Persamaan beda rasional: Perbedaan antara revisi

Revisi terkini sejak 25 Agustus 2026 09.04

Sebuah persamaan beda rasional adalah persamaan beda nonlinear dalam bentuk^[1]^[2]^[3]^[4]

x_{n + 1} = \frac{α + \sum_{i = 0}^{k} β_{i} x_{n - i}}{A + \sum_{i = 0}^{k} B_{i} x_{n - i}},

di mana kondisi awal $x_{0}, x_{- 1}, \dots, x_{- k}$ sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk $n$ apa-pun.

Persamaan beda rasional urutan pertama

Sebuah persamaan beda rasional urutan pertama adalah persamaan beda nonlinear dari bentuk

w_{t + 1} = \frac{a w_{t} + b}{c w_{t} + d} .

Bila $a, b, c, d$ dan kondisi awal $w_{0}$ adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai persamaan beda Riccati.^[5]

Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis $w_{t}$ sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain $x_{t}$ yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan persamaan beda linear pada $x_{t}$ .

Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.^[6]^[7]

Memecahkan persamaan urutan pertama

Pendekatan pertama

Pendekatan pertama^[8] untuk mengembangkan variabel yang diubah $x_{t}$ , ketika $a d - b c \neq 0$ ditulis sebagai

y_{t + 1} = α - \frac{β}{y_{t}}

di mana $α = (a + d) / c$ dan $β = (a d - b c) / c^{2}$ dan di mana $w_{t} = y_{t} - d / c$ .

Penulisan lebih lanjut $y_{t} = x_{t + 1} / x_{t}$ ditampilkan sebagai hasil

x_{t + 2} - α x_{t + 1} + β x_{t} = 0.

Pendekatan kedua

Pendekatan ini^[9] diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk $x_{t}$ alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus di mana $(d - a)^{2} + 4 b c$ bukanlah negatif. Tulis sebagai $x_{t} = 1 / (η + w_{t})$ diimplikasikan $w_{t} = (1 - η x_{t}) / x_{t}$ , di mana $η$ yang diberikan oleh $η = (d - a + r) / 2 c$ dan di mana $r = \sqrt{(d - a)^{2} + 4 b c}$ . Maka dapat ditunjukkan bahwa $x_{t}$ dievolusikan sebagai

x_{t + 1} = (\frac{d - η c}{η c + a}) x_{t} + \frac{c}{η c + a} .

Pendekatan ketiga

Persamaan

w_{t + 1} = \frac{a w_{t} + b}{c w_{t} + d}

juga dapat diselesaikan dengan melakukan sebagai kasus khusus dari persamaan matriks lebih umum

X_{t + 1} = - (E + B X_{t}) (C + A X_{t})^{- 1},

di mana semua A, B, C, E, dan X adalah matriks n×n (dalam hal ini n=1); solusinya adalah^[10]

X_{t} = N_{t} D_{t}^{- 1}

di mana

(\begin{matrix} N_{t} \\ D_{t} \end{matrix}) = {(\begin{matrix} - B & - E \\ A & C \end{matrix})}^{t} (\begin{matrix} X_{0} \\ I \end{matrix}) .

Aplikasi

Hal ini ditunjukkan^[11] bahwa matriks persamaan Riccati dinamis dari bentuk

H_{t - 1} = K + A^{'} H_{t} A - A^{'} H_{t} C (C^{'} H_{t} C)^{- 1} C^{'} H_{t} A,

yang dapat muncul pada beberapa masalah kontrol optimal waktu-diskrit, bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks C hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.

Bacaan lebih lanjut

Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," Mathematical Gazette 93, November 2009, 500-504.

Referensi

↑ Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−218, eqns (41,42)
↑ Elias Camouzis. Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. CRC Press. November 16, 2007. ISBN 9781584887669.
↑ Mustafa R. S. Kulenovic. Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures. CRC Press. July 30, 2001. ISBN 9781420035384.
↑ Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", Mathematical Gazette 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.
↑ Mustafa R. S. Kulenovic. Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures. CRC Press. July 30, 2001. ISBN 9781420035384.
↑ Equivalent resistance in ladder circuit. Stack Exchange.
↑ Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!. Youtube.
↑ Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online
↑ Mitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.
↑ Martin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), The Riccati Equation, Springer-Verlag, 1991.
↑ Balvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28837385 (2026-01-15T14:40:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, Biometrika 38 196−218, eqns (41,42)

[2] Elias Camouzis. Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures. CRC Press. November 16, 2007. ISBN 9781584887669.

