Grup permutasi

Teka-teki populer kubus Rubik yang ditemukan pada tahun 1974 oleh Ernő Rubik telah digunakan sebagai ilustrasi kelompok permutasi. Setiap rotasi lapisan kubus menghasilkan permutasi warna permukaan dan merupakan anggota grup. Kelompok permutasi kubus disebut grup kubus Rubik.

Dalam matematika, khususnya aljabar, suatu grup permutasi $G$ adalah suatu grup dengan unsur-unsurnya adalah permutasi dari suatu himpunan $M$ dan operasi grupnya adalah komposisi dari permutasi. Grup permutasi tersebut dinotasikan sebagai Sym( $M$ ) (notasi Sym di sini bermakna Symmetric). Khusus untuk himpunan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle M = \\{1, 2, ..., n\\}} , grup permutasi tersebut umumnya dinotasikan sebagai $S_{n}$ .^[1]

Notasi seperti ini dapat diringkas menjadi notasi putaran. Suatu putaran $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{n})$ dengan panjang $n$ melambangkan pemetaan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle a_1 \\mapsto a_2, a_2 \\mapsto a_3, ..., a_{n-1} \\mapsto a_n, a_n \\mapsto a_1} .^[2] Sebagai contoh, tinjau permutasi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma} pada grup permutasi $S_{6}$ yang didefinisikan oleh

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma=\\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\\\ 3 & 1 & 2 & 4 & 6 & 5\\end{pmatrix}} .

Untuk meringkas, notasi tersebut dapat ditulis menjadi $(132) (4) (56)$ yang kemudian dapat diringkas lagi dengan menghilangkan setiap putaran dengan panjang 1 menjadi $(132) (56)$ . Dua buah putaran $(a_{1}, a_{2}, ..., a_{m}), (b_{1}, b_{2}, ..., b_{k})$ yang tidak saling lepas (yakni irisan himpunan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\{a_1, ..., a_m\\}} dengan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\{b_1, ..., b_k\\}} tidak kosong) kemudian dapat dipandang sebagai dua unsur yang berbeda dalam suatu grup permutasi, sehingga komposisinya dapat dipandang sebagai perkalian dua buah permutasi. Untuk sebarang dua buah putaran saling lepas Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha, \\beta \\in S_n} , berlaku pula Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\alpha \\beta = \\beta \\alpha } .^[3]

Karena permutasi adalah suatu bijeksi, ia mempunyai invers. Misalkan Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma \\in S_n} suatu permutasi yang dinyatakan oleh matriks

Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma=\\begin{pmatrix} 1 & 2 & ... & n \\\\ \\sigma(1) & \\sigma(2) & ... & \\sigma(n) \\end{pmatrix}} ,

invers dari Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma} yang dinotasikan sebagai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\sigma^{-1}} dapat dihitung dengan menukar barisnya. Yaitu,

Lihat pula

Referensi

↑ John R. Durbin. Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.
↑ John R. Durbin. Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.
↑ Aleams Barra. Catatan Kuliah Struktur Aljabar. 2015.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 19582625 (2021-12-22T05:49:54Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] John R. Durbin. Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.

[2] John R. Durbin. Modern Algebra An Introduction, Sixth Edition. John Willey and Sons, Inc. 2009. ISBN 978-0470-38443-5.

[3] Aleams Barra. Catatan Kuliah Struktur Aljabar. 2015.

[1]

[2]

[3]