Homomorfisme aljabar

Pada matematika, homomorfisme aljabar adalah homomorfisme di antara dua aljabar asosiatif. Lebih tepatnya, jika dan adalah aljabar atas suatu lapangan (atau gelanggang komutatif) , fungsi $F : A \to B$ merupakan homomorfisme aljabar apabila untuk setiap anggota dan anggota ,^[1]^[2]

$F (k x) = k F (x)$
$F (x + y) = F (x) + F (y)$
$F (x y) = F (x) F (y)$

Dua kondisi pertama merupakan syarat agar menjadi pemetaan linier-K (atau homomorfisme modul-K jika K adalah gelanggang komutatif), dan kondisi terakhir merupakan syarat agar fungsi menjadi homomorfisme gelanggang (nonunit).

Jika invers dari merupakan homomorfisme atau dengan kata lain bijektif, maka fungsi merupakan isomorfisme antara dan .

Homomorfisme aljabar unital

Misalkan A dan B adalah dua aljabar dengan unsur satuan. Homomorfisme aljabar disebut homomofisme unital jika memetakan unsur satuan di ke unsur satuan di . Homomorfisme aljabar sering kali diasumsikan juga bersifat unital, sekalipun tidak secara eksplisit disebut unital.

Homomorfisme aljabar unital merupakan bagian dari homomorfisme gelanggang yang unital.

Contoh

Setiap gelanggang adalah aljabar-Z. Hal ini dikarenakan terdapat homomorfisme unik . Konversnya juga berlaku, i.e. setiap aljabar-Z merupakan gelanggang.
Homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan menginduksi struktur aljabar-R komutatif pada S. Sebaliknya, jika S merupakan aljabar-R komutatif, maka pemetaan merupakan homomorfisme antar gelanggang komutatif dengan unsur satuan. Dengan demikian, overcategory gelanggang-R komutatif adalah kategori aljabar-R komutatif.
Misalkan A adalah subaljabar dari B, maka untuk setiap unsur unit b, fungsi yang mengirim setiap elemen a di A ke b⁻¹ab merupakan homomorfisme aljabar. (Jika , homomorfisme ini disebut automorfisme dalam dari B ). Homomorfisme ini biasa disebut sebagai pemetaan konjugasi oleh b. Misalkan pula A adalah aljabar sederhana dan B merupakan central simple algebra, maka semua homomorfisme dari A ke B merupakan pemetaan konjugasi; ini merupakan bunyi dari teorema Skolem – Noether .

Lihat pula

Morfisme
Spektrum gelanggang
Augmentasi (aljabar)

Referensi

↑ David S. Dummit. Abstract Algebra. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.
↑ Serge Lang. Algebra. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29466135 (2026-07-16T15:26:58Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] David S. Dummit. Abstract Algebra. John Wiley & Sons. 2004. ISBN 0-471-43334-9.

[2] Serge Lang. Algebra. Springer. 2002. ISBN 0-387-95385-X.

[1]

[2]