Terompet Jibril

Definisi matematis

Terompet Jibril terbentuk dengan menggambarkan grafik fungsi Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle y = \\frac{1}{x},} dengan domain Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle x \\ge 1} dan kemudian berputar di sumbu-$x$. Terompet ini ditemukan dengan menggunakan prinsip Cavalieri, tetapi karena adanya penemuan kalkulus, sifat-sifat pengukuran seperti volume dan luas permukaannya di antara $x=1$ dan $x=a$ (dengan $a>1$) dapat dihitung. Menggunakan pengintegralan, volume $V$ dan luas permukaan $A$ dari suatu terompet Jibril dapat dinyatakan sebagai: Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\begin{align} V &= \\pi\\int_1^a \\left(\\frac{1}{x}\ ight)^2 \\,\\mathrm{d}x = \\pi\\left(1 - \\frac{1}{a}\ ight), \\\\ A &= 2\\pi\\int_1^a \\frac{1}{x} \\sqrt{1 + \\left(-\\frac{1}{x^2}\ ight)^2} \\,\\mathrm{d}x > 2\\pi\\int_1^a \\frac{\\mathrm{d}x}{x} = 2\\pi \\cdot \\left[\\ln x \ ight]_{1}^{a} = 2\\pi\\ln a. \\end{align}}

Nilai $a$ dapat bernilai besar. Jika dilihat dari persamaan volumenya di antara $x=1$ dan $x=a$, hasilnya tidak pernah mencapai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi } . Akan tetapi, hasilnya secara perlahan-lahan mendekati Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi } ketika $a$ semakin naik. Secara matematis, volumenya mendekati Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\pi } saat $a$ mendekati tak terhingga. Dengan menggunakan notasi limit, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lim_{a\ o\\infty} V = \\lim_{a\ o\\infty} \\pi\\left(1 - \\frac{1}{a}\ ight) = \\pi \\cdot \\lim_{a\ o\\infty}\\left(1 - \\frac{1}{a}\ ight) = \\pi.}

Rumus luas permukaan di atas memberikan batas bawah untuk luas yang dinyatakan sebagai Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle 2 \\pi } dikali dengan logaritma alami dari $a$, tetapi logaritma dari $a$ tidak memiliki batas atas saat $a$ mendekati tak terhingga. Karena itu, terompet Jibril memiliki luas permukaan yang tak terhingga. Lagi-lagi, dengan menggunakan notasi limit, Gagal mengurai (kesalahan sintaks): {\displaystyle \\lim_{a\ o\\infty} A \\ge \\lim_{a\ o\\infty} 2\\pi\\ln a = \\infty.}

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29587882 (2026-08-16T10:17:49Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.