Fungsi rasional Chebyshev

Dalam matematika, fungsi rasional Chebyshev adalah urutan fungsi yang rasional dan ortogonal. Mereka dinamakan Pafnuty Chebyshev. Fungsi rasional Chebysev dengan derajat n didefinisikan sebagai:

R_{n} (x) \overset{d e f}{=} T_{n} (\frac{x - 1}{x + 1})

di mana T_n(x) adalah polinom Chebyshev bentuk pertama.

Sifat

Banyak sifat yang dapat diturunkan dari polinom Chebysev bentuk pertama.

Rekursi

R_{n + 1} (x) = 2 \frac{x - 1}{x + 1} R_{n} (x) - R_{n - 1} (x) for n \geq 1

Persamaan diferensial

(x + 1)^{2} R_{n} (x) = \frac{1}{n + 1} \frac{d}{d x} R_{n + 1} (x) - \frac{1}{n - 1} \frac{d}{d x} R_{n - 1} (x) for n \geq 2

(x + 1)^{2} x \frac{d^{2}}{d x^{2}} R_{n} (x) + \frac{(3 x + 1) (x + 1)}{2} \frac{d}{d x} R_{n} (x) + n^{2} R_{n} (x) = 0

Ortogonalitas

Mendefinisikan:

ω (x) \overset{d e f}{=} \frac{1}{(x + 1) \sqrt{x}}

Ortogonalitas dari fungsi rasional Chebyshev dapat ditulis:

\int_{0}^{\infty} R_{m} (x) R_{n} (x) ω (x) d x = \frac{π c_{n}}{2} δ_{n m}

di mana untuk dan untuk ; adalah fungsi Kronecker delta.

Perluasan fungsi yang berubah-ubah

Untuk fungsi yang berubah-ubah hubungan ortogonalitas dapat digunakan untuk memperluas :

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} F_{n} R_{n} (x)

di mana

F_{n} = \frac{2}{c_{n} π} \int_{0}^{\infty} f (x) R_{n} (x) ω (x) d x .

Nilai khusus

\begin{matrix} R_{0} (x) & = 1 \\ R_{1} (x) & = \frac{x - 1}{x + 1} \\ R_{2} (x) & = \frac{x^{2} - 6 x + 1}{(x + 1)^{2}} \\ R_{3} (x) & = \frac{x^{3} - 15 x^{2} + 15 x - 1}{(x + 1)^{3}} \\ R_{4} (x) & = \frac{x^{4} - 28 x^{3} + 70 x^{2} - 28 x + 1}{(x + 1)^{4}} \\ R_{n} (x) & = (x + 1)^{- n} \sum_{m = 0}^{n} (- 1)^{m} (\binom{2 n}{2 m}) x^{n - m} \end{matrix}

Perluasan fraksi sebagian

R_{n} (x) = \sum_{m = 0}^{n} \frac{(m!)^{2}}{(2 m)!} (\binom{n + m - 1}{m}) (\binom{n}{m}) \frac{(- 4)^{m}}{(x + 1)^{m}}

Referensi

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28744679 (2025-12-27T01:45:04Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.