Lompat ke isi

Pendekatan WKB: Perbedaan antara revisi

Ensiklopedia Pengetahuan Universitas Islam Sultan Agung

Maintenance script (bicara | kontrib)

37.956 suntingan
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Impor teks terkontrol dari Wikipedia bahasa Indonesia; revisi 29463231; atribusi sumber disertakan.
 
Maintenance script (bicara | kontrib)
37.956 suntingan
Presentation V4: sitasi, referensi, Math, Wikimedia Commons, dan atribusi
 
Baris 1: Baris 1:
'''Pendekatan WKB''' atau metode WKB dalam [[fisika matematis]] merupakan teknik untuk memperoleh solusi [[Konsonan hampiran|hampiran]] bagi [[persamaan diferensial linear]] dengan koefisien yang berubah terhadap posisi. Metode ini digunakan terutama dalam perhitungan semiklasik pada [[mekanika kuantum]], ketika fungsi [[gelombang]] dinyatakan sebagai [[fungsi eksponensial]] dan diperluas secara semiklasik sehingga [[amplitudo]] atau fase fungsi tersebut dianggap mengalami perubahan secara bertahap. Nama metode ini berasal dari inisial Wentzel, Kramers, dan Brillouin, serta dikenal pula sebagai metode ''Liouville–Green (LG)''. Variasi lain yang digunakan dalam literatur mencakup JWKB dan WKBJ, dengan huruf “J” merujuk pada Jeffreys.
'''Pendekatan WKB''' atau metode WKB dalam [[fisika matematis]] merupakan teknik untuk memperoleh solusi [[Konsonan hampiran|hampiran]] bagi [[persamaan diferensial linear]] dengan koefisien yang berubah terhadap posisi. Metode ini digunakan terutama dalam perhitungan semiklasik pada [[mekanika kuantum]], ketika fungsi [[gelombang]] dinyatakan sebagai [[fungsi eksponensial]] dan diperluas secara semiklasik sehingga [[amplitudo]] atau fase fungsi tersebut dianggap mengalami perubahan secara bertahap. Nama metode ini berasal dari inisial Wentzel, Kramers, dan Brillouin, serta dikenal pula sebagai metode ''Liouville–Green (LG)''.<ref>[https://taylorandfrancis.com/knowledge/Engineering_and_technology/Engineering_support_and_special_topics/WKB_approximation/ WKB approximation - Knowledge and References]. ''Taylor & Francis''.</ref><ref>Brian L. Frost. [https://pubs.aip.org/asa/jasa/article/155/1/358/3022977/Foundations-of-the-Wentzel-Kramers-Brillouin Foundations of the Wentzel-Kramers-Brillouin approximation for models of cochlear mechanics in 1- and 2-D]. ''The Journal of the Acoustical Society of America''. 2024-01-01. Vol. 155 (1). hlm. 358–379. doi:10.1121/10.0024355.</ref> Variasi lain yang digunakan dalam literatur mencakup JWKB dan WKBJ, dengan huruf “J” merujuk pada Jeffreys.<ref>[https://www.sciencedirect.com/science/chapter/monograph/abs/pii/B9780444537867000071 Approximation Methods]. ''www.sciencedirect.com''.</ref>


== Sejarah ==
== Sejarah ==
Pengembangan metode ini umumnya dikaitkan dengan [[Gregor Wentzel]], [[Hendrik Anthony Kramers]], dan [[Léon Brillouin]], yang masing-masing mempublikasikan uraian teknis mengenai pendekatan tersebut pada tahun 1926. Sebelumnya, pada tahun 1923, Harold Jeffreys telah merumuskan metode umum untuk menemukan solusi persamaan diferensial linear orde kedua, yang kemudian mencakup bentuk [[persamaan Schrödinger]]. Karena persamaan Schrödinger baru diperkenalkan dua tahun setelah publikasi Jeffreys, hubungan antara kedua kontribusi tersebut tidak langsung dikenali dalam literatur awal. Berbagai kombinasi inisial, seperti WBK, BWK, JWKB, dan WKBJ, digunakan dalam teks mekanika kuantum pada masa awal. Ulasan menyeluruh mengenai sejarah dan formulasi metode ini dikemukakan oleh Robert B. Dingle.
Pengembangan metode ini umumnya dikaitkan dengan [[Gregor Wentzel]], [[Hendrik Anthony Kramers]], dan [[Léon Brillouin]], yang masing-masing mempublikasikan uraian teknis mengenai pendekatan tersebut pada tahun 1926. Sebelumnya, pada tahun 1923,<ref>Harold Jeffreys. [https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1112/plms/s2-23.1.428 On Certain Approximate Solutions of Lineae Differential Equations of the Second Order]. ''Proceedings of the London Mathematical Society''. 1925. Vol. s2-23 (1). hlm. 428–436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428.</ref> Harold Jeffreys telah merumuskan metode umum untuk menemukan solusi persamaan diferensial linear orde kedua, yang kemudian mencakup bentuk [[persamaan Schrödinger]]. Karena persamaan Schrödinger baru diperkenalkan dua tahun setelah publikasi Jeffreys, hubungan antara kedua kontribusi tersebut tidak langsung dikenali dalam literatur awal. Berbagai kombinasi inisial, seperti WBK, BWK, JWKB, dan WKBJ, digunakan dalam teks mekanika kuantum pada masa awal. Ulasan menyeluruh mengenai sejarah dan formulasi metode ini dikemukakan oleh Robert B. Dingle.<ref>Robert B. Dingle. [https://archive.org/details/asymptoticexpans0000ding Asymptotic expansions: their derivation and interpretation]. Academic Press. 1973. ISBN 978-0-12-216550-4.</ref>


