Fungsi Weierstrass

Dalam matematika, fungsi Weierstrass adalah contoh dari fungsi bernilai real yang kontinu di manapun namun tidak terdiferensialkan di manapun. Fungsi ini adalah contoh sebuah fungsi fraktal. Fungsi ini dinamakan dengan nama penemunya, Karl Weierstrass.

Konstruksi

Dalam makalah asli Weierstrass, fungsi ini didefinisikan sebagai sebuah deret pangkat:

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle f(x)=\\sum_{n=0} ^\\infty a^n \\cos(b^n \\pi x),}

dengan $0 < a < 1$ , $b$ adalah bilangan ganjil positif, dan

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle ab > 1+\\frac{3}{2} \\pi.}

Nilai minimum $b$ sehingga ada $0 < a < 1$ yang memenuhi syarat tersebut adalah $b = 7$ . Definisi ini, beserta bukti bahwa fungsi tidak terdiferensialkan pada sembarang selang, disampaikan oleh Weierstrass dalam sebuah makalah yang disajikan untuk Akademi Sains Prusia pada 18 Juli 1872.^[1]^[2]^[3]

Walaupun tidak terdiferensialkan, fungsi ini kontinu. Suku-suku yang mendefinisikan jumlah tak-hingga terbatas oleh Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pm a^n} , yang memiliki nilai yang hingga untuk $0 < a < 1$ . Jenis konvergensi dari jumlah suku-suku ini adalah seragam lewat uji-M Weierstrass dengan $M_{n} = a^{n}$ . Karena setiap jumlah parsial bersifat kontinu, dengan teorema limit seragam dapat ditunjukkan $f$ kontinu. Terlebih lagi, karena setiap jumlah parsial kontinu seragam, fungsi $f$ juga kontinu seragam.

Dapat dibayangkan bahwa sebuah fungsi kontinu harus memiliki turunan, atau bahwa himpunan titik yang tak terdiferensialkan harus terhitung (baik hingga atau tak hingga). Berdasarkan Weierstrass di makalahnya, banyak matematikawan pada masa lalu, termasuk Gauss, sering mengasumsikan intuisi tersebut benar. Hal tersebut mungkin diakibatkan karena sulitnya menggambar atau membayangkan sebuah fungsi kontinu yang himpunan titik tak terdiferensialkannya tak terhitung.

Kekontinuan Hölder

Fungsi Weierstrass lebih nyaman untuk ditulis ulang sebagai

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle W_\\alpha(x) = \\sum_{n=0}^\\infty b^{-n\\alpha}\\cos(b^n \\pi x)}

Untuk Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha = -\ frac{\\ln(a)}{\\ln(b)}} . Fungsi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle W_\\alpha(x)} selanjutnya dapat ditunjukkan kontinu Hölder pangkat Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha} , yang mengartikan ada konstanta $C$ sehingga

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle |W_\\alpha(x)-W_\\alpha(y)|\\le C|x-y|^\\alpha}

untuk setiap $x$ dan $y$ .^[4] Lebih lanjut, $W_{1}$ kontinu Hölder untuk semua pangkat Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha < 1} tetapi tidak kontinu Lipschitz.

Daftar pustaka

- Versi bahasa Inggris:

Referensi

↑ Di halaman 560 karya tahun 1872 Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Laporan Bulanan Akademika Sains Prusia di Berlin), ada menyinggung secara singkat bahwa pada 18 Juli, "Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte Differentialquotienten" (Mr. Weierstrass membaca [sebuah makalah] mengenai fungsi kontinu tanpa turunan [di] tak hingga [titik]). Tetapi, makalah Weierstrass tidak diterbitkan di Monatsberichte.
↑ Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen," (Mengenai fungsi kontinu dengan argumen real yang tidak memiliki turunan untuk setiap nilai argumennya) di: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlin, Germany: Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, hlm. 71–74.
↑ Lihat pula: Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre [Risalah dari Teori Fungsi] (Berlin, Germany: Julius Springer, 1886), hlm. 97.
↑ A. Zygmund. Trigonometric Series. Vol. I, II. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-89053-3., p. 47.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29322364 (2026-06-06T16:23:33Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Di halaman 560 karya tahun 1872 Monatsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin (Laporan Bulanan Akademika Sains Prusia di Berlin), ada menyinggung secara singkat bahwa pada 18 Juli, "Hr. Weierstrass las über stetige Funktionen ohne bestimmte Differentialquotienten" (Mr. Weierstrass membaca [sebuah makalah] mengenai fungsi kontinu tanpa turunan [di] tak hingga [titik]). Tetapi, makalah Weierstrass tidak diterbitkan di Monatsberichte.

[2] Karl Weierstrass, "Über continuirliche Functionen eines reellen Arguments, die für keinen Werth des letzeren einen bestimmten Differentialquotienten besitzen," (Mengenai fungsi kontinu dengan argumen real yang tidak memiliki turunan untuk setiap nilai argumennya) di: Königlich Preussichen Akademie der Wissenschaften, Mathematische Werke von Karl Weierstrass (Berlin, Germany: Mayer & Mueller, 1895), vol. 2, hlm. 71–74.

[3] Lihat pula: Karl Weierstrass, Abhandlungen aus der Functionenlehre [Risalah dari Teori Fungsi] (Berlin, Germany: Julius Springer, 1886), hlm. 97.

[4] A. Zygmund. Trigonometric Series. Vol. I, II. Cambridge University Press. 2002. ISBN 978-0-521-89053-3., p. 47.

[1]

[2]

[3]

[4]