Matriks rotasi

Dalam aljabar linear, matriks rotasi adalah matriks transformasi yang digunakan untuk melakukan rotasi dalam ruang Euclidean. Misalnya, dengan menggunakan konvensi di bawah ini, matriks

$R=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]$

memutar titik-titik pada bidang berlawanan arah jarum jam melalui terhadap sumbu terhadap titik asal sistem koordinat kartesius dua dimensi. Untuk melakukan rotasi pada titik bidang dengan koordinat standar , harus ditulis sebagai vektor kolom, dan dikalikan dengan matriks :

$R𝐯=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}x\cos \theta -y\sin \theta \\ x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}\right].$

Jika dan adalah koordinat titik akhir suatu vektor, di mana adalah kosinus dan adalah sinus, maka persamaan di atas menjadi rumus sudut penjumlahan trigonometri. Memang, matriks rotasi dapat dilihat sebagai rumus sudut penjumlahan trigonometri dalam bentuk matriks. Salah satu cara untuk memahami ini adalah dengan mengatakan bahwa kita memiliki sebuah vektor pada sudut 30° dari sumbu , dan kita ingin memutar sudut itu sebesar 45° lebih jauh. Kita hanya perlu menghitung koordinat titik akhir vektor pada 75°.

Dalam dua dimensi

Dalam dua dimensi, matriks rotasi standar memiliki bentuk berikut:

$R(\theta )=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right].$

Ini memutar vektor kolom melalui perkalian matriks berikut,

$\left[\begin{array}{c}{x}^{\prime }\\ y^{\prime }\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cc}\cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{array}\right]\left[\begin{array}{c}x\\ y\end{array}\right].$

Jadi, koordinat baru dari suatu titik setelah rotasi adalah

$\begin{array}{cc}{x}^{\prime }& =x\cos \theta -y\sin \theta \\ y^{\prime }& =x\sin \theta +y\cos \theta \end{array}.$

Contoh

Misalnya, ketika vektor

$\widehat{𝐱}=\left[\begin{array}{c}1\\ 0\end{array}\right]$

diputar dengan sudut , koordinat barunya adalah

$\left[\begin{array}{c}\cos \theta \\ \sin \theta \end{array}\right],$

dan ketika vektor

$\widehat{𝐲}=\left[\begin{array}{c}0\\ 1\end{array}\right]$

diputar dengan sudut , koordinat barunya adalah

$\left[\begin{array}{c}-\sin \theta \\ \cos \theta \end{array}\right].$

Pranala luar

• Rotation matrices at Mathworld
• Math Awareness Month 2000 interactive demo (requires Java)
• Rotation Matrices at MathPages
• A parametrization of SOn(R) by generalized Euler Angles
• Rotation about any point

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29525014 (2026-08-04T15:03:18Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.