganda.


==Tabel probabilitas eksak==
==Tabel probabilitas eksak==
Diperlukan banyak sumber daya komputasi untuk menghitung probabilitas eksak untuk uji Kruskal–Wallis. Perangkat lunak yang ada hanya menyediakan probabilitas eksak untuk ukuran sampel kurang dari sekitar 30 peserta. Program perangkat lunak ini bergantung pada aproksimasi asimtotik untuk ukuran sampel yang lebih besar. Nilai probabilitas eksak untuk ukuran sampel yang lebih besar tersedia. Spurrier (2003) menerbitkan tabel probabilitas eksak untuk sampel sebesar 45 peserta. Meyer dan Seaman (2006) menghasilkan distribusi probabilitas eksak untuk sampel sebesar 105 peserta.
Diperlukan banyak sumber daya komputasi untuk menghitung probabilitas eksak untuk uji Kruskal–Wallis. Perangkat lunak yang ada hanya menyediakan probabilitas eksak untuk ukuran sampel kurang dari sekitar 30 peserta. Program perangkat lunak ini bergantung pada aproksimasi asimtotik untuk ukuran sampel yang lebih besar. Nilai probabilitas eksak untuk ukuran sampel yang lebih besar tersedia. Spurrier (2003) menerbitkan tabel probabilitas eksak untuk sampel sebesar 45 peserta.<ref>J. D. Spurrier. ''On the null distribution of the Kruskal–Wallis statistic''. ''Journal of Nonparametric Statistics''. 2003. Vol. 15 (6). hlm. 685–691. doi:10.1080/10485250310001634719.</ref> Meyer dan Seaman (2006) menghasilkan distribusi probabilitas eksak untuk sampel sebesar 105 peserta.<ref>Meyer. ''Expanded tables of critical values for the Kruskal–Wallis H statistic''. ''Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, San Francisco''. April 2006. Critical value tables and exact probabilities from Meyer and Seaman are available for download at http://faculty.virginia.edu/kruskal-wallis/ . A paper describing their work may also be found there.</ref>


==Distribusi eksak ==
==Distribusi eksak ==
Choi dkk. melakukan tinjauan terhadap dua metode yang telah dikembangkan untuk menghitung distribusi eksak <math>H</math>, mengusulkan metode baru, dan membandingkan distribusi eksak dengan aproksimasi khi-kuadratnya.
Choi dkk.<ref>Won Choi, Jae Won Lee, Myung-Hoe Huh, and Seung-Ho Kang. ''An Algorithm for Computing the Exact Distribution of the Kruskal–Wallis Test''. ''Communications in Statistics - Simulation and Computation''. 2003. hlm. 1029–1040. doi:10.1081/SAC-120023876.</ref> melakukan tinjauan terhadap dua metode yang telah dikembangkan untuk menghitung distribusi eksak <math>H</math>, mengusulkan metode baru, dan membandingkan distribusi eksak dengan aproksimasi khi-kuadratnya.


==Contoh==
==Contoh==
===Uji perbedaan tingkat ozon menurut bulan===
===Uji perbedaan tingkat ozon menurut bulan===
Contoh berikut menggunakan data dari Chambers ''et al''. pada pembacaan harian ozon untuk tanggal 1 Mei hingga 30 September 1973, di Kota New York. Data tersebut terdapat dalam kumpulan data R <code>airquality</code>, dan analisisnya termasuk dalam dokumentasi untuk fungsi R <code>kruskal.test</code>. Boxplot nilai ozon menurut bulan ditunjukkan pada gambar.
Contoh berikut menggunakan data dari Chambers ''et al''.<ref>John M. Chambers, William S. Cleveland, Beat Kleiner, and Paul A. Tukey. [https://archive.org/details/graphicalmethods00cham_0 Graphical Methods for Data Analysis]. Wadsworth International Group, Duxbury Press. 1983. ISBN 053498052X.</ref> pada pembacaan harian ozon untuk tanggal 1 Mei hingga 30 September 1973, di Kota New York. Data tersebut terdapat dalam kumpulan data R <code>airquality</code>, dan analisisnya termasuk dalam dokumentasi untuk fungsi R <code>kruskal.test</code>. Boxplot nilai ozon menurut bulan ditunjukkan pada gambar.
 
