Vektor satuan

Vektor satuan adalah suatu vektor yang ternormalisasi, yang berarti panjangnya bernilai 1. Umumnya dituliskan dalam menggunakan topi (bahasa Inggris: Hat), sehingga: $\hat{u}$ dibaca "u-topi" ('u-hat').

Suatu vektor ternormalisasi $\hat{u}$ dari suatu vektor u bernilai tidak nol, adalah suatu vektor yang berarah sama dengan u, yaitu:

\hat{𝐮} = \frac{𝐮}{‖ 𝐮 ‖},

di mana ||u|| adalah norma (atau panjang atau besar) dari u. Istilah vektor ternormalisasi kadang-kadang digunakan sebagai sinonim dari vektor satuan. Dalam gaya penulisan yang lain (tidak menggunakan huruf tebal) adalah dengan menggunakan panah di atas suatu variabel, yaitu

\hat{u} = \frac{\vec{u}}{‖ \vec{u} ‖} = \frac{\vec{u}}{u} .

Di sini $\vec{u}$ adalah vektor yang dimaksud dan $u$ adalah besarnya.

Vektor

Posisi vektor

$\vec{a} = (a_{1}, a_{2}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j}$

\vec{a} = (a_{1}, a_{2}, a_{3}) = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \\ a_{3} \end{matrix}) = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}

Panjang vektor

Berada di $R^{2}$

Panjang vektor a dalam posisi

(a_{1}, a_{2})

adalah

| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2}}

Panjang vektor b dalam posisi

(b_{1}, b_{2})

adalah

| \vec{b} | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2}}

Panjang vektor c dalam posisi

(a_{1}, a_{2})

dan

(b_{1}, b_{2})

adalah

| \vec{c} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2}}

Berada di $R^{3}$

Panjang vektor a dalam posisi

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

adalah

| \vec{a} | = \sqrt{a_{1}^{2} + a_{2}^{2} + a_{3}^{2}}

Panjang vektor b dalam posisi

(b_{1}, b_{2}, b_{3})

adalah

| \vec{b} | = \sqrt{b_{1}^{2} + b_{2}^{2} + b_{3}^{2}}

Panjang vektor c dalam posisi

(a_{1}, a_{2}, a_{3})

dan

(b_{1}, b_{2}, b_{3})

adalah

| \vec{c} | = \sqrt{(b_{1} - a_{1})^{2} + (b_{2} - a_{2})^{2} + (b_{3} - a_{3})^{2}}

Jumlah dan selisih kedua vektor

$| \vec{a} \pm \vec{b} | = \sqrt{| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2} \pm 2 \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot c o s C}$

Vektor satuan

\hat{a} = \frac{\vec{a}}{| \vec{a} |}

Operasi aljabar pada vektor

Penjumlahan dan pengurangan

terdiri dari 2 aturan jenis yaitu aturan segitiga dan jajar genjang

\vec{c} = \vec{a} + \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) + (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} + b_{1} \\ a_{2} + b_{2} \end{matrix})

\vec{c} = \vec{a} - \vec{b} = (\begin{matrix} a_{1} \\ a_{2} \end{matrix}) - (\begin{matrix} b_{1} \\ b_{2} \end{matrix}) = (\begin{matrix} a_{1} - b_{1} \\ a_{2} - b_{2} \end{matrix})

Perkalian

skalar dengan vektor

Jika k skalar tak nol dan vektor $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ maka vektor $k \vec{a} = (k a_{1}, k a_{2}, k a_{3})$

titik dua vektor

Jika vektor $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ dan vektor $\vec{b} = b_{1} \hat{i} + b_{2} \hat{j} + b_{3} \hat{k}$ maka $\vec{a} \cdot \vec{b} = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3}$

titik dua vektor dengan membentuk sudut

Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ vektor tak nol dan sudut $α$ di antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ maka perkalian skalar vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\vec{a} \cdot \vec{b}$ = $| \vec{a} | \cdot | \vec{b} | c o s α$

silang dua vektor

Jika vektor $\vec{a} = a_{1} \hat{i} + a_{2} \hat{j} + a_{3} \hat{k}$ dan vektor $\vec{b} = b_{1} \hat{i} + b_{2} \hat{j} + b_{3} \hat{k}$ maka $\vec{a} \times \vec{b} = (a_{2} b_{3} \hat{i} + a_{3} b_{1} \hat{j} + a_{1} b_{2} \hat{k}) - (a_{2} b_{1} \hat{k} + a_{3} b_{2} \hat{i} + a_{1} b_{3} \hat{j})$

