Rumus Vieta

Dalam matematika, rumus Vieta atau teorema Vieta adalah sekumpulan rumus yang menghubungkan antara koefisien pada polinomial dengan hasil penjumlahan dan perkalian dari nilai akar-akarnya. Rumus ini dinamai dari François Viète (yang lebih sering dirujuk dengan nama latinnya, yaitu "Franciscus Vieta").

Rumus dasar

Misalkan $n \in ℕ$ dan $a_{n} \neq 0$ . Menurut teorema dasar aljabar, maka setiap polinomial yang berderajat $n$ dengan koefisien bilangan riil $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + a_{n - 2} x^{n - 2} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ dapat dinyatakan sebagai $P (x) = a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) (x - x_{3}) \dots (x - x_{n})$ dengan $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ merupakan bilangan-bilangan kompleks yang tidak harus berbeda. Rumus-rumus Vieta menghubungkan koefisien polinomial dengan jumlahan dari hasil kali akar $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ sebagai berikut: $\begin{matrix} - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} & = x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n - 1} + x_{n} \\ \frac{a_{n - 2}}{a_{n}} & = x_{1} x_{2} + x_{1} x_{3} + \dots + x_{1} x_{n} \\ + x_{2} x_{3} + x_{2} x_{4} + \dots + x_{2} x_{n} + \dots + x_{n - 1} x_{n} \\ ⋮ \\ {(- 1)}^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} & = x_{1} x_{2} x_{3} \cdot \dots \cdot x_{n} \end{matrix}$ Dengan menggunakan notasi Sigma dan notasi Pi kapital, maka rumus-rumus Vieta dapat juga ditulis sebagai $\begin{matrix} - \frac{a_{n - 1}}{a_{n}} & = \sum_{i = 1}^{n} x_{i} \\ \frac{a_{n - 2}}{a_{n}} & = \sum_{1 \leq i < j \leq n} x_{i} x_{j} \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} \leq n} (\prod_{j = 1}^{2} x_{i_{j}}) \\ - \frac{a_{n - 3}}{a_{n}} & = \sum_{1 \leq i < j < k \leq n} x_{i} x_{j} x_{k} \\ = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < i_{3} \leq n} (\prod_{j = 1}^{3} x_{i_{j}}) \\ ⋮ \\ {(- 1)}^{k} \frac{a_{n - k}}{a_{n}} & = \sum_{1 \leq i_{1} < i_{2} < \dots < i_{k} \leq n} (\prod_{j = 1}^{k} x_{i_{j}}) \\ ⋮ \\ {(- 1)}^{n} \frac{a_{0}}{a_{n}} & = \prod_{j = 1}^{n} x_{j} \end{matrix}$ Perhatikan bahwa $i_{1}$ sampai dengan $i_{k}$ diurutkan dengan urutan naik agar menjamin setiap hasil kali dari $k$ akar digunakan tepat satu kali.

Ruas kanan dari rumus Vieta disebut sebagai polinomial simetri elementer dalam $n$ variabel.

Perumuman gelanggang

Rumus Vieta sering digunakan pada polinomial dengan koefisien pada suatu ranah integral $R$ . Maka, hasil bagi $\frac{a_{i}}{a_{n}}$ akan termuat pada lapangan pecahan dari $R$ (dan mungkin saja pada $R$ itu sendiri, jika $a_{n}$ merupakan elemen unit pada $R$ ) dan akarnya $x_{i}$ diambil pada perluasan lapangan yang tertutup secara aljabar. Biasanya, $R$ merupakan gelanggang bilangan bulat, lapangan pecahannya merupakan lapangan bilangan rasional, dan lapangan yang ditutup secara aljabarnya merupakan lapangan bilangan kompleks.

Rumus-rumus Vieta sangatlah berguna, sebab rumus-rumus tersebut memberikan hubungan antar akar-akar dari suatu polinomial tanpa harus mencari nilai akar-akarnya.

