Fungsi Lambert W

Dalam matematika, Fungsi Lambert , juga disebut fungsi omega atau logaritma produk, adalah multinilai fungsi, yaitu cabang dari hubungan terbalik fungsi , dengan adalah salah satu bilangan kompleks dan adalah fungsi eksponensial.

Untuk setiap bilangan bulat ada satu cabang, dilambangkan dengan , yang merupakan fungsi bernilai kompleks dari satu argumen kompleks. dikenal sebagai cabang utama. Fungsi-fungsi ini memiliki properti berikut: jika dan adalah bilangan kompleks, maka

$w{e}^w=z$

memegang jika dan hanya jika

$w=W_k(z)\text{ untuk beberapa bilangan bulat }k.$

Saat berhadapan dengan bilangan real saja, kedua cabang tersebut dan cukup: untuk bilangan real dan persamaan

$y{e}^y=x$

bisa diselesaikan untuk hanya jika ; kita mendapatkan jika dan dua nilai dan jika .

Relasi Lambert tidak bisa diekspresikan dalam istilah fungsi dasar. Ini berguna dalam kombinatorik, misalnya, dalam pencacahan pohon. Ini dapat digunakan untuk menyelesaikan berbagai persamaan yang melibatkan eksponensial (misalnya maksimum dari Planck, Bose–Einstein, dan Distribusi Fermi-Dirac) dan juga terjadi dalam larutan penundaan diferensial, seperti . Dalam biokimia, dan khususnya kinetika enzim, solusi bentuk terbuka untuk analisis kinetika waktu-kursus dari kinetika Michaelis–Menten dijelaskan dalam istilah fungsi Lambert .

Istilah

Fungsi Lambert dinamai Johann Heinrich Lambert. Cabang utama dilambangkan dengan di Perpustakaan Digital Fungsi Matematika, dan cabangnya dilambangkan dengan di sana.

Konvensi notasi yang dipilih di sini (dengan dan ) mengikuti referensi kanonis pada fungsi Lambert oleh Corless, Gonnet, Hare, Jeffrey dan Knuth.

Nama "logaritma produk" dapat dipahami sebagai berikut: Karena fungsi invers dari disebut logaritma, masuk akal untuk memanggil fungsi invers dari produk sebagai "logaritma produk". Ini terkait dengan Konstanta Omega, yang sama dengan .

Sejarah

Lambert pertama kali mempertimbangkan Persamaan Transendental Lambert terkait pada 1758, yang mengarah ke artikel oleh Leonhard Euler pada tahun 1783 yang membahas kasus khusus .

Fungsi yang dianggap Lambert adalah

$x=x^m+q.$

Euler mengubah persamaan ini menjadi bentuk

$x^a-x^b=(a-b)c{x}^{a+b}.$

Kedua penulis mendapatkan solusi seri untuk persamaan mereka.

Setelah Euler menyelesaikan persamaan ini, dia mempertimbangkan kasusnya . Mengambil batasan dia menurunkan persamaan

$\ln x=c{x}^a.$

Dia kemudian meletakkan dan memperoleh solusi deret konvergen untuk persamaan yang dihasilkan, mengekspresikan x dalam suku-suku c .

Setelah mengambil turunan sehubungan dengan dan beberapa manipulasi, diperoleh bentuk standar dari fungsi Lambert.

Pada tahun 1993, ketika dilaporkan bahwa fungsi Lambert memberikan solusi yang tepat untuk kuantum-mekanik model fungsi delta sumur Dirac untuk muatan yang sama—masalah mendasar dalam fisika — Tanpa biji dan pengembang sistem aljabar komputer Maple melakukan pencarian perpustakaan dan menemukan bahwa fungsi ini ada di mana-mana.

Contoh lain di mana fungsi ini ditemukan adalah di kinetika Michael–Menten.

Meskipun sudah menjadi pengetahuan cerita rakyat bahwa fungsi Lambert tidak dapat diekspresikan dalam istilah fungsi dasar (Liouvillian), bukti terbitan pertama tidak muncul hingga 2008.

Sifat dasar, cabang dan jangkauan

Ada banyak sekali cabang dari fungsi , dilambangkan dengan , untuk bilangan bulat ; menjadi cabang utama (atau kepala sekolah). didefinisikan untuk semua bilangan kompleks z sementara dengan didefinisikan untuk semua bukan nol z . Kita punya dan untuk semua .