[\begin{matrix} \hat{i} & \hat{j} & \hat{k} & \hat{i} & \hat{j} \\ a_{1} & a_{2} & a_{3} & a_{1} & a_{2} \\ b_{1} & b_{2} & b_{3} & b_{1} & b_{2} \end{matrix}]

silang dua vektor dengan membentuk sudut

Jika $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ vektor tak nol dan sudut $α$ di antara vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ maka perkalian skalar vektor $\vec{a}$ dan $\vec{b}$ adalah $\vec{a} \times \vec{b}$ = $| \vec{a} | \times | \vec{b} | s i n α$

Sifat operasi aljabar pada vektor

$\vec{a} + \vec{b} = \vec{b} + \vec{a}$
$(\vec{a} + \vec{b}) + \vec{c} = \vec{a} + (\vec{b} + \vec{c})$
$\vec{a} + 0 = 0 + \vec{a}$
$k (\vec{a} + \vec{b}) = k \vec{a} + k \vec{b}$
$(k + l) \vec{a} = k \vec{a} + l \vec{a}$
$\vec{a} + (- \vec{a}) = 0$
$\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$
$(\vec{a} \cdot \vec{b}) \cdot \vec{c} = \vec{a} \cdot (\vec{b} \cdot \vec{c})$
$\vec{a} \cdot 1 = 1 \cdot \vec{a}$
$k (\vec{a} \cdot \vec{b}) = k \vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{a} \cdot k \vec{b}$
$(k \cdot l) \vec{a} = k (l \cdot \vec{a})$
$\vec{a} \cdot \vec{a} = {| \vec{a} |}^{2}$
$\vec{a} \times \vec{b} \neq \vec{b} \times \vec{a}$
$\vec{a} \times \vec{b} = - (\vec{b} \times \vec{a})$
$(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c} \neq \vec{a} \times (\vec{b} \times \vec{c})$
$\vec{a} \cdot (\vec{b} \times \vec{c}) = \vec{b} \cdot (\vec{c} \times \vec{a}) = \vec{c} \cdot (\vec{a} \times \vec{b})$
$\vec{a} \times (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \times \vec{b} + \vec{a} \times \vec{c}$
$k (\vec{a} \times \vec{b}) = k \vec{a} \times \vec{b} = \vec{a} \times k \vec{b}$

Hubungan vektor dengan vektor lain

Perkalian titik

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor $\vec{a}$ dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos 90^{\circ}

\vec{a} \cdot \vec{b} = 0

Sejajar

Jika vektor $\vec{a}$ sejajar dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos 0^{\circ}

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

\vec{a} \cdot \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \cos 180^{\circ}

\vec{a} \cdot \vec{b} = - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

Perkalian silang

Saling tegak lurus

Jika tegak lurus antara vektor $\vec{a}$ dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin 90^{\circ}

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin 270^{\circ}

\vec{a} \times \vec{b} = - | \vec{a} | \cdot | \vec{b} |

Jika $β > 90^{\circ}$ maka dua vektor tersebut searah

Jika $β < 90^{\circ}$ maka vektor saling berlawanan arah

Sejajar

Jika vektor $\vec{a}$ sejajar dengan vektor $\vec{b}$ maka

\vec{a} \times \vec{b} = | \vec{a} | \cdot | \vec{b} | \sin 0^{\circ}

\vec{a} \times \vec{b} = 0

Sudut dua vektor

Jika vektor $\vec{a}$ dan vektor $\vec{b}$ sudut yang dapat dibentuk dari kedua vektor tersebut adalah $c o s α = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{a} | \cdot | \vec{b} |}$

Panjang proyeksi dan proyeksi vektor

Panjang proyeksi vektor

\vec{a}

pada vektor

\vec{b}

adalah

| \vec{c} | = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{| \vec{b} |}

Proyeksi vektor

\vec{a}

pada vektor

\vec{b}

adalah

\vec{c} = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{{| \vec{b} |}^{2}} \cdot \vec{b}

Metode

segitiga: $\vec{R} = \vec{a} + \vec{b}$

jajar genjang: $\vec{R} = | \vec{a} - \vec{b} | = \sqrt{| \vec{a} |^{2} + | \vec{b} |^{2} - 2 \cdot \vec{a} \cdot \vec{b} \cdot c o s C}$

Perbandingan

Aturan jajar genjang: Posisi vektor; $\vec{N} = \frac{m s + n r}{m + n}$

Berada di

R^{2}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n})

Berada di

R^{3}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n}, \frac{m z_{2} + n z_{1}}{m + n})

Satu garis

Perbandingan posisi dalam adalah m:n

Posisi vektor

\vec{N} = \frac{m s + n r}{m + n}

Berada di

R^{2}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n})

Berada di

R^{3}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} + n x_{1}}{m + n}, \frac{m y_{2} + n y_{1}}{m + n}, \frac{m z_{2} + n z_{1}}{m + n})

Perbandingan posisi luar adalah m:-n

Posisi vektor

\vec{N} = \frac{m s - n r}{m - n}

Berada di

R^{2}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} - n x_{1}}{m - n}, \frac{m y_{2} - n y_{1}}{m - n})

Berada di

R^{3}

\vec{N} = (\frac{m x_{2} - n x_{1}}{m - n}, \frac{m y_{2} - n y_{1}}{m - n}, \frac{m z_{2} - n z_{1}}{m - n})

Transformasi

Transformasi terdiri dari 2 jenis yaitu:

Transformasi isometri

Transformasi isometri adalah transformasi yang dapat mengubah bentuknya. Contohnya translasi (penggeseran), refleksi (perpindahan) dan rotasi (perputaran).

