Tabel turunan

Tabel turunan merupakan tabel yang menyenaraikan turunan fungsi-fungsi matematika. Operasi utama dalam kalkulus diferensial adalah mencari turunan fungsi. Dalam tabel berikut ini, f dan g adalah fungsi riil terturunkan, dan c adalah sebuah bilangan riil. Rumus-rumus berikut ini cukup untuk menurunkan fungsi elementer manapun.

Kaidah penurunan umum

Kelinearan

$\left(cf\right)=c{f}^{\prime }$

$\left(f+g\right)=f^{\prime }+g^{\prime }$

Kaidah darab

$\left(fg\right)=f^{\prime }g+f{g}^{\prime }$

Kaidah timbalbalik

$\left(\frac{1}{f}\right)=\frac{-f^{\prime }}{f^2},f\ne 0$

Kaidah hasil-bagi

$\left(\frac{f}{g}\right)=\frac{f^{\prime }g-f{g}^{\prime }}{g^2},g\ne 0$

Kaidah rantai

$(f\circ g{)}^{\prime }=(f^{\prime }\circ g)g^{\prime }$

Turunan fungsi invers

$(f^{-1}{)}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }\circ f^{-1}}$

untuk setiap fungsi terdiferensialkan f dengan argumen riil dan dengan nilai riil, bila komposisi dan invers ada

Kaidah pangkat umum

$(f^g{)}^{\prime }=f^g(g^{\prime }\ln f+\frac{g}{f}{f}^{\prime })$

Turunan fungsi sederhana

$c^{\prime }=0$

$x^{\prime }=1$

$(cx{)}^{\prime }=c$

$|x{|}^{\prime }=\frac{x}{|x|}=\mathrm{sgn}x,x\ne 0$

$(x^c{)}^{\prime }=c{x}^{c-1}\text{baik }{x}^c\text{ maupun }c{x}^{c-1}\text{ terdefinisi}$

$\left(\frac{1}{x}\right)=\left(x^{-1}\right)=-x^{-2}=-\frac{1}{x^2}$

$\left(\frac{1}{x^c}\right)=\left(x^{-c}\right)=-c{x}^{-(c+1)}=-\frac{c}{x^{c+1}}$

$\left(\sqrt{x}\right)=\left(x^{\frac{1}{2}}\right)=\frac{1}{2}{x}^{-\frac{1}{2}}=\frac{1}{2\sqrt{x}},x>0$

Turunan fungsi eksponensial dan logaritmik

$\left(c^x\right)=c^x\ln c,c>0$

Perhatikan bahwa persamaan tersebut berlaku untuk semua c, namun turunan tersebut menghasilkan bilangan kompleks

$\left(e^x\right)=e^x$

$({}^c\log x)=\frac{1}{x\ln c},c>0$

$(\ln x)=\frac{1}{x}$

Turunan fungsi trigonometri

$(\sin x{)}^{\prime }=\cos x$	$(\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\cos x{)}^{\prime }=-\sin x$	$(\arccos x{)}^{\prime }=\frac{-1}{\sqrt{1-x^2}}$
$(\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x=\frac{1}{{\cos }^{2}x}=1+{\tan }^{2}x$	$(\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}$
$(\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x$	$(\mathrm{arcsec}x{)}^{\prime }=\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x$	$(\mathrm{arccsc}x{)}^{\prime }=\frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$
$(\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}=-(1+{\cot }^{2}x)$	$(\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=\frac{-1}{1+x^2}$

Turunan fungsi hiperbolik

$(\sinh x{)}^{\prime }=\cosh x=\frac{e^x+e^{-x}}{2}$	$(\mathrm{arcsinh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$
$(\cosh x{)}^{\prime }=\sinh x=\frac{e^x-e^{-x}}{2}$	$(\mathrm{arccosh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}$
$(\tanh x{)}^{\prime }={\mathrm{sech}}^{2}x$	$(\mathrm{arctanh}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}$
$(\mathrm{sech}x{)}^{\prime }=-\tanh x\mathrm{sech}x$	$(\mathrm{arcsech}x{)}^{\prime }=\frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}$
$(\mathrm{csch}x{)}^{\prime }=-\coth x\mathrm{csch}x$	$(\mathrm{arccsch}x{)}^{\prime }=\frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}$
$(\coth x{)}^{\prime }=-{\mathrm{csch}}^{2}x$	$(\mathrm{arccoth}x{)}^{\prime }=\frac{1}{1-x^2}$

Turunan fungsi khusus

Fungsi gamma $(\Gamma (x){)}^{\prime }={\int }_0^{\mathrm{\infty }}{t}^{x-1}{e}^{-t}\ln tdt$ $(\Gamma (x){)}^{\prime }=\Gamma (x)(\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}(\ln (1+\frac{1}{n})-\frac{1}{x+n})-\frac{1}{x})=\Gamma (x)\psi (x)$

Fungsi Riemann Zeta $(\zeta (x){)}^{\prime }=-\sum _{n=1}^{\mathrm{\infty }}\frac{\ln n}{n^x}=-\frac{\ln 2}{2^x}-\frac{\ln 3}{3^x}-\frac{\ln 4}{4^x}-\cdots$ $(\zeta (x){)}^{\prime }=-\sum _{p\text{ prime}}\frac{p^{-x}\ln p}{(1-p^{-x}{)}^2}\prod _{q\text{ prime},q\ne p}\frac{1}{1-q^{-x}}$

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 23612293 (2023-06-02T09:33:32Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.