MixColumns Rijndael

Langkah dan langkah adalah sumber penghamburan utama dalam penyandian Rijndael. Tiap kolom dianggap sebagai suku banyak berderajat empat $b (x) = b_{3} x^{3} + b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}$ yang suku-sukunya berada dalam $GF (2^{8})$ .

Tiap kolom dikali dengan suku banyak tetap $a (x) = 3 x^{3} + x^{2} + x + 2$ modulus $x^{4} + 1$ . Inversi suku banyaknya adalah $a^{- 1} (x) = 11 x^{3} + 13 x^{2} + 9 x + 14$ .

MixColumns

Operasi ini terdiri dari perkalian modulus dua suku banyak berderajat empat yang koefisiennya ada dalam $GF (2^{8})$ . Pembagi yang dipakai dalam operasi ini adalah $x^{4} + 1$ .

Koefisien suku banyak pertama didefinisikan sebagai kolom status $[\begin{matrix} b_{3} & b_{2} & b_{1} & b_{0} \end{matrix}]$ yang berisi empat bita. Tiap bita adalah koefisien dari suku banyak tersebut.

b (x) = b_{3} x^{3} + b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}

Suku banyak kedua adalah suku banyak tetap $a (x) = 3 x^{3} + x^{2} + x + 2$ . Koefisiennya juga ada dalam $GF (2^{8})$ . Inversinya adalah $a^{- 1} (x) = 11 x^{3} + 13 x^{2} + 9 x + 14$ .

Dalam halaman ini, kita definisikan beberapa notasi berikut:

\otimes

berarti perkalian modulus

x^{4} + 1

.

\oplus

berarti pertambahan dalam

GF (2^{8})

.

∙

berarti perkalian dalam

GF (2^{8})

.

Pertambahan dalam $GF (2^{8})$ memiliki sifat berikut:

\begin{matrix} (a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}) + (b_{3} x^{3} + b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}) \\ = & (a_{3} \oplus b_{3}) x^{3} + (a_{2} \oplus b_{2}) x^{2} + (a_{1} \oplus b_{1}) x + (a_{0} \oplus b_{0}) \end{matrix}

Pembuktian bentuk matriks

Suku banyak $a (x) = 3 x^{3} + x^{2} + x + 2$ akan dinyatakan sebagai $a (x) = a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}$ .

Perkalian suku banyak

\begin{matrix} a (x) ∙ b (x) = c (x) & = (a_{3} x^{3} + a_{2} x^{2} + a_{1} x + a_{0}) ∙ (b_{3} x^{3} + b_{2} x^{2} + b_{1} x + b_{0}) \\ = c_{6} x^{6} + c_{5} x^{5} + c_{4} x^{4} + c_{3} x^{3} + c_{2} x^{2} + c_{1} x + c_{0} \end{matrix}

dengan

\begin{matrix} c_{0} & = a_{0} ∙ b_{0} \\ c_{1} & = a_{1} ∙ b_{0} \oplus a_{0} ∙ b_{1} \\ c_{2} & = a_{2} ∙ b_{0} \oplus a_{1} ∙ b_{1} \oplus a_{0} ∙ b_{2} \\ c_{3} & = a_{3} ∙ b_{0} \oplus a_{2} ∙ b_{1} \oplus a_{1} ∙ b_{2} \oplus a_{0} ∙ b_{3} \\ c_{4} & = a_{3} ∙ b_{1} \oplus a_{2} ∙ b_{2} \oplus a_{1} ∙ b_{3} \\ c_{5} & = a_{3} ∙ b_{2} \oplus a_{2} ∙ b_{3} \\ c_{6} & = a_{3} ∙ b_{3} \end{matrix}

Reduksi modulus

Hasil $c (x)$ adalah suku banyak berderajat tujuh sehingga harus direduksi menjadi kata empat bita. Hal itu dilakukan dengan melakukan perkalian dengan modulus $x^{4} + 1$ .

Bila kita melakukan perkalian modulus suku banyak, kita bisa lihat bahwa

\begin{matrix} x^{6} mod (x^{4} + 1) & = - x^{2} = x^{2} dalam GF (2^{8}) \\ x^{5} mod (x^{4} + 1) & = - x = x dalam GF (2^{8}) \\ x^{4} mod (x^{4} + 1) & = - 1 = 1 dalam GF (2^{8}) \end{matrix}