Untuk polinomial atas gelanggang komutatif yang bukan merupakan ranah integral, rumus Vieta hanya berlaku ketika $a_{n}$ bukan merupakan pembagi nol dan $P (x)$ dapat difaktorkan menjadi $a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) \cdot \dots \cdot (x - x_{n})$ . Sebagai contoh, fungsi kuadrat $P (x) = x^{2} - 1$ memiliki empat akar dalam gelanggang bilangan bulat modulo 8, yaitu 1, 3, 5, dan 7. Rumus-rumus Vieta akan bernilai salah jika dipilih $x_{1} = 1$ dan $x_{2} = 3$ , sebab $P (x) \neq (x - 1) (x - 3)$ . Akan tetapi, $P (x)$ dapat difaktorkan menjadi $(x - 1) (x - 7)$ atau $(x - 3) (x - 5)$ , dan rumus-rumus Vieta akan berlaku apabila dipilih $[\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 1 \\ 7 \end{matrix}]$ atau $[\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 3 \\ 5 \end{matrix}]$ .

Contoh

Rumus Vieta saat diterapkan pada polinomial kuadrat dan kubik:

Akar-akar $x_{1}$ dan $x_{2}$ dari polinomial kuadrat $P (x) = a x^{2} + b x + c$ akan memenuhi persamaan $\begin{matrix} x_{1} + x_{2} & = - \frac{b}{a} \\ x_{1} x_{2} & = \frac{c}{a} \end{matrix}$

Persamaan pertama dapat digunakan untuk mencari nilai minimum (atau maksimum) dari fungsi $P$ ; lihat .

Akar-akar $x_{1}$ , $x_{2}$ dan $x_{3}$ dari polinomial kubik $P (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ akan memenuhi persamaan $\begin{matrix} r_{1} + r_{2} + r_{3} & = - \frac{b}{a} \\ r_{1} r_{2} + r_{1} r_{3} + r_{2} r_{3} & = \frac{c}{a} \\ r_{1} r_{2} r_{3} & = - \frac{d}{a} \end{matrix}$

Bukti

Bukti langsung

Menurut teorema dasar aljabar, jika $x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}$ merupakan akar-akar dari polinomial $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ maka $P (x)$ dapat dinyatakan sebagai $P (x) = a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) \cdot \dots \cdot (x - x_{n})$ Akibatnya, diperoleh persamaan $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = a_{n} (x - x_{1}) (x - x_{2}) \cdot \dots \cdot (x - x_{n})$ Rumus Vieta dapat dibuktikan dengan menjabarkan ekspresi di ruas kanan, dan membandingkan koefisien dari masing-masing pangkat dari $x$ .

Secara formal, jika ekspresi $(x - x_{1}) (x - x_{2}) \cdot \dots \cdot (x - x_{n})$ dijabarkan, maka terdapat tepat $n$ pilihan biner pada setiap suku (ikutkan $x$ atau $- x_{i}$ ). Jika $k$ pilihan digunakan untuk memilih $x$ sebagai faktor pada suku hasil penjabarannya, maka sisa $n - k$ faktor lainnya haruslah $- x_{i}$ . Akibatnya, suku yang diperoleh memiliki bentuk umum ${(- 1)}^{n - k} {(x_{1})}^{b_{1}} {(x_{2})}^{b_{2}} \cdot \dots \cdot {(r_{n})}^{b_{n}} x^{k}$ , dengan $b_{i}$ bernilai 0 atau 1, tergantung apakah $r_{i}$ menjadi bagian dari hasil kali atau tidak. Secara geometris, hal ini dapat diartikan sebagai simpul dari suatu hiperkubus. Pengelompokkan suku-suku yang sama berdasarkan derajat $x$ nya akan menghasilkan polinomial simetris elementer dalam $x_{i}$ .

Induksi matematika

Rumus-rumus Vieta juga dapat dibuktikan menggunakan induksi sebagai berikut.

