Teorema faktor

Dalam aljabar, teorema faktor adalah teorema yang menghubungkan faktor-faktor dari suatu polinomial dengan nilai dari akar-akarnya. Lebih tepatnya, jika $f (x)$ merupakan polinomial univariat, maka $(x - a)$ merupakan faktor dari $f (x)$ jika dan hanya jika nilai $f (a) = 0$ (atau dengan kata lain, $a$ merupakan akar dari polinomial $f$ ). Teorema ini adalah kasus khusus dari teorema sisa polinomial.

Teorema ini berasal dari sifat dasar operasi penjumlahan dan perkalian. Dengan demikian, teorema faktor juga berlaku ketika elemen $a$ dan setiap koefisien dari $f (x)$ merupakan anggota dari sembarang gelanggang komutatif, tidak hanya lapangan.

Faktorisasi polinomial

Dua masalah yang sering melibatkan teorema faktor ialah pemfaktoran polinomial dan pencarian nilai akar dari suatu persamaan polinomial; teorema faktor mengakibatkan bahwa kedua masalah ini pada dasarnya setara.

Teorema faktor juga digunakan untuk menyingkirkan nilai-nilai akar yang telah diketahui dari polinomial yang diberikan, sembari membiarkan nilai-nilai akar yang belum diketahui, sehingga menghasilkan polinomial berderajat lebih rendah yang nilai-nilai akarnya mungkin saja lebih mudah untuk dicari. Secara umum, metodenya ialah sebagai berikut:

Dengan menggunakan teorema akar rasional, tentukan kandidat nilai akar $a$ dari polinomial $f (x)$ berdasarkan koefisien utamanya (yaitu $a_{n}$ ) serta suku konstantanya (yaitu $a_{0}$ ).
Gunakan teorema faktor untuk menyimpulkan bahwa $(x - a)$ merupakan faktor dari $f (x)$ .
Carilah polinomial $g (x) = \frac{f (x)}{x - a}$ dengan menggunakan pembagian bersusun atau pembagian sintetik.
Simpulkan bahwa setiap nilai akar $x \neq a$ dari $f (x)$ juga merupakan akar dari $g (x)$ . Oleh karena derajat polinomial $g$ ialah satu kurangnya dari derajat polinomial $f$ , maka lebih "sederhana" untuk mencari nilai-nilai akar yang tersisa dengan meninjau polinomial $g (x)$ .

Proses ini dilanjutkan hingga polinomial $f$ terfaktorkan sepenuhnya, dimana semua faktornya taktereduksi pada $ℝ [x]$ atau $ℂ [x]$ .

Contoh

Untuk mencari faktor-faktor dari $p (x) = x^{3} + 7 x^{2} + 8 x + 2$ , perhatikan bahwa konstanta pada $p (x)$ ialah 2 sedangkan koefisien utamanya ialah 1, sehingga berdasarkan teorema akar rasional, terdapat 4 kandidat akar rasional dari $p (x)$ , yaitu $\pm 1$ dan $\pm 2$ . Setelah melalui proses coba-coba, maka diperoleh $- 1$ sebagai akar dari polinomial $p (x)$ : $p (- 1) = (- 1)^{3} + 7 (- 1)^{2} + 8 (- 1) + 2 = - 1 + 7 - 8 + 2 = 0$ Akibatnya, $(x - (- 1))$ (atau $(x + 1)$ ) merupakan faktor dari $p (x)$ . Dengan membagi $p (x)$ oleh $(x - 1)$ , maka diperoleh polinomial $x^{2} + 6 x + 2$ , sehingga dapat disimpulkan bahwa $p (x) = (x^{2} + 6 x + 2) (x + 1)$

Faktor kuadrat dari $p (x)$ dapat difaktorkan lebih lanjut dengan menggunakan rumus kuadrat, yang menghasilkan akar-akar kuadrat $- 3 \pm \sqrt{7}$ . Dengan demikian, tiga faktor linier dari $p (x)$ ialah $x + 1$ , $x - (- 3 + \sqrt{7})$ , dan $x - (- 3 - \sqrt{7})$ .

Bukti

Terdapat beberapa cara untuk membuktikan teorema faktor.

Jika $x - a$ merupakan faktor dari $f (x)$ , maka jelas bahwa $f (a) = 0$ , sehingga semua pembuktian berikut akan membahas bagian kedua dari teorema faktor.

Bukti 1

Pertama, akan ditunjukkan bahwa teorema faktor berlaku untuk kasus $a = 0$ . Dengan kata lain, akan ditunjukkan bahwa untuk setiap polinomial $f (x)$ dengan $f (0) = 0$ , maka terdapat suatu polinomial $g (x)$ sedemikian sehingga $f (x) = x \cdot g (x)$ . Diketahui bahwa $f (x)$ adalah suatu polinomial, maka $f$ memiliki bentuk umum $f (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + \dots + c_{n} x^{n}$ Berdasarkan bentuk umum tersebut, perhatikan bahwa $f (0) = c_{0}$ . Oleh karena $f (0) = 0$ , maka diperoleh $c_{0} = 0$ . Akibatnya, diperoleh $\begin{matrix} f (x) & = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + \dots + c_{n} x^{n} \\ = c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + \dots + c_{n} x^{n} \\ = x (c_{1} + c_{2} x + c_{3} x^{2} + \dots + c_{n} x^{n - 1}) \end{matrix}$ sehingga dengan memilih $g (x)$ sebagai polinomial $c_{1} + c_{2} x + c_{3} x^{2} + \dots + c_{n} x^{n - 1}$ , maka teorema faktor untuk kasus $a = 0$ terbukti benar.

