Himpunan cembung

Berkas:Convex polygon illustration1.svg

Convex polygon illustration1

Dalam geometri, himpunan bagian dari suatu ruang Euklides (atau, lebih umumnya, ruang afin atas lapangan bilangan riil) dikatakan cembung jika untuk setiap dua titik anggota himpunan bagian, maka ruas garis yang menghubungkan kedua titik tersebut terletak sepenuhnya di dalam himpunan bagian tersebut. Dapat juga dikatakan, himpunan cembung atau daerah cembung adalah himpunan bagian yang mengiris setiap garis menjadi suatu ruas garis tunggal (mungkin kosong). Misal, kubus padat adalah himpunan cembung, tetapi apa pun yang berongga atau memiliki lekukan, misalnya, bentuk bulan sabit, bukan cembung.

Diagram Blaschke-Santaló

Himpunan ${𝒦}^2$ dari semua benda cembung planar dapat menjadi parameter dalam bentuk diameter tubuh cembung $D$, jari-jari lingkaran dalam $r$ (lingkaran terbesar yang terkandung dalam tubuh cembung) dan jari-jari lingkaran luar $R$ (lingkaran terkecil berisi badan cembung). Bahkan, himpunan ini dapat dijelaskan oleh himpunan ketidaksetaraan yang diberikan oleh

$\begin{array}{cc}2r& \le D\le 2R\\ R& \le \frac{\sqrt{3}}{3}D\\ r+R& \le D\\ D^2\sqrt{4R^2-D^2}& \le 2R(2R+\sqrt{4R^2-D^2})\end{array}$

dan dapat divisualisasikan sebagai gambar dari fungsi $g$ yang memetakan tubuh cembung ke titik ${ℝ}^2$ yang diberikan oleh $(\frac{r}{R},\frac{D}{2R})$. Gambar fungsi ini dikenal sebagai $(r,D,R)$ diagram Blachke-Santaló.

Atau, himpunan ${𝒦}^2$ juga dapat diukur dengan lebarnya (jarak terkecil antara dua hiperbidang paralel yang berbeda), perimeter dan luas.

Himpunan cembung dan persegi panjang

Misalkan C menjadi badan cembung di pesawat. Kita dapat menuliskan $r$ persegi panjang di $C$ sehingga salinan homothetik $R$ dari $r$ dibatasi sekitar $C$. Rasio homothety positif paling banyak 2 dan:

$\frac{1}{2}\cdot \mathrm{Area}(R)\le \mathrm{Area}(C)\le 2\cdot \mathrm{Area}(r)$

Pranala luar

• Lectures on Convex Sets, notes by Niels Lauritzen, at Aarhus University, March 2010.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 25284740 (2024-02-08T16:02:39Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.