Metode dengan sifat matematis yang sepadan telah muncul lebih awal, antara lain pada karya Francesco Carlini (1817), Joseph Liouville (1837), George Green (1837), Lord Rayleigh (1912), dan Richard Gans (1915). Liouville dan Green sering dianggap sebagai perintis formulasi dasarnya, sehingga metode ini juga dikenal sebagai metode Liouville–Green. Jeffreys, Wentzel, Kramers, dan Brillouin menambahkan prosedur penanganan titik balik (''turning points''), yaitu wilayah di mana sifat solusi berubah dari berosilasi menjadi meredam atau sebaliknya. Dalam persamaan Schrödinger, kondisi tersebut muncul ketika bentuk potensial menghasilkan perubahan karakter solusi pada titik tertentu.
Metode dengan sifat matematis yang sepadan telah muncul lebih awal, antara lain pada karya Francesco Carlini (1817), Joseph Liouville (1837), <ref>Vincent Thilliez. [https://doi.org/10.1016/s0021-7824(97)89960-6 Sur les fonctions composées ultradifférentiables]. ''Journal de Mathématiques Pures et Appliquées''. 1997-06. Vol. 76 (6). hlm. 499–524. doi:10.1016/s0021-7824(97)89960-6.</ref>George Green (1837),<ref>[https://doi.org/10.1017/cbo9781107325074.007 On the Motion of Waves in a variable canal of small depth and width]. Cambridge University Press. 2014-02-13. hlm. 223–230. ISBN 978-1-108-06560-3.</ref> Lord Rayleigh (1912),<ref>John William Strutt. [https://royalsocietypublishing.org/doi/10.1098/rspa.1912.0014 On the propagation of waves through a stratified medium, with special reference to the question of reflection]. ''Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character''. 1997-01. Vol. 86 (586). hlm. 207–226. doi:10.1098/rspa.1912.0014.</ref> dan Richard Gans (1915).<ref>R. Gans. [https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/andp.19153521402 Fortpflanzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium]. ''Annalen der Physik''. 1915. Vol. 352 (14). hlm. 709–736. doi:10.1002/andp.19153521402.</ref> Liouville dan Green sering dianggap sebagai perintis formulasi dasarnya, sehingga metode ini juga dikenal sebagai metode Liouville–Green. Jeffreys, Wentzel, Kramers, dan Brillouin menambahkan prosedur penanganan titik balik (''turning points''), yaitu wilayah di mana sifat solusi berubah dari berosilasi menjadi meredam atau sebaliknya. Dalam persamaan Schrödinger, kondisi tersebut muncul ketika bentuk potensial menghasilkan perubahan karakter solusi pada titik tertentu.<ref>[https://en.wikipedia.org/wiki/Special:BookSources/978-90-5699-521-8 Advances in difference equations: proceedings of the Second International Conference on Difference Equations: Veszprém, Hungary, August 7-11, 1995]. Gordon and Breach Science Publishers. 1997. ISBN 978-90-5699-521-8.</ref><ref>Saber N. Elaydi. [https://books.google.com/books?id=a36iXw5_VzcC&dq=Liouville-Green+WKBJ+WKB+LG&pg=PA567 Advances in Difference Equations: Proceedings of the Second International Conference on Difference Equations]. CRC Press. 1998-01-29. ISBN 978-90-5699-521-8.</ref>


== Formula ==
== Formula ==
Dalam formulasi umumnya, teori WKB digunakan untuk menghampiri solusi persamaan diferensial di mana turunan berorde tertinggi dikalikan dengan parameter kecil ε.
Dalam formulasi umumnya, teori WKB digunakan untuk menghampiri solusi persamaan diferensial di mana turunan berorde tertinggi dikalikan dengan parameter kecil ε.  


