Ekspansi Laplace

Dalam aljabar linear, ekspansi Laplace, dinamai Pierre-Simon Laplace, juga disebut ekspansi kofaktor, adalah ekspresi dari determinan matriks sebagai jumlah tertimbang dari minor, yang merupakan determinan dari beberapa submatriks . Secara khusus, untuk setiap , $$\begin{array}{cc}det(B)& =\sum _{j=1}^n(-1{)}^{i+j}{B}_{i,j}{M}_{i,j},\end{array}$$ di mana $B_{i,j}$ adalah entri baris ke- dan kolom ke- dari , dan $M_{i,j}$ adalah determinan submatriks yang diperoleh dengan menghilangkan baris ke- dan kolom ke- dari .

Syarat $(-1{)}^{i+j}{M}_{i,j}$ disebut kofaktor dari $B_{i,j}$ di .

Contoh

Perhatikan matriks

$B=\left[\begin{array}{ccc}1& 2& 3\\ 4& 5& 6\\ 7& 8& 9\end{array}\right].$

Determinan matriks ini dapat dihitung dengan menggunakan ekspansi Laplace sepanjang salah satu baris atau kolomnya. Misalnya, ekspansi di sepanjang baris pertama menghasilkan:

$\begin{array}{cc}|B|& =1\cdot \left|\begin{array}{cc}5& 6\\ 8& 9\end{array}\right|-2\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|+3\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 5\\ 7& 8\end{array}\right|\\ & =1\cdot (-3)-2\cdot (-6)+3\cdot (-3)=0.\end{array}$

Ekspansi Laplace sepanjang kolom kedua menghasilkan hasil yang sama:

$\begin{array}{cc}|B|& =-2\cdot \left|\begin{array}{cc}4& 6\\ 7& 9\end{array}\right|+5\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 7& 9\end{array}\right|-8\cdot \left|\begin{array}{cc}1& 3\\ 4& 6\end{array}\right|\\ & =-2\cdot (-6)+5\cdot (-12)-8\cdot (-6)=0.\end{array}$

Sangat mudah untuk memverifikasi bahwa hasilnya benar: matriksnya tunggal karena jumlah kolom pertama dan ketiganya adalah dua kali kolom kedua, dan karenanya determinannya adalah nol.

Referensi

• David Poole: Linear Algebra. A Modern Introduction. Cengage Learning 2005, , pp. 265–267 ()
• Harvey E. Rose: Linear Algebra. A Pure Mathematical Approach. Springer 2002, , pp. 57–60 ()

Pranala luar

• Laplace expansion in C
• Laplace expansion in Java

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29524951 (2026-08-04T14:55:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.