Integral Lebesgue

Dalam matematika modern, Integral Lebesgue suatu konsep integral.

Konstruksi

Ruang ukuran

Integral Lebesgue dapat definisikan untuk fungsi pada suatu ruang ukuran $(X,\Sigma ,\mu )$.

Integral dari fungsi sederhana

Fungsi karakteristik ${\chi }_A:X\to \{0,1\}$ untuk himpunan $A\subseteq X$ adalah

${\chi }_A(x)=\{\begin{array}{cc}1& \mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{a}x\in A\\ 0& \mathrm{j}\mathrm{i}\mathrm{k}\mathrm{a}x\in ̸A\end{array}.$

Suatu fungsi $\varphi :X\to ℝ$ tersebut fungsi sederhana, jika

$\varphi =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\chi }_{A_i}$

untuk ${\alpha }_1,\dots ,{\alpha }_n\in ℝ$, $A_1,\dots ,A_n\in \Sigma$ dan $n\in \mathbb{N}$.

Kita mendefinisikan integral Lebesgue dari fungsi sederhana $\varphi =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i{\chi }_{A_i}$ sebagai

${\int }_X\varphi d\mu =\sum _{i=1}^n{\alpha }_i\mu (A_i).$

Integral dari fungsi tak negatif

Misalnya $f:(X,\Sigma )\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ suatu fungsi terukur dan tak negatif, di mana $ℬ(ℝ)$ aljabar σ Borel. Maka, mendefinisikan integralnya sebagai

${\int }_{X}fd\mu =sup\{{\int }_X\varphi d\mu :\varphi \text{ sederhana, }0\le \varphi \le f\}.$

Perhatikan bahwa ${\int }_{X}fd\mu \in [0,\mathrm{\infty }]$.

Integral dari fungsi terukur sembarang

Misalnya $f:(X,\Sigma )\to (ℝ,ℬ(ℝ))$ suatu fungsi terukur. Selanjutnya fungsi tak negatif $f^{+}$ dan $f^{-}$ adalah didefinisikan tik demi tik sebagai $f^{+}=max\{f,0\}$ dan $f^{-}=max\{-f,0\}$. Perhatikan bahwa $f=f^{+}-f^{-}$ dan $|f|=f^{+}+f^{-}$.

Jika ${\int }_X{f}^{+}d\mu <\mathrm{\infty }$ dan ${\int }_X{f}^{-}d\mu <\mathrm{\infty }$, maka $f$ dikatakan terintegralkan dan kita mendefinisikan

${\int }_{X}fd\mu ={\int }_X{f}^{+}d\mu -{\int }_X{f}^{-}d\mu .$

Jelas, $f$ terintegralkan jika dan hanya jika $\int |f|d\mu <\mathrm{\infty }$.

Sifat-sifat dasar

• Integral itu linear, yaitu jika $\alpha ,\beta \in ℝ$ dan $f,g$ fungsi terintegralkan, maka $\alpha f+\beta g$ juga terintegralkan dengan

${\int }_X\alpha f+\beta gd\mu =\alpha {\int }_{X}fd\mu +\beta {\int }_{X}gd\mu .$

• Integral itu monoton, yaitu jika $f,g$ fungsi terintegralkan dan $f\le g$, maka

${\int }_{X}fd\mu \le {\int }_{X}gd\mu .$

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 22724458 (2023-01-22T19:23:08Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.