Uji Kruskal–Wallis menemukan perbedaan yang signifikan (p = 6,901e-06) yang menunjukkan bahwa ozon berbeda di antara 5 bulan tersebut.


<syntaxhighlight lang="R">
kruskal.test(Ozone ~ Month, data = airquality)


Uji Kruskal–Wallis menemukan perbedaan yang signifikan (p = 6,901e-06) yang menunjukkan bahwa ozon berbeda di antara 5 bulan tersebut.
Kruskal-Wallis rank sum test


data:  Ozone by Month
Kruskal-Wallis chi-squared = 29.267, df = 4, p-value = 6.901e-06
</syntaxhighlight>


Untuk menentukan bulan mana yang berbeda, uji ''post-hoc'' dapat dilakukan menggunakan [[uji U Mann–Whitney |uji jumlah peringkat Wilcoxon]] untuk setiap pasangan bulan, dengan koreksi Bonferroni (atau lainnya) untuk pengujian hipotesis berganda.
Untuk menentukan bulan mana yang berbeda, uji ''post-hoc'' dapat dilakukan menggunakan [[uji U Mann–Whitney |uji jumlah peringkat Wilcoxon]] untuk setiap pasangan bulan, dengan koreksi Bonferroni (atau lainnya) untuk pengujian hipotesis berganda.


<syntaxhighlight lang="R">
pairwise.wilcox.test(airquality$Ozone, airquality$Month, p.adjust.method = "bonferroni")
Pairwise comparisons using Wilcoxon rank sum test
data:  airquality$Ozone and airquality$Month
  5      6      7      8   
6 1.0000 -      -      -   
7 0.0003 0.1414 -      -   
8 0.0012 0.2591 1.0000 -   
9 1.0000 1.0000 0.0074 0.0325
P value adjustment method: bonferroni
</syntaxhighlight>


Uji ''post-hoc'' menunjukkan bahwa setelah koreksi Bonferroni untuk pengujian berganda, perbedaan berikut signifikan (p yang disesuaikan < 0,05).
Uji ''post-hoc'' menunjukkan bahwa setelah koreksi Bonferroni untuk pengujian berganda, perbedaan berikut signifikan (p yang disesuaikan < 0,05).
Baris 65: Baris 88:
==Implementasi==
==Implementasi==
Uji Kruskal–Wallis dapat diimplementasikan dalam banyak alat dan bahasa pemrograman. Berikut ini hanya daftar paket perangkat lunak [[sumber terbuka]] gratis:
Uji Kruskal–Wallis dapat diimplementasikan dalam banyak alat dan bahasa pemrograman. Berikut ini hanya daftar paket perangkat lunak [[sumber terbuka]] gratis:
*Dalam paket [[SciPy]] [[Python (bahasa pemrograman)|Python]], fungsi <code>scipy.stats.kruskal</code> dapat mengembalikan hasil uji dan [[nilai p|nilai ]].
*Dalam paket [[SciPy]] [[Python (bahasa pemrograman)|Python]], fungsi <code>scipy.stats.kruskal</code> dapat mengembalikan hasil uji dan [[nilai p|nilai ]].<ref>[https://docs.scipy.org/doc/scipy/reference/generated/scipy.stats.kruskal.html scipy.stats.kruskal — SciPy v1.11.4 Manual]. ''docs.scipy.org''.</ref>
*Paket dasar [[R (bahasa pemrograman)|R]] memiliki implementasi uji ini menggunakan <code>kruskal.test</code>.
*Paket dasar [[R (bahasa pemrograman)|R]] memiliki implementasi uji ini menggunakan <code>kruskal.test</code>.<ref>[https://www.rdocumentation.org/packages/stats/versions/3.6.2/topics/kruskal.test kruskal.test function - RDocumentation]. ''www.rdocumentation.org''.</ref>
*jamovi telah mengimplementasikan analisis ini dalam menu [[ANOVA]].
*jamovi telah mengimplementasikan analisis ini dalam menu [[ANOVA]].<ref>[https://docs.jamovi.org/_pages/jg_32_anova-factorial.html Jamovi documentation]. ''jamovi.org''.</ref>
*[[Java]] memiliki implementasi yang disediakan oleh ''Apache Commons''.
*[[Java]] memiliki implementasi yang disediakan oleh ''Apache Commons''.<ref>[https://commons.apache.org/proper/commons-math/userguide/stat.html#a1.8_Statistical_tests Math – The Commons Math User Guide - Statistics]. ''commons.apache.org''.</ref>
*Di [[Julia (bahasa pemrograman)|Julia]], paket <code>HypothesisTests.jl</code> memiliki fungsi <code>KruskalWallisTest(groups::AbstractVector{<:Real}...)</code> untuk menghitung [[nilai p|nilai ''p'']].
*Di [[Julia (bahasa pemrograman)|Julia]], paket <code>HypothesisTests.jl</code> memiliki fungsi <code>KruskalWallisTest(groups::AbstractVector{<:Real}...)</code> untuk menghitung [[nilai p|nilai ''p'']].<ref>[https://juliastats.org/HypothesisTests.jl/stable/nonparametric/#Kruskal-Wallis-rank-sum-test Nonparametric tests · HypothesisTests.jl]. ''juliastats.org''.</ref>


