Teorema Bohr–van Leeuwen

Teorema Bohr–van Leeuwen menyatakan bahwa ketika mekanika statistik dan mekanika klasik diterapkan secara konsisten, rata-rata termal dari magnetisasi akan selalu bernilai nol. Hal ini menjadikan magnetisme pada zat padat murni sebagai efek mekanika kuantum, yang berarti bahwa fisika klasik tidak dapat menjelaskan paramagnetisme, diamagnetisme, dan ferromagnetisme. Ketidakmampuan fisika klasik untuk menjelaskan triboelektrisitas juga berakar dari teorema Bohr–van Leeuwen.

Sejarah

Apa yang saat ini dikenal sebagai teorema Bohr–van Leeuwen ditemukan oleh Niels Bohr pada tahun 1911 dalam disertasi doktornya dan kemudian ditemukan kembali oleh Hendrika Johanna van Leeuwen dalam tesis doktornya pada tahun 1919. Pada tahun 1932, J. H. Van Vleck memformalkan dan memperluas teorema awal Bohr tersebut dalam sebuah buku yang ditulisnya mengenai suseptibilitas listrik dan magnetik. Ia menyebut hasil tersebut sebagai "teorema Nona van Leeuwen", meskipun ia juga mengakui bahwa Bohr telah memperoleh banyak hasil yang sama dengan Van Leeuwen sebelum dirinya sendiri.

Signifikansi dari penemuan ini adalah bahwa fisika klasik tidak memungkinkan hal-hal seperti paramagnetisme, diamagnetisme, dan ferromagnetisme, sehingga fisika kuantum diperlukan untuk menjelaskan peristiwa magnetik tersebut. Hasil ini, "mungkin publikasi paling deflasioner sepanjang masa," mungkin telah berkontribusi pada pengembangan teori kuasi-klasik atom hidrogen oleh Bohr pada tahun 1913.

Kasus paramagnetisme klasik

Fungsi Langevin sering kali dipandang sebagai teori klasik paramagnetisme, sedangkan fungsi Brillouin merupakan teori kuantum paramagnetisme. Langevin menerbitkan teori paramagnetisme pada tahun 1905 sebelum diadopsinya fisika kuantum, yang berarti bahwa Langevin hanya menggunakan konsep-konsep fisika klasik.

Meskipun demikian, Niels Bohr menunjukkan dalam tesisnya bahwa mekanika statistik klasik tidak dapat digunakan untuk menjelaskan paramagnetisme dan teori kuantum harus digunakan (dalam hal yang kelak menjadi teorema Bohr–van Leeuwen). Hal ini kelak mengarah pada penjelasan magnetisasi yang didasarkan pada teori kuantum, seperti fungsi Brillouin yang menggunakan Magneton Bohr ( $μ_{B}$ ) dan menganggap energi suatu sistem bukanlah variabel kontinu.

Terdapat perbedaan dalam pendekatan Langevin dan Bohr karena Langevin mengasumsikan polarisasi magnetik $μ$ sebagai dasar penurunan rumus, sedangkan Bohr memulai penurunan tersebut dari gerakan elektron dan model atom (Langevin masih mengasumsikan momen dipol magnetik yang terkuantisasi dan tetap). Hal ini diungkapkan oleh J. H. Van Vleck: "Ketika Langevin mengasumsikan bahwa momen magnetik atom atau molekul memiliki nilai tetap $μ$ , ia sedang menguantisasi sistem tersebut tanpa menyadarinya." Hal ini membuat fungsi Langevin berada di perbatasan antara mekanika statistik klasik dan teori kuantum (baik sebagai semi-klasik maupun semi-kuantum).

Pembuktian

Pembuktian intuitif

Teorema Bohr–van Leeuwen berlaku untuk sistem terisolasi yang tidak dapat berputar. Jika sistem terisolasi tersebut diizinkan berputar sebagai respons terhadap medan magnet yang diterapkan dari luar, teorema ini tidak berlaku. Selain itu, jika hanya ada satu keadaan kesetimbangan termal pada suhu dan medan tertentu, serta sistem diberi waktu untuk kembali ke keadaan setimbang setelah medan diterapkan, magnetisasi tidak akan terjadi.

Probabilitas bahwa sistem akan berada dalam keadaan gerak tertentu diprediksi oleh statistik Maxwell–Boltzmann berbanding lurus dengan $\exp (- U / k_{B} T)$ , dengan $U$ adalah energi sistem, $k_{B}$ adalah konstanta Boltzmann, dan $T$ adalah suhu mutlak. Energi ini sama dengan jumlah dari energi kinetik ( $m v^{2} / 2$ untuk partikel bermassa $m$ dan kelajuan $v$ ) dan energi potensial.

