Transpos

Berkas:Matrix transpose.gif

Matriks A T sebagai hasil transpos dari A dapat dicari dengan merefleksikan setiap elemennya sepanjang diagonal utamanya. Mengulangi langkah ini pada matriks hasil transpos akan menghasilkan matriks dengan setiap elemen kembali ke posisi awalnya

Dalam aljabar linear, transpos dari sebuah matriks adalah operator yang membalikkan posisi matriks sepanjang diagonal utamanya; dengan kata lain, operator ini menukar setiap baris dan kolom pada matriks , menjadi kolom dan baris matriks baru, yang umum dikenal sebagai . transpos dari sebuah matriks diperkenalkan pada tahun 1858 oleh matematikawan Inggris Arthur Cayley.

Transpos dari sebuah matriks

Definisi

Transpos dari sebuah matriks , yang dinyatakan sebagai , , , $A^{⊺}$, , , , atau , dapat dibentuk dengan tiga cara berikut:

1. Merefleksikan sepanjang diagonal utamanya untuk mendapatkan ;
2. Menulis setiap baris dari sebagai kolom dari ;
3. Menulis setiap kolom dari sebagai baris dari .

Secara lebih formal, elemen baris ke- dan kolom ke- dari adalah elemen baris ke- dan kolom ke- dari :

${\left[{𝐀}^{\mathrm{T}}\right]}_{ij}={\left[𝐀\right]}_{ji}.$

Jika adalah matriks berukuran , maka matriks berukuran .

Untuk kasus matriks persegi, notasi juga dapat menyatakan pangkat dari matriks . Untuk menghindari kerancuan ini, banyak penulis menggunakan tika atas kiri, yakni, mereka menulis transpos sebagai . Notasi ini menguntungkan karena tanda kurung tidak diperlukan untuk operasi yang melibatkan perpangkatan, karena : menulis tidak menimbulkan kerancuan.

Artikel ini menghindari kerancuan tersebut dengan tidak pernah menggunakan simbol sebagai nama variabel.

Terdapat beberapa definisi matriks yang melibatkan transpos:

Nama matriks	Kondisi	Definisi
Simetrik	${𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀$	Matriks persegi dengan hasil transposnya berupa dirinya sendiri
Skew-symmetric	${𝐀}^{\mathrm{T}}=-𝐀$	Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan negatif dari dirinya sendiri
Hermite	${𝐀}^{\mathrm{T}}=\overline{𝐀}$	Matriks persegi dengan setiap elemen hasil transposnya adalah konjugat kompleks dari elemen pada posisi yang sama. Hal ini sama dengan mengatakan matriks persegi tersebut sama dengan transpos konjugatnya.
Ortogonal	${𝐀}^{\mathrm{T}}={𝐀}^{-1}$	Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan invers dirinya sendiri
Uniter	${𝐀}^{\mathrm{T}}=\overline{{𝐀}^{-1}}$	Matriks persegi dengan hasil transposnya sama dengan invers konjugat dari dirinya sendiri.

Contoh

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{c}1\\ 2\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}1& 3\\ 2& 4\end{array}\right]$

• ${\left[\begin{array}{cc}1& 2\\ 3& 4\\ 5& 6\end{array}\right]}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{ccc}1& 3& 5\\ 2& 4& 6\end{array}\right]$

Sifat

Misal dan adalah matriks dan adalah sebuah skalar. Berikut adalah beberapa sifat dari operator transpos: \mathbf{b},</math> atau juga dapat ditulis sebagai dalam notasi Einstein.|Jika semua elemen adalah bilangan real, maka adalah matriks semidefinit-positif.|${\left({𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{-1}={\left({𝐀}^{-1}\right)}^{\mathrm{T}}.$

Transpos dari matriks yang dapat dibalik juga berupa matriks yang dapat dibalik, dan inversnya adalah transpos dari invers matriks awalnya. Notasi terkadang digunakan untuk mewakili kedua ekpresi yang setara tersebut.|Jika adalah matriks persegi, maka nilai-nilai eigennya sama dengan nilai-nilai eigen dari transposnya, karena mereka berdua memiliki polinomial karakteristik yang sama.}}

Hasil kali

Jika matriks berukuran dan adalah transposnya, maka hasil perkalian matriks antara keduanya menghasilkan dua matriks persegi: yang berukuran dan yang berukuran . Lebih lanjut, kedua matriks ini simetrik. Elemen-elemen pada hasil perkalian matriks adalah hasil kali dalam baris dari dengan kolom dari . Namun karena kolom pada adalah baris pada , setiap elemen di adalah hasil kali dalam dua baris matriks . Jika adalah elemen di matriks hasil perkalian, nilainya berasal dari baris ke- dan ke- di . Nilai elemen juga didapatkan dari kedua baris yang sama, sehingga , dan menyebabkan simetris. Dengan alasan yang serupa, hasil perkalian juga matriks simetris.

Bukti yang lebih cepat mengenai kesimetrisan matriks didapatkan dari fakta transpos matriks tersebut adalah dirinya sendiri:

${\left(𝐀{𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}={\left({𝐀}^{\mathrm{T}}\right)}^{\mathrm{T}}{𝐀}^{\mathrm{T}}=𝐀{𝐀}^{\mathrm{T}}.$

Implementasi transpos matriks di komputer

Di komputer, kita dapat menghindari melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori cukup dengan mengakses data dalam urutan yang berbeda. Sebagai contoh, pustaka untuk aljabar linear, seperti BLAS, umumnya menyediakan pilihan untuk menyatakan sebuah matriks perlu dibaca dalam urutan operasi transpos, untuk menghindari perpindahan data yang tidak diperlukan.

Namun, ada beberapa keadaan yang mengharuskan atau menguntungkan untuk melakukan transpos matriks secara eksplisit di memori. Sebagai contoh, matriks yang disimpan dalam row-major order, memiliki baris matriks yang contiguous di memori, tetapi kolom matriksnya tidak. Jika matriks banyak melakukan operasi yang melibat kolom-kolom, sebagai contoh algoritma transformasi Fourier cepat, melakukan transpos matriks agar kolom-kolomnya contiguous mungkin dapat meningkatkan peformanya karena memory locality yang tinggi.

Idealnya, kita mengharapkan operasi transpos dilakukan dengan menggunakan penyimpanan sementara yang sedikit. Hal ini berujung pada permasalahan melakukan transpos matriks berukuran n × m in-place, dengan O(1) penyimpanan sementara yang jauh lebih kecil daripada mn. Pada kasus n ≠ m, hal ini melibatkan permutasi elemen-elemen matriks yang rumit dan tidak mudah diterapkan secara in-place. Karena hal itu, metode transpos matriks in-place yang efisien banyak diteliti pada bidang ilmu komputer mulai pada akhir tahun 1950-an. Beberapa algoritme telah dikembangkan dalam hal tersebut.

Daftar pustaka

• .

Pranala luar

• Gilbert Strang (Spring 2010) Linear Algebra dari MIT Open Courseware

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29524949 (2026-08-04T14:54:47Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.