==Lihat juga==
==Lihat juga==
Baris 76: Baris 99:
* [[Uji Bonferroni]]
* [[Uji Bonferroni]]
* [[Uji Friedman test]]
* [[Uji Friedman test]]
==Referensi==


==Bacaan lanjutan==
==Bacaan lanjutan==
*
*  
*
*  


==Pranala luar==
==Pranala luar==
* [https://web.archive.org/web/20170513093000/http://faculty.vassar.edu/lowry/kw3.html An online version of the test]
* [https://web.archive.org/web/20170513093000/http://faculty.vassar.edu/lowry/kw3.html An online version of the test]


== Referensi ==
<references />


== Sumber dan atribusi ==


== Sumber dan atribusi ==
Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Uji+Kruskal%E2%80%93Wallis&oldid=29441795 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29441795 (2026-07-11T00:26:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Uji+Kruskal%E2%80%93Wallis&oldid=29441795 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29441795 (2026-07-11T00:26:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 09.02

Perbedaan antara ANOVA dan uji Kruskal–Wallis dengan peringkat

Uji Kruskal–Wallis berdasarkan peringkat, uji H Kruskal–Wallis (dinamai berdasarkan dua orang penemunya yakni William Kruskal dan Wilson Allen Wallis), atau ANOVA satu arah berdasarkan peringkat adalah uji statistika nonparametrik untuk menguji apakah sampel berasal dari distribusi yang sama.[1][2][3] Uji ini digunakan untuk membandingkan dua atau lebih sampel independen dengan ukuran sampel yang sama atau berbeda. Uji ini merupakan perluasan dari uji U Mann–Whitney, yang hanya digunakan untuk membandingkan dua kelompok. Ekuivalen parametrik dari uji Kruskal–Wallis adalah analisis varians satu arah (one way ANOVA).

Uji Kruskal–Wallis yang signifikan menunjukkan bahwa setidaknya satu sampel secara stokastik mendominasi sampel lainnya. Uji ini tidak mengidentifikasi di mana dominasi stokastik ini terjadi atau untuk berapa banyak pasangan kelompok dominasi stokastik diperoleh. Untuk menganalisis pasangan sampel spesifik untuk dominasi stokastik, uji Dunn,[4] uji Mann–Whitney berpasangan dengan koreksi Bonferroni,[5] atau uji Conover–Iman yang lebih kuat tetapi kurang dikenal[6] terkadang digunakan.

Diasumsikan bahwa perlakuan secara signifikan mempengaruhi tingkat respons dan kemudian ada urutan di antara perlakuan: satu cenderung memberikan respons terendah, yang lain memberikan respons terendah berikutnya, dan seterusnya.[7] Karena merupakan metode nonparametrik, uji Kruskal–Wallis tidak mengasumsikan distribusi normal dari residual, tidak seperti analisis varians satu arah yang analog. Jika peneliti dapat membuat asumsi bahwa distribusi memiliki bentuk dan skala yang identik untuk semua kelompok, kecuali perbedaan median, maka hipotesis nolnya adalah bahwa median semua kelompok sama, dan hipotesis alternatifnya adalah bahwa setidaknya satu median populasi dari satu kelompok berbeda dari median populasi setidaknya satu kelompok lainnya. Jika tidak, tidak mungkin untuk mengatakan apakah penolakan hipotesis nol berasal dari pergeseran lokasi atau dispersi kelompok. Ini adalah masalah yang sama yang juga terjadi pada uji Mann-Whitney.[8][9][10] Jika data mengandung potensi outlier, jika distribusi populasi memiliki ekor yang tebal, atau jika distribusi populasi sangat miring, uji Kruskal–Wallis lebih ampuh dalam mendeteksi perbedaan antar perlakuan daripada uji F ANOVA. Di sisi lain, jika distribusi populasi normal atau berekor ringan dan simetris, maka uji F ANOVA umumnya akan memiliki daya yang lebih besar yaitu probabilitas menolak hipotesis nol ketika memang seharusnya ditolak.[11][12]