Hipotesis

Misalkan

$P (x)$ adalah polinomial berderajat $n$
$P (x)$ memiliki akar-akar kompleks ${x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}}$
$P (x)$ memiliki koefisien kompleks ${a_{0}, a_{1}, a_{2}, \dots, a_{n}}$ , dengan $a_{n} \neq 0$

maka $P (x) = a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = a_{n} (x^{n} - (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) x^{n - 1} + \dots + {(- 1)}^{n} x_{1} x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n})$

Kasus dasar (n = 2)

Menurut teorema dasar aljabar, maka diperoleh persamaan $a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} = a_{2} (x - x_{1}) (x - x_{2})$ Dengan menggunakan sifat distributif, diperoleh $\begin{matrix} a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0} & = a_{2} (x - x_{1}) (x - x_{2}) \\ = a_{2} (x - x_{1} x - x_{2} x + x_{1} x_{2}) \\ = a_{2} (x - (x_{1} + x_{2}) x + x_{1} x_{2}) \end{matrix}$ sehingga kasus dasar terbukti.

Langkah induksi

Diasumsikan hipotesisnya bernilai benar untuk suatu nilai $n = k$ , dengan $k \geq 2$ . Akan diperiksa kebenaran hipotesis untuk $n = k + 1$ . $P (x) = a_{n + 1} x^{n + 1} + a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0}$ Berdasarkan teorema faktor, maka $(x - x_{n + 1})$ dapat difaktorkan dari $P (x)$ , dengan sisa bagi 0. Hal ini mengakibatkan $\begin{matrix} P (x) & = a_{n + 1} x^{n + 1} + a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} \\ = a_{n + 1} (x^{n + 1} + \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} x^{n} + \frac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \dots + \frac{a_{1}}{a_{n + 1}} x + \frac{a_{0}}{a_{n + 1}}) \\ = a_{n + 1} (x - x_{n + 1}) \cdot \frac{x^{n + 1} + \frac{a_{n}}{a_{n + 1}} x^{n} + \frac{a_{n - 1}}{a_{n + 1}} x^{n - 1} + \dots + \frac{a_{1}}{a_{n + 1}} x + \frac{a_{0}}{a_{n + 1}}}{x - x_{n + 1}} \\ = a_{n + 1} (x - x_{n + 1}) (x^{n} + c_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + c_{1} x + c_{0}) \\ = a_{n + 1} (x - x_{n + 1}) (x^{n} - (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) x^{n - 1} + \dots + {(- 1)}^{n} x_{1} x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n}) \\ = a_{n + 1} (x (x^{n} - (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) x^{n - 1} + \dots + {(- 1)}^{n} x_{1} x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n}) \\ - x_{n + 1} (x^{n} - (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) x^{n - 1} + \dots + {(- 1)}^{n} x_{1} x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n})) \\ = a_{n + 1} (x^{n + 1} - (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} + x_{n + 1}) x^{n} + \dots + {(- 1)}^{n + 1} x_{1} x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n} x_{n + 1}) \end{matrix}$

Kesimpulan

Oleh karena hipotesisnya bernilai benar untuk kasus $n = k + 1$ , maka hipotesisnya bernilai benar untuk sembarang $n \in ℕ ∖ {1}$ . $a_{n} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_{1} x + a_{0} = a_{n} (x^{n} - (x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}) x^{n - 1} + \dots + {(- 1)}^{n} x_{1} x_{2} \cdot \dots \cdot x_{n})$ Dengan membagi kedua ruas dengan $x_{n}$ , maka kebenaran rumus-rumus Vieta terbukti.

Sejarah

Sesuai dengan namanya, rumus-rumus ini ditemukan oleh matematikawan asal Prancis abad ke-16 François Viète, untuk kasus akar positif.

Menurut pendapat matematikawan asal Inggris abad ke-18 Charles Hutton, seperti yang dikutip oleh Funkhouser, prinsip utama (tidak hanya untuk akar riil positif) pertama kali dipahami oleh matematikawan Prancis abad ke-17 Albert Girard:

...[Girard ialah] orang pertama yang memahami doktrin umum dari pembentukan koefisien pangkat dari jumlahan akar-akar beserta hasil kalinya. Dia adalah orang pertama yang menemukan aturan untuk menjumlahan perpangkatan akar-akar dari sembarang persamaan.

Lihat juga

Referensi

Pranala luar

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 26187406 (2024-08-19T06:53:11Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.