Selanjutnya, akan dibuktikan teorema faktor untuk sembarang nilai $a$ dengan memanfaatkan kebenaran kasus $a = 0$ . Diketahui bahwa $f (x)$ adalah suatu polinomial dengan $f (a) = 0$ . Perhatikan bahwa polinomial $f (x + a)$ memiliki akar di $x = 0$ . Berdasarkan kasus sebelumnya, maka terdapat suatu polinomial $h (x)$ sedemikian sehingga $f (x + a) = x \cdot h (x)$ . Akibatnya, $f (x) = f ((x - a) + a) = (x - a) \cdot h (x - a)$ Dengan kata lain, terbukti bahwa $(x - a)$ merupakan faktor dari $f (x)$ .

Bukti 2

Jika $R$ adalah gelanggang komutatif, maka untuk sembarang $k \in ℕ$ dan untuk setiap $x$ , $y \in R$ , berlaku identitas $x^{k} - y^{k} = (x - y) (x^{k - 1} + x^{k - 2} y + x^{k - 3} y^{2} + \dots + x^{2} y^{k - 3} + x y^{k - 2} + y^{k - 1})$ Hal ini dapat dibuktikan dengan menjabarkan ruas kanan dari persamaan tersebut.

Diambil sembarang gelanggang komutatif $R$ dan sembarang polinomial $f (x) \in R [x]$ . Oleh karena $f (x)$ adalah polinomial, maka $f (x)$ dapat dinyatakan sebagai $f (x) = c_{0} + c_{1} x + c_{2} x^{2} + c_{3} x^{3} + \dots + c_{n} x^{n}$ Diketahui bahwa $f (a) = 0$ . Akibatnya, didapatkan

$\begin{matrix} f (x) & = & c_{0} & + & c_{1} x & + & c_{2} x^{2} & + & c_{3} x^{3} & + & \dots & + & c_{n} x^{n} \\ f (a) & = & c_{0} & + & c_{1} a & + & c_{2} a^{2} & + & c_{3} a^{3} & + & \dots & + & c_{n} a^{n} & - \\ f (x) - f (a) & = & 0 & + & c_{1} (x - a) & + & c_{2} (x^{2} - a^{2}) & + & c_{3} (x^{3} - a^{3}) & + & \dots & + & c_{n} (x^{n} - a^{n}) \end{matrix}$

Dengan menggunakan notasi Sigma serta identitas $x^{k} - y^{k}$ yang telah dibahas sebelumnya, maka

$\begin{matrix} f (x) - f (a) & = \sum_{k = 1}^{n} c_{n} (x^{k} - a^{k}) \\ f (x) & = \sum_{k = 1}^{n} c_{n} (x - a) (x^{k - 1} + x^{k - 2} a + x^{k - 3} a^{2} + \dots + x^{2} a^{k - 3} + x a^{k - 2} + a^{k - 1}) \\ = (x - a) \cdot \sum_{k = 1}^{n} c_{n} (x^{k - 1} + x^{k - 2} a + x^{k - 3} a^{2} + \dots + x^{2} a^{k - 3} + x a^{k - 2} + a^{k - 1}) \end{matrix}$

sehingga terbukti bahwa $(x - a)$ merupakan faktor dari $f (x)$ .

Bukti 3

Diberikan suatu polinomial $F (x)$ sedemikian sehingga $F (a) = 0$ . Berdasarkan teorema pembagian polinomial, maka terdapat suatu polinomial $H (x)$ dan $S (x)$ sedemikian sehingga $F (x) = (x - a) \cdot H (x) + S (x)$ dengan $\deg (S) < \deg (x - a)$ . Oleh karena $\deg (x - a) = 1$ , maka $S$ merupakan suatu fungsi konstan. Dengan menyubstitusikan $x = a$ ke persamaan di atas, perhatikan bahwa $F (a) = S (a)$ . Diketahui bahwa $F (a) = 0$ dan $S$ merupakan suatu fungsi konstan, maka didapatkan $S (x) = 0$ untuk setiap nilai $x$ . Akibatnya, $F (x) = (x - a) \cdot H (x)$

Pembagian bersisa di atas dapat dilakukan pada setiap gelanggang komutatif, sebab $(x - a)$ merupakan polinomial monik, sehingga proses pembagian bersusun polinomialnya tidak melibatkan operasi pembagian pada koefisien-koefisien polinomialnya.

Referensi

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29220983 (2026-05-12T20:13:42Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.