Logaritma kompleks

Pada matematika, logaritma kompleks adalah generalisasi dari logaritma alami dari bilangan kompleks tak nol. Istilah ini merujuk pada salah satu dari penjelasan berikut, yang saling berhubungan:

• Logaritma kompleks dari bilangan kompleks tak nol, yang didefinisikan sebagai bilangan kompleks , yaitu . Bilangan diberikan oleh . Jika dituliskan dalam bentuk polar , dengan dan adalah bilangan riil dan , maka adalah satu logaritma dari . Seluruh logaritma kompleks dari adalah bilangan dalam bentuk untuk bilangan bulat . Nilai logaritma tersebut berjarak sama sepanjang garis vertikal pada bidang kompleks.
• Fungsi bernilai kompleks didefinisikan pada beberapa subhimpunan dari himpunan dari bilangan kompleks tak nol, menyelesaikan untuk semua pada . Fungsi logaritma kompleks tersebut beranalogi pada fungsi logaritma riil , yaitu fungsi invers dari fungsi eksponensial riil yang maka dapat menyelesaikan untuk seluruh bilangan riil positif . Fungsi logaritma kompleks dapat dibentuk dengan formula eksplisit yang melibatkan fungsi bernilai riil, dengan mengintegralkan , atau dengan proses pengontinuan analitik.

Tidak ada fungsi logaritma kompleks kontinu yang didefinisikan pada seluruh . Cara untuk menyelesaikannya, yaitu dengan percabangan, bidang Riemann terkait, dan invers setengah dari fungsi eksponensial kompleks. Nilai pokok mendefinisikan fungsi logaritma khusus yang kontinu kecuali di sepanjang sumbu riil negatif. Pada bidang kompleks dengan menghilangkan bilangan riil negatif dan 0, ini adalah pengontinuan analitik dari logaritma alami (riil).

Aplikasi

• Logaritma kompleks diperlukan untuk mendefinisikan eksponensiasi yang memiliki bilangan kompleks sebagai bilangan pokoknya. Yaitu, jika dan adalah bilangan kompleks dengan , kita dapat menggunakan nilai pokok untuk mendefinisikan . Operator juga dapat diubah menjadi logaritma lain dari untuk mendapatkan nilai dari , membedakan dari faktor terhadap bentuk . Ekspresi memiliki nilai tunggal jika dan hanya jika adalah bilangan bulat.
• Karena fungsi trigonometri dapat diekspresikan sebagai fungsi rasional dari , fungsi invers trigonometri dapat diekspresikan dalam bentuk logaritma kompleks.
• Di teknik listrik, melibatkan logaritma kompleks.

Generalisasi

Logaritma dengan bilangan pokok yang lain

Seperti bilangan riil, bilangan pokok dan antilogaritma dapat didefinisikan sebagai bilangan kompleks, sebagai berikut:

dengan perbedaan, yaitu nilainya bergantung pada percabangan yang dipilih untuk logaritma yang didefinisikan pada dan (dengan ). Misalnya, menggunakan nilai pokok memberikan:

Logaritma pada fungsi holomorfik

Jika adalah fungsi holomorfik pada subhimpunan dari yang terkoneksi, maka cabang dari pada adalah fungsi kontinu pada sehingga untuk semua di . Fungsi tersebut harus berupa fungsi holomorfik dengan untuk semua di .

Jika adalah subhimpunan terbuka yang terkoneksi sederhana dari , dan adalah fungsi holomorfik yang tidak hilang di mana pun pada , maka cabang dari didefinisikan pada dapat dibangun dengan memilih titik awal pada , memilih logaritma dari , dan mendefinisikan

$g(z)=b+{\int }_a^z\frac{f^{\prime }(w)}{f(w)}dw$

untuk setiap pada .

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29466781 (2026-07-16T19:47:46Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.