<math>\varepsilon \frac{d^ny}{dx^n} + a(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + k(x)\frac{dy}{dx} + m(x)y= 0</math>
<math>\varepsilon \frac{d^ny}{dx^n} + a(x)\frac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + \cdots + k(x)\frac{dy}{dx} + m(x)y= 0</math>


Proses pendekatan dilakukan dengan mengasumsikan solusi dalam bentuk deret [[asimtotik eksponensial]] yang bergantung pada parameter δ yang menuju nol.
Proses pendekatan dilakukan dengan mengasumsikan solusi dalam bentuk deret [[asimtotik eksponensial]] yang bergantung pada parameter δ yang menuju nol.  


<math> y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty} \delta^n S_n(x)\right]</math>
<math> y(x) \sim \exp\left[\frac{1}{\delta}\sum_{n=0}^{\infty} \delta^n S_n(x)\right]</math>


Substitusi bentuk ini ke dalam persamaan diferensial memungkinkan penyederhanaan terhadap faktor eksponensial sehingga setiap fungsi Sn(x) dalam deret dapat ditentukan secara sistematis. Teori WKB diklasifikasikan sebagai salah satu bentuk analisis multiskala yang diterapkan dalam berbagai kajian [[Fisika teori|fisika teoretis]] dan [[matematika terapan]].
Substitusi bentuk ini ke dalam persamaan diferensial memungkinkan penyederhanaan terhadap faktor eksponensial sehingga setiap fungsi Sn(x) dalam deret dapat ditentukan secara sistematis. Teori WKB diklasifikasikan sebagai salah satu bentuk analisis multiskala yang diterapkan dalam berbagai kajian [[Fisika teori|fisika teoretis]] dan [[matematika terapan]].<ref>Paul Filippi. [https://books.google.com/books?id=xHWiOMp63WsC&q=wkb%20multi-scale&pg=PA171 Acoustics: Basic Physics, Theory, and Methods]. Academic Press. 1999. ISBN 978-0-12-256190-0.</ref><ref>Mark H. Holmes. ''Introduction to Perturbation Methods''. Springer. 2013. ISBN 978-1-4614-5476-2.</ref><ref>Carl M. Bender. [https://archive.org/details/advancedmathemat0000bend Advanced mathematical methods for scientists and engineers. 1: Asymptotic methods and perturbation theory]. Springer. 2009. ISBN 978-0-387-98931-0.</ref>


== Referensi ==
== Referensi ==
 
<references />
 


== Sumber dan atribusi ==
== Sumber dan atribusi ==


Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pendekatan+WKB&oldid=29463231 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29463231 (2026-07-16T00:36:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Pendekatan+WKB&oldid=29463231 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 29463231 (2026-07-16T00:36:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 09.03

Pendekatan WKB atau metode WKB dalam fisika matematis merupakan teknik untuk memperoleh solusi hampiran bagi persamaan diferensial linear dengan koefisien yang berubah terhadap posisi. Metode ini digunakan terutama dalam perhitungan semiklasik pada mekanika kuantum, ketika fungsi gelombang dinyatakan sebagai fungsi eksponensial dan diperluas secara semiklasik sehingga amplitudo atau fase fungsi tersebut dianggap mengalami perubahan secara bertahap. Nama metode ini berasal dari inisial Wentzel, Kramers, dan Brillouin, serta dikenal pula sebagai metode Liouville–Green (LG).[1][2] Variasi lain yang digunakan dalam literatur mencakup JWKB dan WKBJ, dengan huruf “J” merujuk pada Jeffreys.[3]

Sejarah

Pengembangan metode ini umumnya dikaitkan dengan Gregor Wentzel, Hendrik Anthony Kramers, dan Léon Brillouin, yang masing-masing mempublikasikan uraian teknis mengenai pendekatan tersebut pada tahun 1926. Sebelumnya, pada tahun 1923,[4] Harold Jeffreys telah merumuskan metode umum untuk menemukan solusi persamaan diferensial linear orde kedua, yang kemudian mencakup bentuk persamaan Schrödinger. Karena persamaan Schrödinger baru diperkenalkan dua tahun setelah publikasi Jeffreys, hubungan antara kedua kontribusi tersebut tidak langsung dikenali dalam literatur awal. Berbagai kombinasi inisial, seperti WBK, BWK, JWKB, dan WKBJ, digunakan dalam teks mekanika kuantum pada masa awal. Ulasan menyeluruh mengenai sejarah dan formulasi metode ini dikemukakan oleh Robert B. Dingle.[5]

