1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ⋯

Eye of Horus square

Dalam matematika, deret tak hingga adalah contoh dasar dari deret geometri yang mutlak konvergen. Hasil penjumlahan tersebut bernilai 1. Deret ini dapat dinyatakan ke dalam bentuk notasi Sigma, yakni sebagai:$$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots =\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=1.$$Deret ini mempunyai kaitan dengan pertanyaan filosofis pada zaman kuno, khususnya paradoks Zeno.

Bukti

Seperti semua deret tak hingga, jumlah dari

$\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

didefinisikan sebagai limit dari jumlah parsial dari suku yang pertama

$s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}$

ketika menuju ke tak hingga. Dengan menggunakan berbagai argumen,\right] = 1+\left[s_n-\frac{1}{2^{n}}\right].</math> Ketika mengurangi dari kedua ruas, maka dapat disimpulkan bahwa $s_n=1-\frac{1}{2^n}.$ Ada beberapa argumen yang menggunakan induksi matematika, atau menambahkan $\frac{1}{2^n}$ pada kedua ruas dari persamaan $$s_n=\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots +\frac{1}{2^{n-1}}+\frac{1}{2^n}$$ hingga memanipulasi agar memperlihatkan bahwa hasil jumlah pada ruas kanan sama dengan 1.}} jumlah deret terhingga akan sama dengan

$s_n=1-\frac{1}{2^n}.$

Ketika menuju ke tak hingga, bentuk ekspresi $\frac{1}{2^n}$ menuju ke 0, dan demikian menuju ke 1.

Sejarah

Deret ini digunakan sebagai salah satu representasi dari paradoks Zeno. Bagian dari Mata Horus pernah dianggap untuk merepresentasikan enam penjumlahan pertama dari deret ini.

Lihat pula

• 0.999...
• 1/2 − 1/4 + 1/8 − 1/16 + ⋯

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 22327682 (2022-12-15T14:35:49Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.