Lihat sumber Bukti Furstenberg mengenai takhingga banyaknya bilangan prima

Dalam [[matematika]], terutama dalam [[teori bilangan]], bukti [[Hillel Furstenberg]] mengenai takhingga banyaknya bilangan prima merupakan [[pembuktian matematika|bukti]] [[topologi]] bahwa [[himpunan (matematika)|himpunan]] [[bilangan bulat]] memuat [[himpunan takhingga|takhingga]] banyaknya [[bilangan prima]]. Jika ditelaah dengan seksama, isi pembuktiannya lebih condong kepada pernyataan mengenai sifat-sifat [[barisan dan deret aritmetika|barisan aritmetika]] dibandingkan pernyataan mengenai topologi.<ref>Idris D. Mercer. [http://www.idmercer.com/monthly355-356-mercer.pdf On Furstenberg's Proof of the Infinitude of Primes]. ''American Mathematical Monthly''. 2009. Vol. 116 (4). hlm. 355–356. doi:10.4169/193009709X470218.</ref><ref>Pete L. Clark. [https://www.jstor.org/stable/10.4169/amer.math.monthly.124.3.198 The Euclidean Criterion for Irreducibles]. ''The American Mathematical Monthly''. 2017. Vol. 124 (3). hlm. 198–216. doi:10.4169/amer.math.monthly.124.3.198. Lihat pembahasan tepat setelah Lema 3.2 atau lihat Bagian 3.5.</ref> Berbeda dengan [[teorema Euclid#Bukti Euclid|bukti klasik dari Euclid]], bukti Furstenberg merupakan [[pembuktian melalui kontradiksi]]. Bukti Furstenberg dipublikasikan pada tahun 1955 dalam ''[[The American Mathematical Monthly]]'' ketik beliau masih menjadi mahasiswa strata 1 di [[Universitas Yeshiva]].

== Bukti Furstenberg ==
Didefinisikan [[ruang topologis|topologi]] pada <math>\mathbb{Z}</math>yang dikenal sebagai [[topologi bilangan bulat berjarak sama]]dengan mendefinisikan suatu himpunan <math>H \subseteq \mathbb{Z}</math> sebagai [[himpunan terbuka]] [[jika dan hanya jika]] [[himpunan kosong|<math>H = \varnothing</math>]] atau <math>H</math> dapat dinyatakan sebagai [[gabungan (teori himpunan)|gabungan]] dari barisan aritmetika <math>a \mathbb{Z} + b</math>, yaitu

<math display="block">a \mathbb{Z} + b = \left\{ an + b \mid n \in \mathbb{Z} \right\}</math>

dengan <math>a \neq 0</math>. Hal ini [[kesetaraan logika|setara]] dengan menyatakan bahwa <math>H</math> adalah himpunan terbuka jika dan hanya jika untuk setiap <math>x \in H</math>, terdapat suatu bilangan bulat <math>a \neq 0</math> sedemikian sehingga <math>a \mathbb{Z} + x \subseteq H</math>. Berdasarkan definisi yang telah diberikan, maka [[aksioma]] untuk [[ruang topologis|ruang topologi]] dapat dengan mudah diverifikasi:

Topologi ini memiliki dua sifat yang perlu digarisbawahi:
# Oleh karena setiap himpunan terbuka tak kosong memuat [[himpunan takhingga|takhingga banyaknya elemen]], setiap [[himpunan hingga]] tak kosong bukanlah himpunan terbuka. Dengan kata lain, [[komplemen (teori himpunan)|komplemen]] dari sembarang himpunan hingga tak kosong bukanlah [[himpunan tertutup]].
# Himpunan [[Basis (topologi)|basis]] <math>a \mathbb{Z} + b</math> merupakan [[himpunan buka-tutup|himpunan terbuka sekaligus tertutup]], sebab <math>a \mathbb{Z} + b</math> merupakan himpunan terbuka (berdasarkan definisi), dan komplemen dari <math>a \mathbb{Z} + b</math> ialah <math display="block>(a \mathbb{Z} + b)^{\mathsf{c}} = \bigcup_{k \, = \, 1}^{\left| a \right| - 1} a \mathbb{Z} + b + k</math>

Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat selain <math>-1</math> dan <math>1</math> merupakan [[pembagi#definisi|kelipatan]] dari suatu [[bilangan prima]]. Akibatnya,
<math display="block>\mathbb{Z} \setminus \left\{ -1, \, 1 \right\} = \bigcup_{p \, \in \, P} p \mathbb{Z}</math>
dengan <math>P</math> menyatakan himpunan semua bilangan prima. Berdasarkan sifat pertama, himpunan <math>\mathbb{Z} \setminus \left\{ -1, \, 1 \right\}</math> bukan merupakan himpunan tertutup. Di sisi lain, setiap himpunan <math>p \mathbb{Z}</math> merupakan himpunan tertutup, berdasarkan sifat kedua. Andaikan <math>P</math> merupakan [[himpunan hingga]], maka [[ruas dari suatu persamaan|ruas kanan]] merupakan gabungan berhingga dari sekumpulan himpunan tertutup. Oleh karena [[Himpunan tertutup#Sifat-sifat|gabungan berhingga dari sekumpulan himpunan tertutup juga merupakan himpunan tertutup]], maka terjadi [[kontradiksi]]. Akibatnya, asumsi bahwa <math>P</math> merupakan himpunan hingga bernilai salah, sehingga <math>P</math> haruslah [[himpunan takhingga]]. Dengan kata lain, terdapat takhingga banyaknya bilangan prima.

== Catatan ==
== Pranala luar ==
*  [http://www.everything2.com/index.pl?node_id=1460203 Furstenberg's proof that there are infinitely many prime numbers] di [[Everything2]]
*

== Referensi ==
<references />

== Sumber dan atribusi ==

Konten artikel ini diadaptasi dari [https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Bukti+Furstenberg+mengenai+takhingga+banyaknya+bilangan+prima&oldid=28774497 Wikipedia bahasa Indonesia], revisi 28774497 (2026-01-03T13:54:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.

<!-- WIKI_UNISSULA_PRESENTATION_V4 -->