Metode

  1. Urutkan semua data dari semua kelompok bersama-sama, yaitu urutkan data dari hingga dengan mengabaikan keanggotaan kelompok. Tetapkan nilai yang sama dengan rata-rata peringkat yang akan mereka terima jika tidak sama.
  2. Statistik uji diberikan oleh
    H=(N−1)∑i=1gni(r¯i⋅−r¯)2∑i=1g∑j=1(rij−r¯)2, di mana
    • N adalah jumlah total pengamatan di semua kelompok
    • g adalah jumlah kelompok
    • ni adalah jumlah pengamatan dalam kelompok i
    • rij rij adalah peringkat (di antara semua pengamatan) dari pengamatan j dari kelompok i
    • r¯i⋅=∑j=1nirijni adalah peringkat rata-rata dari semua pengamatan dalam kelompok i
    • r¯=12(N+1) adalah rata-rata dari semua rij.
  3. Jika data tidak mengandung nilai yang sama, penyebut dari ekspresi untuk H adalah tepat (N−1)N(N+1)/12 dan r¯=N+12. Jadi
    H=12N(N+1)∑i=1gni(r¯i⋅−N+12)2=12N(N+1)∑i=1gnir¯i⋅2− 3(N+1)
    Rumus terakhir hanya berisi kuadrat dari peringkat rata-rata.
  4. Koreksi untuk nilai yang sama jika menggunakan rumus singkat yang dijelaskan pada poin sebelumnya dapat dilakukan dengan membagi H dengan 1−∑i=1G(ti3−ti)N3−N, di mana G adalah jumlah pengelompokan peringkat yang sama, dan ti adalah jumlah nilai yang sama dalam kelompok i yang sama pada nilai tertentu. Koreksi ini biasanya tidak banyak mengubah nilai H kecuali jika terdapat banyak nilai yang sama.
  5. Saat melakukan perbandingan beberapa sampel, kesalahan tipe I cenderung meningkat. Oleh karena itu, prosedur Bonferroni digunakan untuk menyesuaikan tingkat signifikansi, yaitu, a¯=α𝕜, di mana a¯ adalah tingkat signifikansi yang disesuaikan, α adalah tingkat signifikansi awal, dan 𝕜 adalah jumlah kontras.[13]
  6. Akhirnya, keputusan untuk menolak atau menerima hipotesis nol dibuat dengan membandingkan H dengan nilai kritis Hc (diperoleh dari tabel atau perangkat lunak) untuk tingkat signifikansi atau alfa tertentu. Jika H lebih besar dari Hc, hipotesis nol ditolak. Jika memungkinkan (tidak ada ikatan, sampel tidak terlalu besar) seseorang harus membandingkan H dengan nilai kritis yang diperoleh dari distribusi eksak H. Jika tidak, distribusi H dapat didekati dengan distribusi khi-kuadrat dengan derajat kebebasan g−1. Jika beberapa nilai ni kecil (yaitu, kurang dari 5), distribusi probabilitas H yang tepat dapat sangat berbeda dari distribusi khi-kuadrat ini. Jika tabel distribusi probabilitas khi-kuadrat tersedia, nilai kritis khi-kuadrat, χα:g−12, dapat ditemukan dengan memasukkan tabel pada derajat kebebasan g−1 dan melihat di bawah tingkat signifikansi atau alfa yang diinginkan.[14]
  7. Jika statistik tidak signifikan, tidak ada bukti dominasi stokastik di antara sampel. Namun, jika uji tersebut signifikan maka setidaknya satu sampel secara stokastik mendominasi sampel lain. Kemudian, seorang peneliti dapat menggunakan kontras sampel antara pasangan sampel individu, atau uji post hoc menggunakan uji Dunn, yang (1) menggunakan peringkat yang sama dengan uji Kruskal–Wallis, dan (2) menggunakan varians gabungan yang tersirat oleh hipotesis nol dari uji Kruskal–Wallis untuk menentukan pasangan sampel mana yang berbeda secara signifikan.[15] Ketika melakukan beberapa kontras atau pengujian sampel, tingkat kesalahan Tipe I cenderung meningkat, menimbulkan kekhawatiran tentang perbandingan berganda.