[3] Mustafa R. S. Kulenovic. Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures. CRC Press. July 30, 2001. ISBN 9781420035384.

[4] Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", Mathematical Gazette 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.

[5] Mustafa R. S. Kulenovic. Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures. CRC Press. July 30, 2001. ISBN 9781420035384.

[6] Equivalent resistance in ladder circuit. Stack Exchange.

[7] Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!. Youtube.

[8] Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," American Mathematical Monthly 62, September 1955, 489–492. online

[9] Mitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," Journal of Economic Dynamics and Control 24, 2000, 615–622.

[10] Martin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), The Riccati Equation, Springer-Verlag, 1991.

[11] Balvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," Journal of Economic Dynamics and Control 31, 2007, 141–159.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

@@ Baris 1: / Baris 1: @@
-Sebuah '''persamaan beda rasional''' adalah [[persamaan beda]] nonlinear dalam bentuk
+Sebuah '''persamaan beda rasional''' adalah [[persamaan beda]] nonlinear dalam bentuk<ref>Skellam, J.G. (1951). “Random dispersal in theoretical populations”, ''Biometrika'' '''38''' 196−218, eqns (41,42)</ref><ref>Elias Camouzis. [https://books.google.com/books?id=4Kb3lO31NcAC&q=on+third+order+rational+difference+equations Dynamics of Third-Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures]. CRC Press. November 16, 2007. ISBN 9781584887669.</ref><ref>Mustafa R. S. Kulenovic. [https://books.google.com/books?id=zW7N4r64aZgC&q=on+second+order+rational+difference+equations Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures]. CRC Press. July 30, 2001. ISBN 9781420035384.</ref><ref>Newth, Gerald, "World order from chaotic beginnings", ''Mathematical Gazette'' 88, March 2004, 39-45 gives a trigonometric approach.</ref>
 : <math>x_{n+1} = \frac{\alpha+\sum_{i=0}^k \beta_ix_{n-i}}{A+\sum_{i=0}^k B_ix_{n-i}}~,</math>
 di mana kondisi awal <math>x_{0}, x_{-1},\dots, x_{-k}</math> sedemikian rupa sehingga penyebut tidak pernah hilang untuk <math>n</math> apa-pun.
@@ Baris 8: / Baris 8: @@
 : <math>w_{t+1} = \frac{aw_t+b}{cw_t+d}.</math>
-Bila <math>a,b,c,d</math> dan kondisi awal <math>w_{0}</math> adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai '''persamaan beda Riccati'''.
+Bila <math>a,b,c,d</math> dan kondisi awal <math>w_{0}</math> adalah bilangan real, maka persamaan beda ini disebut sebagai '''persamaan beda Riccati'''.<ref>Mustafa R. S. Kulenovic. [https://books.google.com/books?id=zW7N4r64aZgC&q=on+second+order+rational+difference+equations Dynamics of Second Order Rational Difference Equations: With Open Problems and Conjectures]. CRC Press. July 30, 2001. ISBN 9781420035384.</ref>
 Persamaan tersebut diselesaikan dengan menulis <math>w_t</math> sebagai transformasi nonlinear dari variabel lain <math>x_t</math> yang berkembang secara linear. Kemudian metode standar dapat digunakan untuk menyelesaikan [[persamaan beda linear]] pada <math>x_t</math>.
-Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.
+Persamaan bentuk ini muncul dari masalah tangga resistor tak-hingga.<ref>[https://physics.stackexchange.com/q/121297 Equivalent resistance in ladder circuit]. ''Stack Exchange''.</ref><ref>[https://www.youtube.com/watch?v=rqckorUt2ck Thinking Recursively: How to Crack the Infinite Resistor Ladder Puzzle!]. ''Youtube''.</ref>
 == Memecahkan persamaan urutan pertama==
