Kombinasi linear

Misalkan $V$ adalah ruang vektor atas bidang $F$ dan ${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}$ adalah dua vektor dalam $V$ . Kombinasi linear dari ${\vec{v}}_{1}$ dan ${\vec{v}}_{2}$ adalah vektor-vektor yang diperoleh melalui operasi perkalian skalar dan penjumlahan terhadap kedua vektor tersebut. Pada ruang vektor $V$ berlaku operasi penjumlahan dan perkalian skalar. Artinya vektor ${\vec{v}}_{1}$ dan ${\vec{v}}_{2}$ dapat dikalikan dengan skalar $k, m \in F$ , sehingga terbentuk $k {\vec{v}}_{1}$ dan $m {\vec{v}}_{2}$ . Dengan menjumlah kedua vektor, diperoleh $k {\vec{v}}_{1} + m {\vec{v}}_{2}$ . Vektor inilah yang disebut sebagai kombinasi linear dari ${\vec{v}}_{1}$ dan ${\vec{v}}_{2}$ .

Definisi

Misalkan $F$ adalah bidang dan $V$ adalah ruang vektor atas lapangan $F$ . Anggota-anggota $V$ disebut vektor dan anggota-anggota $F$ disebut skalar. Kombinasi linear dari vektor-vektor ${\vec{v}}_{1}, {\vec{v}}_{2}, \dots, {\vec{v}}_{n}$ adalah vektor-vektor yang dapat ditulis sebagai

$k_{1} {\vec{v}}_{1} + k_{2} {\vec{v}}_{2} + \dots + k_{n} {\vec{v}}_{n}$

untuk suatu skalar $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{n} \in F$ .

Contoh

Ruang Vektor Euclidean

Himpunan $ℝ^{2}$ adalah ruang vektor atas lapangan $ℝ$ . Vektor $(2, 7)$ merupakan kombinasi linear dari ${\vec{e}}_{1} = (1, 0)$ dan ${\vec{e}}_{2} = (0, 1)$ , sebab terdapat skalar $2, 7 \in ℝ$ sehingga

$(2, 7) = 2 (1, 0) + 7 (0, 1) = 2 {\vec{e}}_{1} + 7 {\vec{e}}_{2}$

Lebih lanjut, setiap vektor dalam $ℝ^{2}$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $e_{1}$ dan $e_{2}$ . Ini terjadi karena sebarang vektor $(x, y) \in ℝ^{2}$ dapat ditulis sebagai

$\begin{matrix} (x, y) & = (x, 0) + (0, y) \\ = x (1, 0) + y (0, 1) \\ = x {\vec{e}}_{1} + y {\vec{e}}_{2} \end{matrix}$

Polinomial

Himpunan $P_{2}$ merupakan ruang vektor atas lapangan $ℝ$ . Himpunan ini berisi polinomial-polinomial berderajat kurang dari atau sama dengan 2, di mana koefisiennya diambil dari $ℝ$ . Misalkan $p_{1} = 1 + x^{2}$ dan $p_{2} = 2 x^{2}$ . Apakah polinomial $1 + x$ merupakan kombinasi linear dari $p_{1}$ dan $p_{2}$ ? Untuk menjawabnya, perlu diperiksa apakah terdapat skalar $k_{1}, k_{2} \in ℝ$ yang memenuhi persamaan

$1 + x = k_{1} (1 + x^{2}) + k_{2} (2 x^{2})$

Persamaan di atas dapat ditulis sebagai

$1 + 1 x + 0 x^{2} = k_{1} + 0 x + (k_{1} + 2 k_{2}) x^{2}$

Dua polinomial bernilai sama jika dan hanya jika koefisien suku-suku yang bersesuaian bernilai sama. Perhatikan bahwa koefisien suku yang memuat $x$ pada ruas kiri adalah 1, sedangkan koefisien pada ruas kanan adalah 0. Akibatnya, kedua polinomial tidak mungkin bernilai sama. Artinya, tidak ada skalar $k_{1}, k_{2} \in ℝ$ yang memenuhi persamaan

$1 + x = k_{1} (1 + x^{2}) + k_{2} (2 x^{2})$

Dengan demikian, $1 + x$ bukan kombinasi linear dari $p_{1}$ dan $p_{2}$ .

Referensi

Pranala luar

Kombinasi Linear di MathWorld

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29150676 (2026-04-21T17:39:45Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.