Identitas (matematika)

Dalam matematika, identitas adalah persamaan yang menghubungkan satu ekspresi matematika A ke ekspresi matematika lainnya B , sedemikian rupa sehingga A dan B (yang mungkin berisi beberapa variabel) menghasilkan nilai yang sama untuk semua nilai variabel dalam rentang validitas tertentu.^[1]^[2] Dengan kata lain, A = B adalah identitas jika A dan B sama dengan fungsi, dan identitas adalah persamaan antara fungsi yang didefinisikan secara berbeda. Misalnya, $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ dan $\cos^{2} θ + \sin^{2} θ = 1$ adalah identitas.^[3] Identitas terkadang ditunjukkan dengan simbol batang tiga daripada , tanda sama dengan.^[4]

Identitas umum

Identitas aljabar

Identitas tertentu, khususnya $a + 0 = a$ dan $a + (- a) = 0$ , membentuk dasar aljabar,^[5] sedangkan identitas lainnya, misalnya $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ dan $(a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}$ , dapat berguna dalam menyederhanakan ekspresi aljabar dan mengembangkannya.^[6]

Identitas trigonometri

Secara geometris, identitas trigonometri adalah identitas yang melibatkan fungsi tertentu dari satu atau lebih sudut.^[7] Identitas tersebut berbeda dari identitas segitiga, yang merupakan identitas yang melibatkan sudut dan panjang sisi sebuah segitiga. Hanya yang pertama dibahas dalam artikel ini.

Identitas ini berguna setiap kali ekspresi yang melibatkan fungsi trigonometri perlu disederhanakan. Aplikasi penting lainnya adalah integrasi dari fungsi non-trigonometri: teknik umum yang melibatkan penggunaan aturan substitusi dengan fungsi trigonometri, dan kemudian menyederhanakan integral yang dihasilkan dengan identitas trigonometri.

Salah satu contoh paling menonjol dari identitas trigonometri melibatkan persamaan $\sin^{2} θ + \cos^{2} θ = 1,$ yang benar untuk semua nilai kompleks dari $θ$ (karena bilangan kompleks $ℂ$ membentuk domain sinus dan kosinus). Di sisi lain, persamaannya

\cos θ = 1

hanya berlaku untuk nilai tertentu $θ$ , tidak semua (atau untuk semua nilai dalam lingkungan). Misalnya, persamaan ini benar jika $θ = 0,$ tapi salah saat $θ = 2$ .

Kelompok lain dari identitas trigonometri menyangkut apa yang disebut rumus penjumlahan/pengurangan (misalnya identitas sudut ganda $\sin (2 θ) = 2 \sin θ \cos θ$ , rumus penjumlahan untuk $\tan (x + y)$ ),^[8]^[9] yang dapat digunakan untuk memecah ekspresi sudut yang lebih besar menjadi ekspresi dengan konstituen yang lebih kecil.

Identitas eksponensial

Identitas berikut berlaku untuk semua eksponen bilangan bulat, asalkan basisnya bukan nol:

\begin{matrix} b^{m + n} & = b^{m} \cdot b^{n} \\ (b^{m})^{n} & = b^{m \cdot n} \\ (b \cdot c)^{n} & = b^{n} \cdot c^{n} \end{matrix}

Tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponen tidak komutatif. Sebagai contoh, dan , melainkan , sedangkan .

Dan tidak seperti penjumlahan dan perkalian, eksponen juga tidak asosiatif. Sebagai contoh, dan , melainkan 2³ ke 4 adalah 8⁴ (atau 4.096), sedangkan 2 banding 3⁴ adalah 2⁸¹ (atau 2,417,851,639,229,258,349,412,352). Tanpa tanda kurung untuk mengubah urutan kalkulasi, menurut konvensi urutannya top-down, bukan bottom-up:

b^{p^{q}} = b^{(p^{q})} \neq (b^{p})^{q} = b^{(p \cdot q)} = b^{p \cdot q} .

Identitas logaritmik

Beberapa rumus penting, terkadang disebut identitas logaritmik atau hukum log , menghubungkan logaritma satu sama lain.^[10]

Produk, hasil bagi, deret dan akar

Logaritma dari suatu perkalian adalah jumlah dari logaritma dari angka-angka yang dikalikan; logaritma rasio dua bilangan adalah selisih logaritma. Logaritma dari kekuatan angka adalah p kali logaritma dari angka itu sendiri; logaritma dari a- root adalah logaritma bilangan dibagi dengan p . Tabel berikut mencantumkan identitas ini dengan contoh. Setiap identitas dapat diturunkan setelah substitusi definisi logaritma x = b^log_b(x), and/or y = b^log_b(y), di sisi kiri.

	Formula	Contoh
produk	$\log_{b} (x y) = \log_{b} (x) + \log_{b} (y)$	$\log_{3} (243) = \log_{3} (9 \cdot 27) = \log_{3} (9) + \log_{3} (27) = 2 + 3 = 5$
hasil bagi	$\log_{b} (\frac{x}{y}) = \log_{b} (x) - \log_{b} (y)$	$\log_{2} (16) = \log_{2} (\frac{64}{4}) = \log_{2} (64) - \log_{2} (4) = 6 - 2 = 4$
pangkat	$\log_{b} (x^{p}) = p \log_{b} (x)$	$\log_{2} (64) = \log_{2} (2^{6}) = 6 \log_{2} (2) = 6$
akar	$\log_{b} \sqrt[p]{x} = \frac{\log_{b} (x)}{p}$	$\log_{10} \sqrt{1000} = \frac{1}{2} \log_{10} 1000 = \frac{3}{2} = 1.5$

Perubahan basis

Logaritma log_b(x) dapat dihitung dari logaritma x dan b sehubungan dengan basis sembarang k menggunakan rumus berikut:

\log_{b} (x) = \frac{\log_{k} (x)}{\log_{k} (b)} .

