Himpunan lonjong

Dalam matematika, himpunan lonjong ^[1]^[2] (disebut pula himpunan basis^[3] atau himpunan berakar^[4] ) adalah pasangan terurut $(X, x_{0})$ di mana $X$ adalah satu himpunan dan $x_{0}$ adalah elemen dari $X$ disebut titik dasar,^[5] dieja sebagai titikdasar.^[6]

Peta antara himpunan lonjong $(X, x_{0})$ dan $(Y, y_{0})$ (disebut sebagai peta basis,^[7] peta lonjong,^[8] atau peta preserving titik^[9]) adalah fungsi dari $X$ untuk $Y$ dengan memetakan satu titik dasar ke titik lainnya, yaitu peta $f : X \to Y$ dengan $f (x_{0}) = y_{0}$ . Dilambangkan dengan

f : (X, x_{0}) \to (Y, y_{0})

.

Himpunan lonjong adalah struktur aljabar sederhana. Dalam pengertian aljabar universal, himpunan lonjong adalah himpunan $X$ dengan satu operasi nullari $* : X^{0} \to X,$ memiliki titik dasar.^[10] Peta lonjong adalah homomorfisme dari struktur aljabar.

Kelas dari semua himpunan lonjong dengan kelas dari semua peta berbasis membentuk sebuah kategori. Dalam kategori ini hmpunan singleton lonjong $({a}, a)$ adalah objek awal dan objek terminal,^[11] yaitu objek nol.^[12] Terdapat funktor setia dari himpunan menunjuk ke himpunan biasa, tetapi tidak lengkap dan kategori ini tidak ekuivalen.^[13] Secara khusus, himpunan kosong bukanlah himpunan lonjong karena tidak memiliki elemen yang dapat dipilih sebagai titik dasar.^[14]

Kategori himpunan lonjong dan peta rbasis ekuivalen dengan kategori himpunan dan fungsi parsial.^[15] Satu buku teks mencatat bahwa "Penyelesaian formal himpunan dan peta parsial dengan menambahkan 'tidak tepat', elemen 'tak hingga' diciptakan kembali berkali-kali, khususnya, dalam topologi (kompalikasi satu titik) dan dalam ilmu komputer teoretis."^[16]

Kategori himpunan lonjong dan peta lonjong isomorfik dengan kategori coslice $𝟏 ↓ 𝐇 𝐢 𝐦 𝐩 𝐮 𝐧 𝐚 𝐧$ , di mana $𝟏$ adalah satu set tunggal.^[17]^[18] Bertepatan dengan karakterisasi aljabar, karena peta unik $𝟏 \to 𝟏$ memperluas segitiga komutatif yang mendefinisikan panah dari kategori coslice untuk membentuk kotak komutatif dengan mendefinisikan homomorfisme aljabar.

Kategori himpunan lonjong dan peta lonjong memiliki kedua produk dan koproduk, tapi itu bukan kategori distributif. Merupakan contoh kategori di mana $0 \times A$ tidak isomorfik untuk $0$ .^[19]

Banyak struktur aljabar merupakan himpunan lonjong dengan cara trivial. Misalnya, grup adalah himpunan lonjong dengan elemen identitas sebagai titik dasar, sehingga grup homomorfisme merupakan peta yang mempertahankan titik.^[20] Pengamatan ini dapat dinyatakan kembali dalam istilah teoretis kategori sebagai keberadaan fungsi fogertful dari grup ke himpunan lonjong.^[21]

Himpunan lonjong dapat dilihat sebagai ruang lonjong bawah topologi diskrit atau sebagai ruang vektor atas bidang dengan satu elemen.^[22]

Sebagai "himpunan akar", gagasan tersebut secara alami muncul dalam studi antimatroid^[23] dan politopes transportasi.^[24]