Titik cabang untuk cabang utama ada di , dengan potongan cabang yang meluas ke sepanjang sumbu negatif nyata. Potongan cabang ini memisahkan cabang utama dari dua cabang dan . Di semua cabang dengan , ada titik bercabang di dan sebuah cabang dipotong di sepanjang sumbu nyata negatif.

Fungsi semuanya injektif dan rentangnya terputus-putus. Rentang dari seluruh fungsi multinilai adalah bidang kompleks. Bayangan dari sumbu nyata adalah gabungan dari sumbu nyata dan kuadratrik dari Hippias, kurva parametrik .

Invers

Plot rentang di atas juga menggambarkan daerah dalam bidang kompleks tempat hubungan inbers sederhana ' adalah benar. f=ze^z menyiratkan bahwa ada n seperti itu , di mana n akan bergantung pada nilai z . Nilai bilangan bulat n akan berubah secara tiba-tiba saat ze^z berada di potongan cabang yang berarti itu , kecuali untuk di mana tempatnya .

Menetapkan di mana x dan y . Mengekspresikan e ^z dalam koordinat polar, terlihat bahwa:

$\begin{array}{cc}z{e}^z& =(x+iy)e^x(\cos (y)+i\sin (y))\\ & =e^x(x\cos (y)-y\sin (y))+i{e}^x(x\sin (y)+y\cos (y))\\ \end{array}$

Untuk $n\ne 0$, cabang dipotong untuk akan menjadi sumbu nyata non-positif sehingga:

$x\sin (y)+y\cos (y)=0\Rightarrow x=-y/\tan (y)$

dan

$(x\cos (y)-y\sin (y))e^x\le 0$

Untuk $n=0$, cabang dipotong untuk akan menjadi sumbu nyata dengan $-\mathrm{\infty }<z\le -1/e$ sehingga ketimpangan menjadi:

$(x\cos (y)-y\sin (y))e^x\le -1/e$

Di dalam wilayah yang dibatasi oleh hal di atas, tidak akan ada perubahan yang terputus-putus dan wilayah tersebut akan menentukan di mana fungsi W dapat dibalik: yaitu .

Kalkulus

Turunan

Dengan diferensiasi implisit, seseorang dapat menunjukkan bahwa semua cabang dari memenuhi persamaan diferensial

$z(1+W)\frac{dW}{dz}=W\text{untuk }z\ne -\frac{1}{e}.$

( bukan dapat dibedakan untuk .) Akibatnya, kami mendapatkan rumus berikut untuk turunan dari W:

$\frac{dW}{dz}=\frac{W(z)}{z(1+W(z))}\text{untuk }z\in ̸\{0,-\frac{1}{e}\}.$

Menggunakan identitas , kami mendapatkan rumus setara berikut:

$\frac{dW}{dz}=\frac{1}{z+e^{W(z)}}\text{untuk }z\ne -\frac{1}{e}.$

Di asalnya kita punya

$W{\text{'}}_0(0)=1.$

Antiturunan

Fungsi , dan banyak ekspresi yang melibatkan , bisa terintegrasi menggunakan substitusi , yaitu :

$\begin{array}{cc}\int W(x)dx& =xW(x)-x+e^{W(x)}+C\\ & =x(W(x)-1+\frac{1}{W(x)})+C.\end{array}$

(Persamaan terakhir lebih umum dalam literatur tetapi tidak berlaku pada ). Salah satu konsekuensi dari ini (menggunakan fakta bahwa ) adalah identitas

${\int }_0^e{W}_0(x)dx=e-1.$

Ekspansi asimtotik

Deret Taylor dari sekitar 0 dapat ditemukan menggunakan Teorema inversi Lagrange dan diberikan oleh

$W_0(x)=\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-n{)}^{n-1}}{n!}{x}^n=x-x^2+\frac{3}{2}{x}^3-\frac{8}{3}{x}^4+\frac{125}{24}{x}^5-\cdots .$

Radius konvergensi adalah , seperti yang dapat dilihat oleh uji rasio. Fungsi yang ditentukan oleh deret ini dapat diperluas menjadi fungsi holomorfik yang ditentukan pada semua bilangan kompleks dengan potongan cabang sepanjang interval ; fungsi holomorfik ini mendefinisikan cabang utama dari fungsi Lambert .

