Diferensial total

Diferensial total suatu fungsi dapat berarti gradien dari fungsi tersebut, yang merupakan jumlah dari semua diferensial parsial terhadap semua variabel independen.

Penjelasan

Mengikuti , untuk fungsi-fungsi dengan lebih dari satu variabel independen,

$y=f(x_1,\dots ,x_n),$

diferensial parsial y terhadap setiap variabel x₁ merupakan bagian utama perubahan y yang dihasilkan dari suatu perubahan dx₁ dalam variabel tunggal tersebut. Maka, diferensial parsial adalah

$\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1$

melibatkan derivatif parsial y terhadap  x₁. Jumlah semua diferensial parsial itu terhadap semua variabel independen itulah yang merupakan diferensial total

$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}d{x}_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}d{x}_n,$

yang merupakan bagian utama perubahan dalam y sebagai hasil perubahan-perubahan dalam variabel independen x_i.

Lebih tepatnya, dalam konteks kalkulus multivariabel, mengikuti , jika f adalah sebuah fungsi yang dapat didiferensiasi, maka menurut definisi dapatnya suatu fungsi itu didiferensiasi, inkremen

$\begin{array}{cc}\Delta y& \stackrel{\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{f}}{=}f(x_1+\Delta x_1,\dots ,x_n+\Delta x_n)-f(x_1,\dots ,x_n)\\ & =\frac{\partial y}{\partial x_1}\Delta x_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}\Delta x_n+{\epsilon }_1\Delta x_1+\cdots +{\epsilon }_n\Delta x_n\end{array}$

di mana elemen kesalahan (error term) ε _i mendekati nol karena inkremen Δx_i bergabung bersama mendekati nol. Jadi, diferensial total dapat secara ketat didefinisikan sebagai

$dy=\frac{\partial y}{\partial x_1}\Delta x_1+\cdots +\frac{\partial y}{\partial x_n}\Delta x_n.$

Lihat pula

• Diferensial
• Diferensial parsial
• Persamaan diferensial

Pustaka

• .
• .
• .
• .

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 20938405 (2022-04-05T13:50:37Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.