Biasanya kalkulator ilmiah menghitung logaritma ke basis 10 dan e .^[11] Logaritma yang terkait dengan basis b apa pun dapat ditentukan menggunakan salah satu dari dua logaritma ini dengan rumus sebelumnya:

\log_{b} (x) = \frac{\log_{10} (x)}{\log_{10} (b)} = \frac{\log_{e} (x)}{\log_{e} (b)} .

Diberikan angka x dan logaritma log_b(x) ke basis yang tidak diketahui b , basis diberikan oleh:

b = x^{\frac{1}{\log_{b} (x)}} .

Identitas fungsi hiperbolik

Fungsi hiperbolik memenuhi banyak identitas, semuanya mirip bentuknya dengan identitas trigonometri. Faktanya, Kaidah Osborn^[12] menyatakan bahwa seseorang dapat mengubah identitas trigonometri apa pun menjadi identitas hiperbolik dengan mengembangkannya sepenuhnya dalam hal kekuatan integral sinus dan cosinus, mengubah sinus menjadi sinh dan cosinus menjadi cosh, dan mengganti tanda setiap suku yang berisi hasil kali 2, 6, 10, 14, ... sinh.^[13]

Fungsi Gudermannian memberikan hubungan langsung antara fungsi melingkar dan fungsi hiperbolik yang tidak melibatkan bilangan kompleks.

Logika dan aljabar universal

Dalam logika matematika dan dalam aljabar universal, identitas didefinisikan sebagai rumus dari bentuk "∀x₁,...,x_n. s = t", di mana s dan t adalah istilah tanpa variabel bebas selain x₁,...,x_n. The quantifier prefix ("∀x₁,...,x_n.") sering dibiarkan implisit, khususnya dalam aljabar universal. Misalnya, aksioma dari monoid sering diberikan sebagai identitas himpunan

{ , , },

atau, dalam notasi singkatnya, sebagai

{ , , }.

Beberapa penulis menggunakan nama "persamaan" daripada "identitas".^[14]^[15]

Lihat pula

Pranala luar

The Encyclopedia of Equation Online encyclopedia of mathematical identities (archived)
A Collection of Algebraic Identities

Referensi

↑ The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity. Math Vault. 2019-08-01.
↑ Mathwords: Identity. www.mathwords.com.
↑ Mathwords: Identity. www.mathwords.com.
↑ Identity - math word definition - Math Open Reference. www.mathopenref.com.
↑ Basic Identities. www.math.com.
↑ Algebraic Identities. www.sosmath.com.
↑ Elizabeth Stapel. Trigonometric Identities. Purplemath.
↑ Identity - math word definition - Math Open Reference. www.mathopenref.com.
↑ The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity. Math Vault. 2019-08-01.
↑ Semua pernyataan di bagian ini dapat ditemukan di , , or , for example.
↑ Stephen Bernstein. Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability. McGraw-Hill. 1999. ISBN 978-0-07-005023-5., p. 21
↑ G. Osborn. 109. Mnemonic for Hyperbolic Formulae. The Mathematical Gazette. 1 January 1902. Vol. 2 (34). hlm. 189. doi:10.2307/3602492.
↑ John Charles Peterson. Technical mathematics with calculus. Cengage Learning. 2003. hlm. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., Chapter 26, page 1155
↑ Nachum Dershowitz. Formal Models and Semantics. Elsevier. 1990. Vol. B. hlm. 243–320.
↑ Wolfgang Wechsler. Universal Algebra for Computer Scientists. Springer. 1992. Vol. 25. ISBN 3-540-54280-9. Here: Def.1 of Sect.3.2.1, p.160.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 26718415 (2025-01-01T01:16:32Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity. Math Vault. 2019-08-01.

[2] Mathwords: Identity. www.mathwords.com.

[3] Mathwords: Identity. www.mathwords.com.

[4] Identity - math word definition - Math Open Reference. www.mathopenref.com.

[5] Basic Identities. www.math.com.

[6] Algebraic Identities. www.sosmath.com.

[7] Elizabeth Stapel. Trigonometric Identities. Purplemath.

[8] Identity - math word definition - Math Open Reference. www.mathopenref.com.

[9] The Definitive Glossary of Higher Mathematical Jargon — Identity. Math Vault. 2019-08-01.

[10] Semua pernyataan di bagian ini dapat ditemukan di , , or , for example.

[11] Stephen Bernstein. Schaum's outline of theory and problems of elements of statistics. I, Descriptive statistics and probability. McGraw-Hill. 1999. ISBN 978-0-07-005023-5., p. 21

[12] G. Osborn. 109. Mnemonic for Hyperbolic Formulae. The Mathematical Gazette. 1 January 1902. Vol. 2 (34). hlm. 189. doi:10.2307/3602492.

[13] John Charles Peterson. Technical mathematics with calculus. Cengage Learning. 2003. hlm. 1155. ISBN 0-7668-6189-9., Chapter 26, page 1155

[14] Nachum Dershowitz. Formal Models and Semantics. Elsevier. 1990. Vol. B. hlm. 243–320.

[15] Wolfgang Wechsler. Universal Algebra for Computer Scientists. Springer. 1992. Vol. 25. ISBN 3-540-54280-9. Here: Def.1 of Sect.3.2.1, p.160.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]