Secara umum, kita bisa nyatakan bahwa $x^{i} mod (x^{4} + 1) = x^{i mod 4} .$

Jadi,

\begin{matrix} a (x) \otimes b (x) = c (x) mod (x^{4} + 1) \\ = & (c_{6} x^{6} + c_{5} x^{5} + c_{4} x^{4} + c_{3} x^{3} + c_{2} x^{2} + c_{1} x + c_{0}) mod (x^{4} + 1) \\ = & c_{6} x^{6 mod 4} + c_{5} x^{5 mod 4} + c_{4} x^{4 mod 4} + c_{3} x^{3 mod 4} + c_{2} x^{2 mod 4} + c_{1} x^{1 mod 4} + c_{0} x^{0 mod 4} \\ = & c_{6} x^{2} + c_{5} x + c_{4} + c_{3} x^{3} + c_{2} x^{2} + c_{1} x + c_{0} \\ = & c_{3} x^{3} + (c_{2} \oplus c_{6}) x^{2} + (c_{1} \oplus c_{5}) x + c_{0} \oplus c_{4} \\ = & d_{3} x^{3} + d_{2} x^{2} + d_{1} x + d_{0} \end{matrix}

dengan

\begin{matrix} d_{0} & = c_{0} \oplus c_{4} \\ d_{1} & = c_{1} \oplus c_{5} \\ d_{2} & = c_{2} \oplus c_{6} \\ d_{3} & = c_{3} \end{matrix}

Bentuk matriks

Koefisien $d_{3}$ , $d_{2}$ , $d_{1}$ , dan $d_{0}$ dapat dinyatakan sebagai berikut:

\begin{matrix} d_{0} & = a_{0} ∙ b_{0} \oplus a_{3} ∙ b_{1} \oplus a_{2} ∙ b_{2} \oplus a_{1} ∙ b_{3} \\ d_{1} & = a_{1} ∙ b_{0} \oplus a_{0} ∙ b_{1} \oplus a_{3} ∙ b_{2} \oplus a_{2} ∙ b_{3} \\ d_{2} & = a_{2} ∙ b_{0} \oplus a_{1} ∙ b_{1} \oplus a_{0} ∙ b_{2} \oplus a_{3} ∙ b_{3} \\ d_{3} & = a_{3} ∙ b_{0} \oplus a_{2} ∙ b_{1} \oplus a_{1} ∙ b_{2} \oplus a_{0} ∙ b_{3} \end{matrix}

Ketika kita ganti koefisien $a (x)$ dengan tetapan $[\begin{matrix} 3 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}]$ yang dipakai oleh penyandian ini, kita dapatkan hasil berikut:

\begin{matrix} d_{0} & = 2 ∙ b_{0} \oplus 3 ∙ b_{1} \oplus 1 ∙ b_{2} \oplus 1 ∙ b_{3} \\ d_{1} & = 1 ∙ b_{0} \oplus 2 ∙ b_{1} \oplus 3 ∙ b_{2} \oplus 1 ∙ b_{3} \\ d_{2} & = 1 ∙ b_{0} \oplus 1 ∙ b_{1} \oplus 2 ∙ b_{2} \oplus 3 ∙ b_{3} \\ d_{3} & = 3 ∙ b_{0} \oplus 1 ∙ b_{1} \oplus 1 ∙ b_{2} \oplus 2 ∙ b_{3} \end{matrix}

Hal ini menunjukkan bahwa operasi ini mirip dengan sandi Hill. Ia dapat digambarkan sebagai perkalian matriks berikut:

[\begin{matrix} d_{0} \\ d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 2 & 3 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 1 \\ 1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \end{matrix}] [\begin{matrix} b_{0} \\ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}]

InverseMixColumns

Operasi memiliki inversi berikut (bilangan dalam desimal).

[\begin{matrix} b_{0} \\ b_{1} \\ b_{2} \\ b_{3} \end{matrix}] = [\begin{matrix} 14 & 11 & 13 & 9 \\ 9 & 14 & 11 & 13 \\ 13 & 9 & 14 & 11 \\ 11 & 13 & 9 & 14 \end{matrix}] [\begin{matrix} d_{0} \\ d_{1} \\ d_{2} \\ d_{3} \end{matrix}]

atau

\begin{matrix} b_{0} & = 14 ∙ d_{0} \oplus 11 ∙ d_{1} \oplus 13 ∙ d_{2} \oplus 9 ∙ d_{3} \\ b_{1} & = 9 ∙ d_{0} \oplus 14 ∙ d_{1} \oplus 11 ∙ d_{2} \oplus 13 ∙ d_{3} \\ b_{2} & = 13 ∙ d_{0} \oplus 9 ∙ d_{1} \oplus 14 ∙ d_{2} \oplus 11 ∙ d_{3} \\ b_{3} & = 11 ∙ d_{0} \oplus 13 ∙ d_{1} \oplus 9 ∙ d_{2} \oplus 14 ∙ d_{3} \end{matrix}

Contoh implementasi

Operasi ini dapat disederhanakan dalam implementasinya dengan mengganti perkalian dengan dua dengan geseran tunggal dan XOR bersyarat serta mengganti perkalian dengan tiga dengan perkalian dengan dua yang digabung dengan XOR. Berikut contoh implementasi dalam bahasa C.

Vektor uji untuk MixColumns

Daftar pustaka

FIPS PUB 197: Dokumen resmi AES

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 26843382 (2025-01-26T08:36:36Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.