Matriks permutasi

Contoh dari Matriks permutasi

Dalam matematika, khususnya dalam teori matriks, matriks permutasi adalah matriks biner persegi yang memiliki tepat satu entri 1 di setiap baris dan setiap kolom dan 0 di tempat lain. Setiap matriks tersebut, misalnya , mewakili permutasi dari elemen dan, ketika digunakan untuk mengalikan matriks lain, katakanlah , menghasilkan permutasi baris (saat pra-perkalian, untuk membentuk ) atau kolom (saat pasca-perkalian, untuk membentuk ) dari matriks .

Definisi

Diberikan permutasi dari m elemen,

$\pi :\{1,\dots ,m\}\to \{1,\dots ,m\}$

diwakili dalam bentuk dua baris oleh

$\left(\begin{array}{cccc}1& 2& \cdots & m\\ \pi (1)& \pi (2)& \cdots & \pi (m)\end{array}\right),$

ada dua cara alami untuk mengasosiasikan permutasi dengan matriks permutasi; yaitu, dimulai dengan matriks identitas m × m, , baik mengubah kolom atau mengubah baris, menurut . Kedua metode untuk mendefinisikan matriks permutasi muncul dalam literatur dan properti yang diekspresikan dalam satu representasi dapat dengan mudah dikonversi ke representasi lainnya. Artikel ini terutama akan membahas salah satu dari representasi ini dan yang lainnya hanya akan disebutkan jika ada perbedaan yang harus diperhatikan.

Matriks permutasi m × m P = (p_ij) diperoleh dengan mengubah kolom-kolom dari matriks identitas , yaitu untuk setiap i, i, if j = (i) sebaliknya, akan disebut sebagai representasi kolom dalam artikel ini. Karena entri pada baris i semuanya 0 kecuali bahwa 1 muncul di kolom (i), kita dapat menulis

$P_{\pi }=\left[\begin{array}{c}{𝐞}_{\pi (1)}\\ {𝐞}_{\pi (2)}\\ ⋮\\ {𝐞}_{\pi (m)}\end{array}\right],$

di mana ${𝐞}_j$, vektor basis standar, menyatakan vektor baris dengan panjang m dengan 1 pada posisi ke-j dan 0 pada setiap posisi lainnya.

Misalnya, matriks permutasi P sesuai dengan permutasi $\pi =\left(\begin{array}{ccccc}1& 2& 3& 4& 5\\ 1& 4& 2& 5& 3\end{array}\right)$ adalah

$P_{\pi }=\left[\begin{array}{c}{𝐞}_{\pi (1)}\\ {𝐞}_{\pi (2)}\\ {𝐞}_{\pi (3)}\\ {𝐞}_{\pi (4)}\\ {𝐞}_{\pi (5)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{𝐞}_1\\ {𝐞}_4\\ {𝐞}_2\\ {𝐞}_5\\ {𝐞}_3\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}1& 0& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 1& 0\\ 0& 1& 0& 0& 0\\ 0& 0& 0& 0& 1\\ 0& 0& 1& 0& 0\end{array}\right].$

Amati bahwa kolom ke-j dari matriks identitas sekarang muncul sebagai kolom ke-(j) dari P.

Representasi lain, diperoleh dengan permutasi baris dari matriks identitas , yaitu, untuk setiap j, p_ij = 1 jika i = (j) dan sebaliknya, akan disebut sebagai representasi baris.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29525041 (2026-08-04T15:06:06Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.