Pertidaksamaan Jensen

Pertidaksamaan Jensen adalah sebuah temuan matematika awal abad 19 yang masih dipakai sampai sekarang, termasuk di algoritma EM. Algoritma EM itu sendiri banyak dipakai untuk memecahkan persoalan di model rumit yang melibatkan variabel laten (tersembunyi) seperti LDA, atau Gaussian Mixture Model yang lainnya. Intinya, pertidaksamaan Jensen menyatakan bahwa garis sekan dari sebuah fungsi konveks senantiasa terletak di atas grafik fungsi tersebut. Dengan jabaran lebih presisinya (dalam setting probabilistik) adalah sebagai berikut:

E [f (x)] \geq f (E [x])

Secara analitis, dapat juga dimodelkan sebagai berikut:

t f (x_{1}) + (1 - t) f (x_{2}) \geq f (t x_{1} + (1 - t) x_{2})

Dalam gambar, garis sekan (tali busur) merah yang dimodelkan dengan persamaan:

(x, y) = (t x_{1} + (1 - t) x_{2}, t f (x_{1}) + (1 - t) f (x_{2}))

Senantiasa $y$ dari garis tersebut berada di atas $y$ dari kurva:

(x, y) = (t x_{1} + (1 - t) x_{2}, f (t x_{1} + (1 - t) x_{2}))

Bacaan lanjut

Tristan Needham (1993) "A Visual Explanation of Jensen's Inequality", American Mathematical Monthly 100(8):768–71.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 26171733 (2024-08-15T08:41:56Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.