Tabel probabilitas eksak

Diperlukan banyak sumber daya komputasi untuk menghitung probabilitas eksak untuk uji Kruskal–Wallis. Perangkat lunak yang ada hanya menyediakan probabilitas eksak untuk ukuran sampel kurang dari sekitar 30 peserta. Program perangkat lunak ini bergantung pada aproksimasi asimtotik untuk ukuran sampel yang lebih besar. Nilai probabilitas eksak untuk ukuran sampel yang lebih besar tersedia. Spurrier (2003) menerbitkan tabel probabilitas eksak untuk sampel sebesar 45 peserta.[16] Meyer dan Seaman (2006) menghasilkan distribusi probabilitas eksak untuk sampel sebesar 105 peserta.[17]

Distribusi eksak

Choi dkk.[18] melakukan tinjauan terhadap dua metode yang telah dikembangkan untuk menghitung distribusi eksak H, mengusulkan metode baru, dan membandingkan distribusi eksak dengan aproksimasi khi-kuadratnya.

Contoh

Uji perbedaan tingkat ozon menurut bulan

Contoh berikut menggunakan data dari Chambers et al.[19] pada pembacaan harian ozon untuk tanggal 1 Mei hingga 30 September 1973, di Kota New York. Data tersebut terdapat dalam kumpulan data R airquality, dan analisisnya termasuk dalam dokumentasi untuk fungsi R kruskal.test. Boxplot nilai ozon menurut bulan ditunjukkan pada gambar.

Uji Kruskal–Wallis menemukan perbedaan yang signifikan (p = 6,901e-06) yang menunjukkan bahwa ozon berbeda di antara 5 bulan tersebut.

<syntaxhighlight lang="R"> kruskal.test(Ozone ~ Month, data = airquality)

Kruskal-Wallis rank sum test

data: Ozone by Month Kruskal-Wallis chi-squared = 29.267, df = 4, p-value = 6.901e-06 </syntaxhighlight>

Untuk menentukan bulan mana yang berbeda, uji post-hoc dapat dilakukan menggunakan uji jumlah peringkat Wilcoxon untuk setiap pasangan bulan, dengan koreksi Bonferroni (atau lainnya) untuk pengujian hipotesis berganda.

<syntaxhighlight lang="R"> pairwise.wilcox.test(airquality$Ozone, airquality$Month, p.adjust.method = "bonferroni")

Pairwise comparisons using Wilcoxon rank sum test

data: airquality$Ozone and airquality$Month 

 5      6      7      8

6 1.0000 - - - 7 0.0003 0.1414 - - 8 0.0012 0.2591 1.0000 - 9 1.0000 1.0000 0.0074 0.0325

P value adjustment method: bonferroni </syntaxhighlight>

Uji post-hoc menunjukkan bahwa setelah koreksi Bonferroni untuk pengujian berganda, perbedaan berikut signifikan (p yang disesuaikan < 0,05).

  • Bulan 5 vs Bulan 7 dan 8
  • Bulan 9 vs Bulan 7 dan 8

Implementasi

Uji Kruskal–Wallis dapat diimplementasikan dalam banyak alat dan bahasa pemrograman. Berikut ini hanya daftar paket perangkat lunak sumber terbuka gratis:

  • Dalam paket SciPy Python, fungsi scipy.stats.kruskal dapat mengembalikan hasil uji dan nilai .[20]
  • Paket dasar R memiliki implementasi uji ini menggunakan kruskal.test.[21]
  • jamovi telah mengimplementasikan analisis ini dalam menu ANOVA.[22]
  • Java memiliki implementasi yang disediakan oleh Apache Commons.[23]
  • Di Julia, paket HypothesisTests.jl memiliki fungsi KruskalWallisTest(groups::AbstractVector{<:Real}...) untuk menghitung nilai p.[24]