 ===Pendekatan pertama===
+Pendekatan pertama<ref>Brand, Louis, "A sequence defined by a difference equation," ''American Mathematical Monthly'' '''62''', September 1955, 489–492. [https://www.jstor.org/discover/10.2307/2307362 online]</ref> untuk mengembangkan variabel yang diubah <math>x_t</math>, ketika <math>ad-bc \neq 0</math> ditulis sebagai
-Pendekatan pertama untuk mengembangkan variabel yang diubah <math>x_t</math>, ketika <math>ad-bc \neq 0</math> ditulis sebagai
 : <math>y_{t+1}= \alpha - \frac{\beta}{y_t}</math>
 di mana <math>\alpha = (a+d)/c</math>  dan <math>\beta = (ad-bc)/c^{2}</math> dan di mana <math>w_t = y_t -d/c</math>.
@@ Baris 26: / Baris 24: @@
 ===Pendekatan kedua ===
+Pendekatan ini<ref>Mitchell, Douglas W., "An analytic Riccati solution for two-target discrete-time control," ''Journal of Economic Dynamics and Control'' 24, 2000, 615–622.</ref>  diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk <math>x_t</math> alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus di mana <math>(d-a)^{2}+4bc</math> bukanlah negatif. Tulis sebagai <math>x_t = 1/(\eta + w_t)</math> diimplikasikan <math>w_t = (1- \eta x_t)/x_t</math>, di mana <math>\eta</math> yang diberikan oleh <math>\eta = (d-a+r)/2c</math> dan di mana <math>r=\sqrt{(d-a)^{2}+4bc}</math>. Maka dapat ditunjukkan bahwa <math>x_t</math> dievolusikan sebagai
-Pendekatan ini  diberikan persamaan perbedaan urutan pertama untuk <math>x_t</math> alih-alih persamaan urutan kedua, untuk kasus di mana <math>(d-a)^{2}+4bc</math> bukanlah negatif. Tulis sebagai <math>x_t = 1/(\eta + w_t)</math> diimplikasikan <math>w_t = (1- \eta x_t)/x_t</math>, di mana <math>\eta</math> yang diberikan oleh <math>\eta = (d-a+r)/2c</math> dan di mana <math>r=\sqrt{(d-a)^{2}+4bc}</math>. Maka dapat ditunjukkan bahwa <math>x_t</math> dievolusikan sebagai
 : <math>x_{t+1} =\left( \frac{d-\eta c}{\eta c+a}\right)x_t + \frac{c}{\eta c+a}.</math>
@@ Baris 38: / Baris 35: @@
 :<math>X_{t+1} = -(E+BX_t)(C+AX_t)^{-1},</math>
-di mana semua ''A, B, C, E,'' dan ''X'' adalah matriks ''n''×''n'' (dalam hal ini ''n''=1); solusinya adalah
+di mana semua ''A, B, C, E,'' dan ''X'' adalah matriks ''n''×''n'' (dalam hal ini ''n''=1); solusinya adalah<ref>Martin, C. F., and Ammar, G., "The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method," in Bittani, Laub, and Willems (eds.), ''The Riccati Equation'', Springer-Verlag, 1991.</ref>
 :<math>X_{t}=N_tD_t^{-1}</math>
@@ Baris 47: / Baris 44: @@
 ==Aplikasi==
+Hal ini ditunjukkan<ref>Balvers, Ronald J., and Mitchell, Douglas W., "Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems," ''Journal of Economic Dynamics and Control'' 31, 2007, 141–159.</ref> bahwa [[matriks persamaan Riccati]] dinamis dari bentuk
-Hal ini ditunjukkan bahwa [[matriks persamaan Riccati]] dinamis dari bentuk
 : <math> H_{t-1} = K +A'H_tA - A'H_tC(C'H_tC)^{-1}C'H_tA, </math>
 yang dapat muncul pada beberapa masalah [[kontrol optimal]] [[waktu-diskrit]], bisa diselesaikan dengan menggunakan pendekatan kedua diatas jika matriks ''C'' hanya memiliki satu baris lebih banyak daripada kolom.
-==Referensi==
 ==Bacaan lebih lanjut==
 * Simons, Stuart, "A non-linear difference equation," ''Mathematical Gazette'' 93, November 2009, 500-504.
+== Referensi ==
+<references />
 == Sumber dan atribusi ==
 Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Persamaan+beda+rasional&oldid=28837385 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28837385 (2026-01-15T14:40:52Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.
+<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->

Maintenance script (bicara | kontrib)