Untuk nilai besar dari , asimtotik dengan

$\begin{array}{cc}{W}_0(x)& =L_1-L_2+\frac{L_2}{L_1}+\frac{L_2(-2+L_2)}{2L_1^2}+\frac{L_2(6-9L_2+2L_2^2)}{6L_1^3}+\frac{L_2(-12+36L_2-22L_2^2+3L_2^3)}{12L_1^4}+\cdots \\ & =L_1-L_2+\sum _{l=0}^{\mathrm{\infty }}\sum _{m=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{(-1{)}^l\left[\begin{array}{c}l+m\\ l+1\end{array}\right]}{m!}{L}_1^{-l-m}{L}_2^m,\end{array}$

di mana , , dan adalah sebuah Bilangan Stirling dari jenis pertama non-negatif. Mempertahankan hanya dua istilah pertama dari ekspansi,

$W_0(x)=\ln x-\ln \ln x+o(1).$

Cabang real lainnya, , didefinisikan dalam interval ,memiliki pendekatan dalam bentuk yang sama ketika x mendekati nol, dengan dalam kasus ini dan .

Itu menunjukkan yang dipegang oleh batas berikut (batas atas hanya untuk x ≥ e):

$\ln x-\ln \ln x+\frac{\ln \ln x}{2\ln x}\le W_0(x)\le \ln x-\ln \ln x+\frac{e}{e-1}\frac{\ln \ln x}{\ln x}.$

Pada tahun 2013, itu sudah dibuktikan bahwa cabang bisa dibatasi sebagai berikut:

$-1-\sqrt{2u}-u<W_{-1}(-e^{-u-1})<-1-\sqrt{2u}-\frac{2}{3}u\text{for }u>0.$

Bilangan bulat pangkat dan kompleks

Bilangan bulat pangkat dari juga mengakui ekspansi deret Taylor (atau Laurent) sederhana:

$W_0(x{)}^2=\sum _{n=2}^{\mathrm{\infty }}\frac{-2{(-n)}^{n-3}}{(n-2)!}{x}^n=x^2-2x^3+4x^4-\frac{25}{3}{x}^5+18x^6-\cdots .$

Secara lebih umum, untuk , Rumus inversi Lagrange diberikan

$W_0(x{)}^r=\sum _{n=r}^{\mathrm{\infty }}\frac{-r{(-n)}^{n-r-1}}{(n-r)!}{x}^n,$

yang, secara umum, merupakan rangkaian urutan Laurent . Dengan kata lain, yang terakhir dapat ditulis dalam bentuk perluasan kekuatan Taylor :

${\left(\frac{W_0(x)}{x}\right)}^r=e^{-r{W}_0(x)}=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}\frac{r{(n+r)}^{n-1}}{n!}{(-x)}^n,$

yang berlaku untuk semua $r\in ℂ$ dan $\left|x\right|<\frac{1}{e}$.

Identitas

Beberapa identitas mengikuti dari definisi tersebut:

$\begin{array}{cccc}{W}_0(x{e}^x)& =x& \text{for }x& \ge -1,\\ W_{-1}(x{e}^x)& =x& \text{for }x& \le -1.\end{array}$

Perhatikan itu, karena tidak injeksi, tidak selalu begitu , mirip dengan fungsi trigonometri terbalik. Untuk diperbaiki dan , persamaan memiliki dua solusi di , salah satunya tentu saja . Kemudian, untuk dan , serta untuk dan , adalah solusi lainnya.

Beberapa identitas lainnya:

$\begin{array}{cc}& W(x)\cdot e^{W(x)}=x,\text{karena itu:}\\ & e^{W(x)}=\frac{x}{W(x)},e^{-W(x)}=\frac{W(x)}{x},e^{nW(x)}={\left(\frac{x}{W(x)}\right)}^n.\end{array}$

$\ln W_0(x)=\ln x-W_0(x)\text{untuk }x>0.$

$W_0(x\ln x)=\ln x\text{dan}{e}^{W_0(x\ln x)}=x\text{untuk }x\ge \frac{1}{e}.$

$W_{-1}(x\ln x)=\ln x\text{dan}{e}^{W_{-1}(x\ln x)}=x\text{untuk }x\le \frac{1}{e}.$

$\begin{array}{cccc}& W(x)=\ln \frac{x}{W(x)}& & \text{untuk }x\ge -\frac{1}{e},\\ & W\left(\frac{n{x}^n}{W{\left(x\right)}^{n-1}}\right)=nW(x)& & \text{untuk }n,x>0\end{array}$

(yang dapat diperpanjang ke dan lainnya jika cabang yang benar dipilih).

