Integral kuadratik

Dalam matematika, integral kuadratik adalah integral dengan bentuk umum

\int \frac{d x}{a x^{2} + b x + c}

di mana nilai $a \neq 0$ . Integral di atas dapat diselesaikan dengan melengkapkan kuadrat sempurna pada bagian penyebut, yaitu sebagai berikut

\begin{matrix} \int \frac{d x}{a x^{2} + b x + c} & = \int \frac{4 a}{4 a^{2} x^{2} + 4 a b x + 4 a c} d x \\ = \int \frac{4 a}{{(2 a x)}^{2} + (2 a x) (b) + b^{2} - b^{2} + 4 a c} d x \\ = \int \frac{4 a}{{(2 a x + b)}^{2} - (b^{2} - 4 a c)} d x \end{matrix}

Kasus Diskriminan Positif

Diasumsikan nilai diskriminan $b^{2} - 4 a c > 0$ . Dalam kasus ini, didefinisikan variabel pembantu

$2 a x + b = t$
$b^{2} - 4 a c = k^{2}$

yang mengakibatkan $2 a d x = d t$ dan $k = \sqrt{b^{2} - 4 a c}$ . Dari sini, integral kuadratiknya menjadi

\begin{matrix} \int \frac{d x}{a x^{2} + b x + c} & = \int \frac{4 a}{{(2 a x + b)}^{2} - (b^{2} - 4 a c)} d x \\ = \int \frac{2}{t^{2} - k^{2}} d t \\ = \int \frac{2}{(t - k) (t + k)} d t \end{matrix}

Dengan menggunakan teknik dekomposisi pecahan parsial, perhatikan bahwa

\frac{2}{(t - k) (t - k)} = \frac{1}{k} (\frac{1}{t - k} - \frac{1}{t + k})

Sehingga diperoleh

\begin{matrix} \int \frac{d x}{a x^{2} + b x + c} & = \int \frac{2}{(t - k) (t + k)} d t \\ = \int \frac{1}{k} (\frac{1}{t - k} - \frac{1}{t + k}) d t \\ = \frac{1}{\sqrt{b^{2} - 4 a c}} (\ln | t - k | - \ln | t + k |) + konstanta \\ = \frac{1}{\sqrt{b^{2} - 4 a c}} \ln | \frac{t - k}{t + k} | + konstanta \\ = \frac{1}{\sqrt{b^{2} - 4 a c}} \ln | \frac{2 a x + b - \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a x + b + \sqrt{b^{2} - 4 a c}} | + konstanta \end{matrix}

Kasus Diskriminan Nol

Pada kasus ini, informasi nilai $b^{2} - 4 a c = 0$ akan mempermudah pengerjaan integral kuadratiknya, karena

\begin{matrix} \int \frac{d x}{a x^{2} + b x + c} & = \int \frac{4 a}{{(2 a x + b)}^{2} - (b^{2} - 4 a c)} d x \\ = \int \frac{4 a}{{(2 a x + b)}^{2}} d x \end{matrix}

Dengan menggunakan substitusi $t = 2 a x + b$ (yang berarti $d t = 2 a d x$ ), maka

\begin{matrix} \int \frac{d x}{a x^{2} + b x + c} & = \int \frac{4 a}{{(2 a x + b)}^{2}} d x \\ = \int \frac{2}{t^{2}} d t \\ = - \frac{2}{t} + konstanta \\ = - \frac{2}{2 a x + b} + konstanta \end{matrix}

Kasus Diskriminan Negatif

Dikarenakan nilai diskriminan $b^{2} - 4 a c < 0$ , maka suku kedua pada bagian penyebut dari

\begin{matrix} \int \frac{d x}{a x^{2} + b x + c} & = \int \frac{4 a}{{(2 a x + b)}^{2} - (b^{2} - 4 a c)} d x \\ = \int \frac{4 a}{{(2 a x + b)}^{2} + (4 a c - b^{2})} d x \end{matrix}

bernilai positif, sehingga akan digunakan substitusi

$2 a x + b = \sqrt{4 a c - b^{2}} \tan t$
$2 a d x = \sqrt{4 a c - b^{2}} \sec^{2} t d t$
$\tan^{2} t + 1 = \sec^{2} t$ (lihat identitas Pythagoras)

Akibatnya,

\begin{matrix} \int \frac{d x}{a x^{2} + b x + c} & = \int \frac{4 a}{{(2 a x + b)}^{2} + (4 a c - b^{2})} d x \\ = \int \frac{2}{{(\sqrt{4 a c - b^{2}} \tan t)}^{2} + (4 a c - b^{2})} \cdot \sqrt{4 a c - b^{2}} \sec^{2} t d t \\ = \int \frac{2}{(4 a c - b^{2}) (\tan^{2} t + 1)} \cdot \sqrt{4 a c - b^{2}} \sec^{2} t d t \\ = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \int \frac{\sec^{2} t}{\sec^{2} t} d t \\ = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} t + konstanta \\ = \frac{2}{\sqrt{4 a c - b^{2}}} \arctan (\frac{2 a x + b}{\sqrt{4 a c - b^{2}}}) + konstanta . \end{matrix}

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28437362 (2025-11-13T02:41:38Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.