Lihat juga

Bacaan lanjutan

Pranala luar

Referensi

  1. ↑ Kruskal. Use of ranks in one-criterion variance analysis. Journal of the American Statistical Association. 1952. Vol. 47 (260). hlm. 583–621. doi:10.1080/01621459.1952.10483441.
  2. ↑ Gregory W. Corder. Nonparametric Statistics for Non-Statisticians. John Wiley & Sons. 2009. hlm. 99–105. ISBN 9780470454619.
  3. ↑ Siegel. Nonparametric Statistics for the Behavioral Sciences. McGraw–Hill. 1988. ISBN 0070573573.
  4. ↑ Olive Jean Dunn. Multiple comparisons using rank sums. Technometrics. 1964. Vol. 6 (3). hlm. 241–252. doi:10.2307/1266041.
  5. ↑ W. Jay Conover. "On multiple-comparisons procedures". Los Alamos Scientific Laboratory. 1979.
  6. ↑ W. Jay Conover. "On multiple-comparisons procedures". Los Alamos Scientific Laboratory. 1979.
  7. ↑ Lehmann, E. L., & D'Abrera, H. J. (1975). Nonparametrics: Statistical methods based on ranks. Holden-Day.
  8. ↑ Divine. The Wilcoxon–Mann–Whitney Procedure Fails as a Test of Medians. The American Statistician. 2018. doi:10.1080/00031305.2017.1305291.
  9. ↑ Hart. Mann-Whitney test is not just a test of medians: differences in spread can be important. BMJ. 2001. doi:10.1136/bmj.323.7309.391.
  10. ↑ Bruin. FAQ: Why is the Mann-Whitney significant when the medians are equal?. UCLA: Statistical Consulting Group. 2006.
  11. ↑ James J. Higgins. An introduction to modern nonparametric statistics. Brooks-Cole; Thomson Learning. 2004. ISBN 978-0-534-38775-4.
  12. ↑ Paul D. Berger. Experimental Design. Springer International Publishing. 2018. doi:10.1007/978-3-319-64583-4. ISBN 978-3-319-64582-7.
  13. ↑ Corder, G.W. & Foreman, D.I. (2010). Nonparametric Statistics for Non-statisticians: A Step-by-Step Approach. Hoboken, NJ: Wiley.
  14. ↑ Douglas C. Montgomery. Applied statistics and probability for engineers. Wiley. 2018. ISBN 978-1-119-40036-3.
  15. ↑ Olive Jean Dunn. Multiple comparisons using rank sums. Technometrics. 1964. Vol. 6 (3). hlm. 241–252. doi:10.2307/1266041.
  16. ↑ J. D. Spurrier. On the null distribution of the Kruskal–Wallis statistic. Journal of Nonparametric Statistics. 2003. Vol. 15 (6). hlm. 685–691. doi:10.1080/10485250310001634719.
  17. ↑ Meyer. Expanded tables of critical values for the Kruskal–Wallis H statistic. Paper presented at the annual meeting of the American Educational Research Association, San Francisco. April 2006. Critical value tables and exact probabilities from Meyer and Seaman are available for download at http://faculty.virginia.edu/kruskal-wallis/ . A paper describing their work may also be found there.
  18. ↑ Won Choi, Jae Won Lee, Myung-Hoe Huh, and Seung-Ho Kang. An Algorithm for Computing the Exact Distribution of the Kruskal–Wallis Test. Communications in Statistics - Simulation and Computation. 2003. hlm. 1029–1040. doi:10.1081/SAC-120023876.
  19. ↑ John M. Chambers, William S. Cleveland, Beat Kleiner, and Paul A. Tukey. Graphical Methods for Data Analysis. Wadsworth International Group, Duxbury Press. 1983. ISBN 053498052X.
  20. ↑ scipy.stats.kruskal — SciPy v1.11.4 Manual. docs.scipy.org.
  21. ↑ kruskal.test function - RDocumentation. www.rdocumentation.org.
  22. ↑ Jamovi documentation. jamovi.org.
  23. ↑ Math – The Commons Math User Guide - Statistics. commons.apache.org.
  24. ↑ Nonparametric tests · HypothesisTests.jl. juliastats.org.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29441795 (2026-07-11T00:26:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Diperoleh dari "https://wiki.unissula.ac.id/index.php?title=Uji_Kruskal–Wallis&oldid=9894"