Medan magnet tidak berkontribusi pada energi potensial. Gaya Lorentz pada partikel dengan muatan $q$ dan kecepatan $𝐯$ adalah

𝐅 = q (𝐄 + 𝐯 \times 𝐁),

dengan $𝐄$ adalah medan listrik dan $𝐁$ adalah rapat fluks magnetik. Laju usaha yang dilakukan adalah $𝐅 \cdot 𝐯 = q 𝐄 \cdot 𝐯$ dan tidak bergantung pada $𝐁$ . Oleh karena itu, energi tidak bergantung pada medan magnet, sehingga distribusi gerak juga tidak bergantung pada medan magnet.

Dalam kondisi tanpa medan magnet, tidak akan ada gerak neto dari partikel bermuatan karena sistem tidak dapat berputar. Oleh karena itu, momen magnetik rata-ratanya akan bernilai nol. Karena distribusi gerak tidak bergantung pada medan magnet, momen dalam kesetimbangan termal akan tetap bernilai nol dalam medan magnet apa pun.

Pembuktian yang lebih formal

Untuk mengurangi kerumitan pembuktian, suatu sistem dengan $N$ elektron akan digunakan.

Hal ini tepat karena sebagian besar magnetisme pada zat padat dibawa oleh elektron, dan pembuktian ini dapat digeneralisasi dengan mudah untuk lebih dari satu jenis partikel bermuatan.

Setiap elektron memiliki muatan negatif $e$ dan massa $m_{e}$ .

Jika posisinya adalah $𝐫$ dan kecepatannya adalah $𝐯$ , elektron tersebut menghasilkan arus $𝐣 = e 𝐯$ dan sebuah momen magnetik

𝝁 = \frac{1}{2 c} 𝐫 \times 𝐣 = \frac{e}{2 c} 𝐫 \times 𝐯 .

Persamaan di atas menunjukkan bahwa momen magnetik merupakan fungsi linear dari koordinat kecepatan, sehingga total momen magnetik dalam arah tertentu harus berupa fungsi linear berbentuk

μ = \sum_{i = 1}^{N} 𝐚_{i} \cdot {\dot{𝐫}}_{i},

dengan tanda titik mewakili turunan terhadap waktu dan $𝐚_{i}$ adalah koefisien vektor yang bergantung pada koordinat posisi ${𝐫_{i}, i = 1 \dots N}$ .

Statistik Maxwell–Boltzmann memberikan probabilitas bahwa partikel ke-n memiliki momentum $𝐩_{n}$ dan koordinat $𝐫_{n}$ sebagai berikut:

d P \propto \exp [- \frac{ℋ (𝐩_{1}, \dots, 𝐩_{N}; 𝐫_{1}, \dots, 𝐫_{N})}{k_{B} T}] d 𝐩_{1}, \dots, d 𝐩_{N} d 𝐫_{1}, \dots, d 𝐫_{N},

dengan $ℋ$ adalah Hamiltonian, yaitu energi total dari sistem.

Rata-rata termal dari fungsi $f (𝐩_{1}, \dots, 𝐩_{N}; 𝐫_{1}, \dots, 𝐫_{N})$ apa pun dari koordinat tergeneralisasi ini adalah

⟨ f ⟩ = \frac{\int f d P}{\int d P} .

Dengan keberadaan medan magnet,

ℋ = \frac{1}{2 m_{e}} \sum_{i = 1}^{N} {(𝐩_{i} - \frac{e}{c} 𝐀_{i})}^{2} + e ϕ (𝐪),

dengan $𝐀_{i}$ adalah potensial vektor magnetik dan $ϕ (𝐪)$ adalah potensial skalar listrik.

Untuk setiap partikel, komponen dari momentum $𝐩_{i}$ dan posisi $𝐫_{i}$ dihubungkan oleh persamaan Mekanika Hamiltonian:

\begin{matrix} {\dot{𝐩}}_{i} & = - \partial ℋ / \partial 𝐫_{i} \\ {\dot{𝐫}}_{i} & = \partial ℋ / \partial 𝐩_{i} . \end{matrix}

Oleh karena itu,

{\dot{𝐫}}_{i} \propto 𝐩_{i} - \frac{e}{c} 𝐀_{i},

sehingga momen $μ$ merupakan fungsi linear dari koordinat momentum $𝐩_{i}$ .

Momen rata-rata termal,

⟨ μ ⟩ = \frac{\int μ d P}{\int d P},

merupakan jumlah dari suku-suku yang sebanding dengan integral berbentuk

\int_{- \infty}^{\infty} (𝐩_{i} - \frac{e}{c} 𝐀_{i}) d P,

dengan $p$ mewakili salah satu koordinat momentum.

Integrannya merupakan fungsi ganjil dari $p$ , sehingga nilainya lenyap.

Oleh karena itu, $⟨ μ ⟩ = 0$ .′

Referensi

Pranala luar

The early 20th century: Relativity and quantum mechanics bring understanding at last

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29470800 (2026-07-18T04:11:09Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.