Subgrup Frattini

Dalam matematika, terutama dalam teori grup, Subgrup Frattini $Φ (G)$ dari grup adalah persimpangan dari semua subgrup maksimal dari . Untuk kasus di mana tidak memiliki subgrup maksimal, misalnya grup sepele { e } atau grup Prüfer, ini ditentukan oleh $Φ (G) = G$ . Ini analog dengan Jacobson radikal dalam teori gelanggang, dan secara intuitif dapat dianggap sebagai subkelompok "elemen kecil" (lihat karakterisasi "non-generator" di bawah). Ini dinamai Giovanni Frattini, yang mendefinisikan konsep tersebut dalam sebuah makalah yang diterbitkan pada tahun 1885.^[1]

Beberapa fakta

$Φ (G)$ sama dengan himpunan semua non-generator atau elemen non-penghasil dari . Elemen yang tidak menghasilkan adalah elemen yang selalu dapat dihapus dari Menghasilkan himpunan; yaitu, elemen a dari sedemikian rupa sehingga setiap kali adalah himpunan penghasil yang berisi a , $X ∖ {a}$ juga merupakan himpunan pembangkit .
$Φ (G)$ selalu merupakan subgrup karakteristik dari ; khususnya, ini selalu merupakan subgrup normal dari .
Jika terbatas, maka $Φ (G)$ adalah nilpoten.
Jika adalah grup p , maka $Φ (G) = G^{p} [G, G]$ . Jadi subgrup Frattini adalah yang terkecil (sehubungan dengan inklusi) subgrup normal N sehingga grup hasil bagi $G / N$ adalah grup abelian dasar, yaitu isomorfik ke jumlah langsung dari grup siklik dari order p . Apalagi jika grup kecerdasan $G / Φ (G)$ (juga disebut hasil bagi Frattini dari ) memiliki urutan $p^{k}$ , maka k adalah jumlah generator terkecil untuk (yaitu kardinalitas terkecil dari himpunan pembangkit untuk ). Secara khusus, grup p yang terbatas adalah siklik jika dan hanya jika hasil bagi Frattini-nya adalah siklik (dengan urutan p ). Grup p yang terbatas adalah abelian dasar jika dan hanya jika subgrup Frattini-nya adalah grup sepele, $Φ (G) = {e}$ .
Jika dan terbatas, maka $Φ (H \times K) = Φ (H) \times Φ (K)$ .

Contoh grup dengan subgrup Frattini nontrivial adalah grup siklik order $p^{2}$ , di mana p adalah bilangan prima, dihasilkan oleh a , maka; $Φ (G) = ⟨ a^{p} ⟩$ .

Lihat pula

Referensi

↑ Giovanni Frattini. Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni. Accademia dei Lincei, Rendiconti. 1885. Vol. I. hlm. 281–285, 455–457.

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 29219470 (2026-05-12T11:40:26Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Gambar pada artikel ini bersumber dari Wikimedia Commons dan mengikuti ketentuan lisensi masing-masing berkas. Mohon gunakan konten dan media secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

[1] Giovanni Frattini. Intorno alla generazione dei gruppi di operazioni. Accademia dei Lincei, Rendiconti. 1885. Vol. I. hlm. 281–285, 455–457.

[1]