Aljabar Akivis

Dalam matematika dan khususnya studi aljabar, aljabar Akivis adalah aljabar nonasosiatif yang dilengkapi dengan operator biner, komutator $[x,y]$ dan operator terner, asosiasi $[x,y,z]$ yang memenuhi hubungan tertentu yang dikenal sebagai identitas Akivis. Nama tersebut digunakan untuk menghormati matematikawan asal Rusia Maks A. Akivis.

Secara formal, jika $A$ adalah ruang vektor Medan atas $𝔽$ dari karakteristik nol, $A$ adalah aljabar Akivis jikalau operasi $(x,y)\mapsto [x,y]$ adalah bilinear dan antikomutatif; dan operator trilinear $(x,y,z)\mapsto [x,y,z]$ memenuhi identitas Akivis:

$[[x,y],z]+[[y,z],x]+[[z,x],y]=[x,y,z]+[y,z,x]+[z,x,y]-[x,z,y]-[y,x,z]-[z,y,x].$

Aljabar Akivis dengan $[x,y,z]=0$ adalah sebuah aljabar Lie, karena identitas Akivis direduksi sebagai identitas Jacobi. Perhatikan bahwa suku-suku pada ruas kanan memiliki tanda positif untuk permutasi genap dan tanda negatif untuk permutasi ganjil dari $x,y,z$.

Aljabar apa-pun (bahkan jika nonasosiatif) adalah aljabar Akivis kalau didefinisikan $[x,y]=xy-yx$ dan $[x,y,z]=(xy)z-x(yz)$. Diketahui bahwa semua aljabar Akivis direpresentasikan sebagai subaljabar dari aljabar (mungkin nonasosiatif) dengan cara ini (untuk aljabar asosiatif, pengasosiasinya identik dengan nol, dan identitas Akivis direduksi sebagai identitas Jacobi).

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 22487822 (2022-12-27T00:03:44Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.