Lihat pula

Pranala luar

Kemunduran dalam Kategori Himpunan dan Fungsi Parsial
Objek lonjong

Referensi

↑ Mac Lane (1998) p.26
↑ Grégory Berhuy. An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications. Cambridge University Press. 2010. Vol. 377. hlm. 34. ISBN 0-521-73866-0.
↑ Mac Lane (1998) p.26
↑ Bernhard Korte. Greedoids. Springer-Verlag. 1991. Vol. 4. ISBN 3-540-18190-3.
↑ Grégory Berhuy. An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications. Cambridge University Press. 2010. Vol. 377. hlm. 34. ISBN 0-521-73866-0.
↑ Joseph Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-0-387-68324-9.
↑ C. R. F. Maunder. Algebraic Topology. Dover. 1996. hlm. 31..
↑ Joseph Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-0-387-68324-9.
↑ Lutz Schröder. Categorical Perspectives. Springer Science & Business Media. 2001. hlm. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.
↑ Saunders Mac Lane. Algebra. American Mathematical Soc. 1999. hlm. 497. ISBN 978-0-8218-1646-2.
↑ Mac Lane (1998) p.26
↑ Joseph Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-0-387-68324-9.
↑ J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 January 2005) Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
↑ F. W. Lawvere. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press. 2009. hlm. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.
↑ Lutz Schröder. Categorical Perspectives. Springer Science & Business Media. 2001. hlm. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.
↑ Neal Koblitz. A Course in Mathematical Logic for Mathematicians. Springer Science & Business Media. 2009. hlm. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.
↑ J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 January 2005) Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats
↑ Francis Borceux. Mal'cev, Protomodular, Homological and Semi-Abelian Categories. Springer Science & Business Media. 2004. hlm. 131. ISBN 978-1-4020-1961-6.
↑ F. W. Lawvere. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press. 2009. hlm. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.
↑ Paolo Aluffi. Algebra: Chapter 0. American Mathematical Soc. 2009. ISBN 978-0-8218-4781-7.
↑ Paolo Aluffi. Algebra: Chapter 0. American Mathematical Soc. 2009. ISBN 978-0-8218-4781-7.
↑ M. J. Shai Haran. Non-additive geometry. Compositio Mathematica. 2007. Vol. 143. hlm. 618–688.. On p. 622, Haran writes "We consider \mathbb{F} -vector spaces as finite sets X with a distinguished 'zero' element..."
↑ Bernhard Korte. Greedoids. Springer-Verlag. 1991. Vol. 4. ISBN 3-540-18190-3.
↑ V. Klee. Mathematics of the Decision Sciences. Part 1. American Mathematical Soc. 1970.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29301986 (2026-06-01T07:09:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Mac Lane (1998) p.26

[2] Grégory Berhuy. An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications. Cambridge University Press. 2010. Vol. 377. hlm. 34. ISBN 0-521-73866-0.

[3] Mac Lane (1998) p.26

[4] Bernhard Korte. Greedoids. Springer-Verlag. 1991. Vol. 4. ISBN 3-540-18190-3.

[5] Grégory Berhuy. An Introduction to Galois Cohomology and Its Applications. Cambridge University Press. 2010. Vol. 377. hlm. 34. ISBN 0-521-73866-0.

[6] Joseph Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-0-387-68324-9.

[7] C. R. F. Maunder. Algebraic Topology. Dover. 1996. hlm. 31..

[8] Joseph Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-0-387-68324-9.

[9] Lutz Schröder. Categorical Perspectives. Springer Science & Business Media. 2001. hlm. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

[10] Saunders Mac Lane. Algebra. American Mathematical Soc. 1999. hlm. 497. ISBN 978-0-8218-1646-2.

[11] Mac Lane (1998) p.26

[12] Joseph Rotman. An Introduction to Homological Algebra. Springer Science & Business Media. 2008. ISBN 978-0-387-68324-9.

[13] J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 January 2005) Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats

[14] F. W. Lawvere. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press. 2009. hlm. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.

[15] Lutz Schröder. Categorical Perspectives. Springer Science & Business Media. 2001. hlm. 10. ISBN 978-0-8176-4186-3.

[16] Neal Koblitz. A Course in Mathematical Logic for Mathematicians. Springer Science & Business Media. 2009. hlm. 290. ISBN 978-1-4419-0615-1.

[17] J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, (18 January 2005) Abstract and Concrete Categories-The Joy of Cats

[18] Francis Borceux. Mal'cev, Protomodular, Homological and Semi-Abelian Categories. Springer Science & Business Media. 2004. hlm. 131. ISBN 978-1-4020-1961-6.

[19] F. W. Lawvere. Conceptual Mathematics: A First Introduction to Categories. Cambridge University Press. 2009. hlm. 296–298. ISBN 978-0-521-89485-2.

[20] Paolo Aluffi. Algebra: Chapter 0. American Mathematical Soc. 2009. ISBN 978-0-8218-4781-7.

[21] Paolo Aluffi. Algebra: Chapter 0. American Mathematical Soc. 2009. ISBN 978-0-8218-4781-7.

[22] M. J. Shai Haran. Non-additive geometry. Compositio Mathematica. 2007. Vol. 143. hlm. 618–688.. On p. 622, Haran writes "We consider \mathbb{F} -vector spaces as finite sets X with a distinguished 'zero' element..."

[23] Bernhard Korte. Greedoids. Springer-Verlag. 1991. Vol. 4. ISBN 3-540-18190-3.

[24] V. Klee. Mathematics of the Decision Sciences. Part 1. American Mathematical Soc. 1970.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]