Transformasi nonisometri

Transformasi nonisometri adalah transformasi yang tidak dapat mengubah bentuknya. Contohnya dilatasi (perubahan), stretching (regangan) dan shearing (gusuran).

Translasi

Rumus translasi adalah: $(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

Refleksi

Rumus refleksi adalah:

tanpa titik pusat

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} c o s 2 α & s i n 2 α \\ s i n 2 α & - c o s 2 α \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

dengan titik pusat (a,b)

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} c o s 2 α & s i n 2 α \\ s i n 2 α & - c o s 2 α \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$

Rotasi

Rumus rotasi adalah:

tanpa titik pusat

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} c o s α & - s i n α \\ s i n α & c o s α \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

dengan titik pusat (a,b)

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} c o s α & - s i n α \\ s i n α & c o s α \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$

Dilatasi

Rumus dilatasi adalah:

tanpa titik pusat

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

dengan titik pusat (a,b)

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & k \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$

Stretching

Rumus stretching adalah:

sumbu x

tanpa titik pusat

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

dengan titik pusat (a,b)

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$

sumbu y

tanpa titik pusat

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

dengan titik pusat (a,b)

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$

Shearing

Rumus shearing adalah:

sumbu x

tanpa titik pusat

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

dengan titik pusat (a,b)

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$

sumbu y

tanpa titik pusat

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x \\ y \end{matrix})$

dengan titik pusat (a,b)

$(\begin{matrix} x^{'} \\ y^{'} \end{matrix})$ = $(\begin{matrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{matrix})$ $(\begin{matrix} x - a \\ y - b \end{matrix})$ + $(\begin{matrix} a \\ b \end{matrix})$

Rumus sederhana

Keterangan	Posisi	Hasil
Translasi
penggeseran (a,b)	$(x, y)$	$(x + a, y + b)$
Refleksi
sumbu x [0°]	$(x, y)$	$(x, - y)$
sumbu y [90°]	$(x, y)$	$(- x, y)$
y=x [45°]	$(x, y)$	$(y, x)$
y=-x [135°]	$(x, y)$	$(- y, - x)$
pusat (0,0) [0° dan 90°]	$(x, y)$	$(- x, - y)$
pusat (a,b) [0° dan 90°]	$(x, y)$	$(2 a - x, 2 b - y)$
pusat (a,0) [0° dan 90°]	$(x, y)$	$(2 a - x, y)$
pusat (0,b) [0° dan 90°]	$(x, y)$	$(x, 2 b - y)$
Rotasi
berpusat (0,0)
90°	$(x, y)$	$(- y, x)$
-90°	$(x, y)$	$(y, - x)$
180°	$(x, y)$	$(- x, - y)$
berpusat (a,b)
90°	$(x, y)$	$(- y + a + b, x - a + b)$
-90°	$(x, y)$	$(y - a + b, - x + a + b)$
180°	$(x, y)$	$(- x + 2 a, - y + 2 b)$
berpusat (0,0)
Dilatasi
skala k	$(x, y)$	$(k \cdot x, k \cdot y)$
Stretching
sumbu x dan skala k	$(x, y)$	$(k \cdot x, y)$
sumbu y dan skala k	$(x, y)$	$(x, k \cdot y)$
Shearing
sumbu x dan skala k	$(x, y)$	$(k \cdot x + y, y)$
sumbu y dan skala k	$(x, y)$	$(x, x + k \cdot y)$
berpusat (a,b)
Dilatasi
skala k	$(x, y)$	$(k \cdot x + (1 - k) a, k \cdot y + (1 - k) b)$
Stretching
sumbu x dan skala k	$(x, y)$	$(k \cdot x + (1 - k) a, y)$
sumbu y dan skala k	$(x, y)$	$(x, k \cdot y + (1 - k) b)$
Shearing
sumbu x dan skala k	$(x, y)$	$(x + k \cdot (y - b)), y)$
sumbu y dan skala k	$(x, y)$	$(x, y + k \cdot (x - a))$

Lihat pula

Transformasi

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 27447008 (2025-06-22T11:02:25Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.