Metode dengan sifat matematis yang sepadan telah muncul lebih awal, antara lain pada karya Francesco Carlini (1817), Joseph Liouville (1837), [6]George Green (1837),[7] Lord Rayleigh (1912),[8] dan Richard Gans (1915).[9] Liouville dan Green sering dianggap sebagai perintis formulasi dasarnya, sehingga metode ini juga dikenal sebagai metode Liouville–Green. Jeffreys, Wentzel, Kramers, dan Brillouin menambahkan prosedur penanganan titik balik (turning points), yaitu wilayah di mana sifat solusi berubah dari berosilasi menjadi meredam atau sebaliknya. Dalam persamaan Schrödinger, kondisi tersebut muncul ketika bentuk potensial menghasilkan perubahan karakter solusi pada titik tertentu.[10][11]

Formula

Dalam formulasi umumnya, teori WKB digunakan untuk menghampiri solusi persamaan diferensial di mana turunan berorde tertinggi dikalikan dengan parameter kecil ε.

εdnydxn+a(x)dn−1ydxn−1+⋯+k(x)dydx+m(x)y=0

Proses pendekatan dilakukan dengan mengasumsikan solusi dalam bentuk deret asimtotik eksponensial yang bergantung pada parameter δ yang menuju nol.

y(x)∼exp⁡[1δ∑n=0∞δnSn(x)]

Substitusi bentuk ini ke dalam persamaan diferensial memungkinkan penyederhanaan terhadap faktor eksponensial sehingga setiap fungsi Sn(x) dalam deret dapat ditentukan secara sistematis. Teori WKB diklasifikasikan sebagai salah satu bentuk analisis multiskala yang diterapkan dalam berbagai kajian fisika teoretis dan matematika terapan.[12][13][14]

Referensi

  1. ↑ WKB approximation - Knowledge and References. Taylor & Francis.
  2. ↑ Brian L. Frost. Foundations of the Wentzel-Kramers-Brillouin approximation for models of cochlear mechanics in 1- and 2-D. The Journal of the Acoustical Society of America. 2024-01-01. Vol. 155 (1). hlm. 358–379. doi:10.1121/10.0024355.
  3. ↑ Approximation Methods. www.sciencedirect.com.
  4. ↑ Harold Jeffreys. On Certain Approximate Solutions of Lineae Differential Equations of the Second Order. Proceedings of the London Mathematical Society. 1925. Vol. s2-23 (1). hlm. 428–436. doi:10.1112/plms/s2-23.1.428.
  5. ↑ Robert B. Dingle. Asymptotic expansions: their derivation and interpretation. Academic Press. 1973. ISBN 978-0-12-216550-4.
  6. ↑ Vincent Thilliez. Sur les fonctions composées ultradifférentiables. Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. 1997-06. Vol. 76 (6). hlm. 499–524. doi:10.1016/s0021-7824(97)89960-6.
  7. ↑ On the Motion of Waves in a variable canal of small depth and width. Cambridge University Press. 2014-02-13. hlm. 223–230. ISBN 978-1-108-06560-3.
  8. ↑ John William Strutt. On the propagation of waves through a stratified medium, with special reference to the question of reflection. Proceedings of the Royal Society of London. Series A, Containing Papers of a Mathematical and Physical Character. 1997-01. Vol. 86 (586). hlm. 207–226. doi:10.1098/rspa.1912.0014.
  9. ↑ R. Gans. Fortpflanzung des Lichts durch ein inhomogenes Medium. Annalen der Physik. 1915. Vol. 352 (14). hlm. 709–736. doi:10.1002/andp.19153521402.
  10. ↑ Advances in difference equations: proceedings of the Second International Conference on Difference Equations: Veszprém, Hungary, August 7-11, 1995. Gordon and Breach Science Publishers. 1997. ISBN 978-90-5699-521-8.
  11. ↑ Saber N. Elaydi. Advances in Difference Equations: Proceedings of the Second International Conference on Difference Equations. CRC Press. 1998-01-29. ISBN 978-90-5699-521-8.
  12. ↑ Paul Filippi. Acoustics: Basic Physics, Theory, and Methods. Academic Press. 1999. ISBN 978-0-12-256190-0.
  13. ↑ Mark H. Holmes. Introduction to Perturbation Methods. Springer. 2013. ISBN 978-1-4614-5476-2.
  14. ↑ Carl M. Bender. Advanced mathematical methods for scientists and engineers. 1: Asymptotic methods and perturbation theory. Springer. 2009. ISBN 978-0-387-98931-0.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29463231 (2026-07-16T00:36:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.


Diperoleh dari "https://wiki.unissula.ac.id/index.php?title=Pendekatan_WKB&oldid=9926"