Luas lingkaran

Berkas:Stereographic projection in 3D.svg

Stereographic projection in 3D

Dalam geometri, luas lingkaran adalah daerah yang dilingkupi oleh kurva yang melengkung sehingga berupa lingkaran, dan galibnya, luas lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut.

$A=\pi r^2$.

Pada rumus di atas, simbol $A$ adalah luas lingkaran, $r$ adalah jari-jari atau dikenal sebagai radius, dan $\pi$ (huruf Yunani yang dibaca pi) adalah konstanta Archimedes yang diaproksimasikan sebagai $3.1415\dots$.

Sejarah

Matematika modern dapat memperoleh luas menggunakan metode kalkulus integral atau turunan yang lebih canggih, analisis riil. Namun luas cakram dipelajari oleh Yunani Kuno. Eudoxus dari Cnidus pada abad kelima SM, telah menemukan bahwa luas cakram sebanding dengan radius kuadratnya. Archimedes menggunakan perkakas geometri Euklides untuk menunjukkan bahwa luas di dalam lingkaran sama dengan luas segitiga siku-siku yang alasnya memiliki panjang keliling lingkaran dan yang tingginya sama dengan jari-jari lingkaran dalam bukunya Pengukuran Lingkaran. Kelilingnya $2\pi r$, dan luas segitiga adalah setengah alas dikalikan tinggi, menghasilkan luas $\pi r^2$untuk cakram. Sebelum Archimedes, Hippocrates adalah orang pertama yang menunjukkan bahwa luas cakram sebanding dengan kuadrat diameternya, sebagai bagian dari kuadraturnya dalam bulan sabit Hippocrates, tetapi tidak mengidentifikasi konstanta proporsionalitas.

Bukti rumus luas lingkaran

Bukti melalui poligon

Selama lebih dari 2000 tahun yang silam, Archimedes menyediakan kunci untuk suatu penyelesaian.

Dengan memperhatikan poligon dalam yang mengaproksimasi daerah melengkung dan pendekatan geometris (anggap lingkaran berjari-jari 1), kita perhatikan poligon dalam beraturan $P_1,P_2,P_3,\dots$ dengan 4 sisi, 8 sisi, 16 sisi, dst. Luas lingkaran adalah limit ketika $n\to \mathrm{\infty }$ dari luas-luas $P_n$. Misal $A$ menyatakan luas suatu daerah, maka

$A(\text{lingkaran})=\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}A(P_n)$.

Hal yang serupa untuk pendekatan geometris terhadap poligon luar.

Bukti melalui semilingkaran

Tinjau daerah dengan selang $[-r,r]$, maka kita bisa menghitung luas setengah lingkaran dengan $y=\sqrt{r^2-x^2}$.

$A_{\text{setengah lingkaran}}={\int }_{-r}^r\sqrt{r^2-x^2}\mathrm{d}x={\frac{r^2}{2}\arcsin \frac{x}{r}+\frac{x}{2}\sqrt{r^2-x^2}|}_{-r}^r=\frac{r^2}{2}[\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}]=\frac{\pi r^2}{2}$.

Luas lingkaran, ialah dua kali dari luas semilingkaran, maka kita tuliskan

$A_{\text{lingkaran}}=2A_{\text{setengah lingkaran}}=\pi r^2$.

Bukti melalui estimasi dari luas persegi panjang

Bukti yang sederhana adalah melalui luas persegi panjang (sebagai estimasi saja). Dengan memotong lingkaran sehingga masing-masing luas juring adalah sama, serta transfigurasi melalui penyusunan luas juring tersebut (dengan warna putih dan kuning, lihat gambar) menjadi persegi panjang, maka kita dapat mengeksploitasi luas persegi panjang untuk mencari luas lingkaran.

Luas lingkaran yang diperoleh sama dengan luas persegi panjang, yaitu setengah keliling lingkaran dikali dengan jari-jari.

$A=\frac{1}{2}\cdot C\cdot r=\frac{1}{2}\cdot (2\pi r)\cdot r=\pi r^2$.

Bukti melalui segitiga

Selain pembuktian melalui estimasi terhadap luas persegi panjang sebagai pencarian luas lingkaran, kita dapat membuktikannya melalui luas segitiga siku-siku. Dengan memperhatikan gambar bahwa luas lingkaran divisualisasikan melalui animasi, maka kita dapat memisalkan masing-masing jari-jari dan keliling lingkaran sebagai alas dan tinggi pada segitiga siku-siku.

$A=\frac{1}{2}\cdot C\cdot r=\frac{1}{2}\cdot (2\pi r)\cdot r=\pi r^2$

Lihat pula

• Diameter, dua kalinya jari-jari.
• Lingkaran
• Bulan sabit Hippocrates

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 22563160 (2023-01-05T18:57:35Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.