Faktorion

Dalam teori bilangan, faktorion pada suatu basis bilangan $b$ adalah bilangan asli yang sama dengan jumlah faktorial dari angka-angkanya. Clifford A. Pickover memperkenalkan istilah faktorion.

Definisi

Katakan $n$ adalah bilangan asli. Untuk basis $b > 1$ , kita tentukan jumlah faktorial dari digit-digit $n$ , ${SFD}_{b} : ℕ \to ℕ$ , sekiranya:

{SFD}_{b} (n) = \sum_{i = 0}^{k - 1} d_{i}! .

Di mana $k = ⌊ \log_{b} n ⌋ + 1$ adalah jumlah digit bilangan pada basis $b$ , $n!$ adalah faktorial dari $n$ dan

d_{i} = \frac{n mod b^{i + 1} - n mod b^{i}}{b^{i}}

adalah nilai dari digit ke- $i$ bilangan tersebut. Bilangan asli $n$ tergolong $b$ - faktorion jika bilangannya menjadi titik tetap untuk ${SFD}_{b}$ , yaitu jika ${SFD}_{b} (n) = n$ . $1$ dan $2$ adalah titik tetap untuk seluruh basis $b$ , dan dengan demikian merupakan faktor trivial untuk setiap $b$ , dan keseluruhan faktor lainnya adalah faktor nontrivial .

Contoh: 145 pada basis $b = 10$ adalah faktorion karena $145 = 1! + 4! + 5!$ .

Untuk $b = 2$ , jumlah faktorial dari digit-digit tersebut hanya karena banyaknya angka $k$ pada basis 2 karena $0! = 1! = 1$ .

Suatu bilangan asli $n$ adalah faktorion sosiabel apabila ia merupakan titik periodik ${SFD}_{b}$ , Di mana ${SFD}_{b}^{k} (n) = n$ untuk bilangan bulat positif $k$ , dan membentuk siklus periode $k$ . Suatu faktor adalah faktor sosiabel dengan nilai $k = 1$ , dan faktor amisabel adalah faktor yang sosiabel dengan nilai $k = 2$ .

Semua bilangan asli $n$ adalah poin praperiodik untuk ${SFD}_{b}$ , apa pun dasarnya sebab semua bilangan asli berbasis $b$ dengan digit-digit $k$ menghasilkan $b^{k - 1} \leq n \leq (b - 1)! (k)$ .Tapi, jika $k \geq b$ , maka $b^{k - 1} > (b - 1)! (k)$ untuk $b > 2$ , jadi apapun $n$ akan menghasilkan $n > {SFD}_{b} (n)$ hingga $n < b^{b}$ . Ada banyak bilangan asli yang kurang dari $b^{b}$ , oleh karena itu bilangan tersebut pasti mencapai titik periodik atau titik tetap kurang dari $b^{b}$ , dan menjadikan ia titik praperiodik. Dan untuk $b = 2$ , jumlah digit $k \leq n$ untuk bilangan apa pun, sekali lagi, menjadikan ia titik praperiodik. Dan ini juga berarti bahwasanya ada beberapa faktor dan siklus yang dibatasi untuk suatu basis $b$ .

${SFD}_{b}^{i} (n)$ perlu jumlah iterasi $i$ untuk mencapai titik tetap ${SFD}_{b}$ fungsi persistensi $n$ , dan tak terdefinisi apabila tidak pernah mencapai titik tetap.

Faktorion

b = ( k − 1)!

Katakan $k$ adalah bilangan bulat positif dan basis bilangan $b = (k - 1)!$ . Oleh sebab itu:

$n_{1} = k b + 1$ adalah faktorion ${SFD}_{b}$ untuk semua $k .$

$n_{2} = k b + 2$ adalah faktorion ${SFD}_{b}$ untuk semua $k$ .

b = k ! − k +1

Katakan $k$ adalah bilangan bulat positif dan basis $b = k! - k + 1$ . Oleh sebab itu:

$n_{1} = b + k$ adalah faktorion ${SFD}_{b}$ untuk semua $k$ .

Tabel faktorion dan siklus

Basis $b$ mewakilkan semua angka.

Referensi

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 25373316 (2024-02-27T09:52:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.