Perubahan basis

Dalam aljabar linear, basis terurut memungkinkan setiap elemen pada sebarang ruang vektor berdimensi $n$ dinyatakan dalam bentuk vektor koordinat, yakni suatu barisan $n$-skalar yang disebut [koordinat]. Untuk dua basis berbeda dari suatu ruang vektor, vektor koordinat yang menyatakan elemen $v$ atas basis pertama, umumnya berbeda dengan vektor koordinat yang menyatakan elemen yang sama, tetapi atas basis yang kedua. Perubahan basis adalah tindakan mengubah penyataan-pernyataan matematika pada suatu basis, ke pernyataan-pernyataan yang sepadan pada basis yang lain.

Perubahan basis tersebut dihasilkan dari rumus perubahan-basis yang menyatakan koordinat-koordinat relatif pada satu basis dalam bentuk koordinat-koordinat relatif basis yang lainnya. Menggunakan matriks, rumus ini dapat dituliskan sebagai

${𝐱}_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}}=𝐀{𝐱}_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}},$

dengan "lama" dan "baru" masing-masing merujuk pada basis lama dan basis baru, ${𝐱}_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}}$ dan ${𝐱}_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}}$ adalah vektor kolom dari koordinat vektor yang sama menurut kedua basis, dan $𝐀$ adalah matriks perubahan-basis (juga disebut matriks transisi) yang kolom-kolomnya menyatakan koordinat vektor-vektor basis lama di basis baru.

Artikel ini fokus membahas ruang vektor dimensi hingga. Akan tetapi, banyak prinsip yang disampaikan disini juga berlaku pada ruang vektor dimensi tak-hingga.

Contoh

Misalkan kita ingin menentukan vektor koordinat pada ruang vektor Euklides ${ℝ}^2,$ yang dihasilkan dari rotasi sebesar $t.$ Ruang vektor sebelum dirotasi memiliki basis standar ${𝐯}_1=(1,0)$ dan ${𝐯}_2=(0,1);$ sebut ini sebagai basis "lama". Setelah ruang vektor dirotasi, setiap elemen dalam basis tersebut ikut berotasi, dan berubah menjadi ${𝐰}_1=(\cos t,\sin t)$ dan ${𝐰}_2=(-\sin t,\cos t);$ sebut ini sebagai basis "baru". Lalu, matriks perubahan basis akibat rotasi dapat dituliskan sebagai$$\left[\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right].$$Rumus perubahan basis menyatakan bahwa, jika $(y_1,y_2)$ adalah koordinat baru hasil rotasi dari vektor koordinat $(x_1,x_2),$ maka

$\left[\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos t& -\sin t\\ \sin t& \cos t\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{y}_1\\ y_2\end{array}\right].$

Sehingga,

$x_1=y_1\cos t-y_2\sin t\text{dan}{x}_2=y_1\sin t+y_2\cos t.$

Hubungan tersebut dapat dibuktikan dengan menunjukkan $(x_1,x_2)$ dan $(y_1,y_2)$ merujuk pada objek yang sama,

$\begin{array}{cc}{x}_1{𝐯}_1+x_2{𝐯}_2& =(y_1\cos t-y_2\sin t){𝐯}_1+(y_1\sin t+y_2\cos t){𝐯}_2\\ & =y_1(\cos (t){𝐯}_1+\sin (t){𝐯}_2)+y_2(-\sin (t){𝐯}_1+\cos (t){𝐯}_2)\\ & =y_1{𝐰}_1+y_2{𝐰}_2.\end{array}$

Rumus perubahan basis

Misalkan $B_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}}=({𝐯}_1,\dots ,{𝐯}_n)$ adalah basis dari suatu ruang vektor dimensi hingga ' atas suatu lapangan '. Seorang dapat mendefinisikan $n$ elemen baru ${𝐰}_j$ (dengan $j=1,\dots ,n$) berdasarkan koordinat vektor tersebut $a_{i,j}$, atas $B_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}}:$

${𝐰}_j=\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{𝐯}_i.$

Misalkan

$𝐀={\left(a_{i,j}\right)}_{i,j}$

sebagai matriks yang kolom ke-'-nya dibentuk dari koordinat ${𝐰}_j$. (Di bagian ini dan seterusnya, indeks ' selalu digunakan untuk merujuk baris di $𝐀$ dan ${𝐯}_i,$ sedangkan indeks ' selalu digunakan untuk merujuk kolom di $𝐀$ dan ${𝐰}_j;$ konvensi ini berguna untuk menghindari kesalahan dalam perhitungan). Barisan terurut $B_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}}=({𝐰}_1,\dots ,{𝐰}_n)$ disebut basis dari ' jika dan hanya jika matriks $𝐀$ terbalikkan, atau setara dengan itu, jika determinannya tidak bernilai nol. Dalam kasus ini, $𝐀$ disebut matriks perubahan basis dari basis $B_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}}$ ke basis $B_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}}$.

Untuk sebarang elemen $𝐳\in V,$ misalkan $(x_1,\dots ,x_n)$ adalah koordinat $𝐳$ atas $B_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}}$, dan $(y_1,\dots ,y_n)$ adalah koordinatnya atas $B_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}}$, kita memiliki hubungan$$𝐳=\sum _{i=1}^n{x}_i{𝐯}_i=\sum _{j=1}^n{y}_j{𝐰}_j.$$Dengan menjabarkan hubungan tersebut,$$\begin{array}{cc}𝐳& =\sum _{j=1}^n{y}_j{𝐰}_j\\ & =\sum _{j=1}^n\left(y_j\sum _{i=1}^n{a}_{i,j}{𝐯}_i\right)\\ & =\sum _{i=1}^n\left(\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{y}_j\right){𝐯}_i.\end{array}$$kita dapatkan$$x_i=\sum _{j=1}^n{a}_{i,j}{y}_j\text{untuk }i=1,\dots ,n.$$Dalam bentuk matriks, rumus perubahan basis adalah$$𝐱=𝐀𝐲,$$dengan $𝐱$ dan $𝐲$ masing-masing adalah vektor kolom dari koordinat $𝐳$ atas s $B_{\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{m}\mathrm{a}}$ dan atas $B_{\mathrm{b}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{u}}$.

Pranala luar

• MIT Linear Algebra Lecture on Change of Basis oleh MIT OpenCourseWare

• Khan Academy Lecture on Change of Basis oleh Khan Academy

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28456432 (2025-11-13T09:29:50Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.