$W(x)+W(y)=W\left(xy(\frac{1}{W(x)}+\frac{1}{W(y)})\right)\text{untuk }x,y>0.$

Mengganti dalam definisi:

$\begin{array}{cccc}{W}_0(-\frac{\ln x}{x})& =-\ln x& \text{for }0& <x\le e,\\ W_{-1}(-\frac{\ln x}{x})& =-\ln x& \text{for }x& >e.\end{array}$

Dengan eksponensial iterasi Euler :

$\begin{array}{cc}h(x)& =e^{-W(-\ln x)}\\ & =\frac{W(-\ln x)}{-\ln x}\text{untuk }x\ne 1.\end{array}$

Nilai khusus

Untuk sembarang bilangan aljabar bukan nol , adalah bilangan transendental. Memang, jika adalah nol, maka harus nol juga, dan jika bukan nol dan aljabar, lalu menurut teorema Lindemann–Weierstrass, harus transendental, menyiratkan itu juga harus transendental.

Berikut ini adalah nilai khusus dari cabang utama:

$W(-\frac{\pi }{2})=\frac{i\pi }{2}.$

$W(-\frac{1}{e})=-1.$

$W(-\frac{\ln a}{a})=-\ln a(\frac{1}{e}\le a\le e).$

$W(2\ln 2)=\ln 2.$

$W(0)=0.$

$W(1)=\Omega ={\left({\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}\frac{dt}{{(e^t-t)}^2+{\pi }^2}\right)}^{-1}-1\approx 0.56714329\dots$ (konstanta Omega).

$W(1)=e^{-W(1)}=\ln \left(\frac{1}{W(1)}\right)=-\ln W(1).$

$W(e)=1.$

$W\left(e^{1+e}\right)=e.$

$W(-1)\approx -0.31813+1.33723i.$

Representasi

Cabang utama dari fungsi Lambert dapat diwakili oleh integral yang tepat, karena Poisson:

$-\frac{\pi }{2}W(-x)={\int }_0^{\pi }\frac{\sin \left(\frac{3}{2}t\right)-x{e}^{\cos t}\sin (\frac{5}{2}t-\sin t)}{1-2x{e}^{\cos t}\cos (t-\sin t)+x^2{e}^{2\cos t}}\sin \left(\frac{1}{2}t\right)dt\text{untuk }|x|<\frac{1}{e}.$

Di domain yang lebih luas , representasi yang jauh lebih sederhana ditemukan oleh Mező:

$W(x)=\frac{1}{\pi }\mathrm{Re}{\int }_0^{\pi }\ln \left(\frac{e^{e^{it}}-x{e}^{-it}}{e^{e^{it}}-x{e}^{it}}\right)dt.$

Representasi pecahan berlanjut berikut juga berlaku untuk cabang utama:

$W(x)=\frac{x}{1+\frac{x}{1+\frac{x}{2+\frac{5x}{3+\frac{17x}{10+\frac{133x}{17+\frac{1927x}{190+\frac{13582711x}{94423+\ddots }}}}}}}}.$

Juga, jika $|W(z)|<1$:

$W(x)=\frac{x}{\exp \frac{x}{\exp \frac{x}{\ddots }}}.$

Gantinya, jika $|W(z)|>e$, maka

$W(x)=\ln \frac{x}{\ln \frac{x}{\ln \frac{x}{\ddots }}}.$

Lihat pula

• Fungsi Wright Omega
• Persamaan trinomial Lambert
• Teorema inversi Lagrange
• Matematika eksperimental
• Metode Holstein–Herring
• model
• Ross' lemma

Referensi

• (Lambert function is used to solve delay-differential dynamics in human disease.)
• Veberic, D., "Having Fun with Lambert W(x) Function" arXiv:1003.1628 (2010) ;

Pranala luar

• National Institute of Science and Technology Digital Library – Lambert
• MathWorld – Lambert -Function
• Computing the Lambert function
• Corless et al. Notes about Lambert research
• GPL C++ implementation with Halley's and Fritsch's iteration.
• Special Functions of the GNU Scientific Library – GSL

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28669713 (2025-12-06T16:23:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.