Bukti Furstenberg mengenai takhingga banyaknya bilangan prima

Dalam matematika, terutama dalam teori bilangan, bukti Hillel Furstenberg mengenai takhingga banyaknya bilangan prima merupakan bukti topologi bahwa himpunan bilangan bulat memuat takhingga banyaknya bilangan prima. Jika ditelaah dengan seksama, isi pembuktiannya lebih condong kepada pernyataan mengenai sifat-sifat barisan aritmetika dibandingkan pernyataan mengenai topologi. Berbeda dengan bukti klasik dari Euclid, bukti Furstenberg merupakan pembuktian melalui kontradiksi. Bukti Furstenberg dipublikasikan pada tahun 1955 dalam The American Mathematical Monthly ketik beliau masih menjadi mahasiswa strata 1 di Universitas Yeshiva.

Bukti Furstenberg

Didefinisikan topologi pada $\mathbb{Z}$yang dikenal sebagai topologi bilangan bulat berjarak samadengan mendefinisikan suatu himpunan $H\subseteq \mathbb{Z}$ sebagai himpunan terbuka jika dan hanya jika $H=\varnothing$ atau $H$ dapat dinyatakan sebagai gabungan dari barisan aritmetika $a\mathbb{Z}+b$, yaitu

$$a\mathbb{Z}+b=\{an+b\mid n\in \mathbb{Z}\}$$

dengan $a\ne 0$. Hal ini setara dengan menyatakan bahwa $H$ adalah himpunan terbuka jika dan hanya jika untuk setiap $x\in H$, terdapat suatu bilangan bulat $a\ne 0$ sedemikian sehingga $a\mathbb{Z}+x\subseteq H$. Berdasarkan definisi yang telah diberikan, maka aksioma untuk ruang topologi dapat dengan mudah diverifikasi:

Topologi ini memiliki dua sifat yang perlu digarisbawahi:

1. Oleh karena setiap himpunan terbuka tak kosong memuat takhingga banyaknya elemen, setiap himpunan hingga tak kosong bukanlah himpunan terbuka. Dengan kata lain, komplemen dari sembarang himpunan hingga tak kosong bukanlah himpunan tertutup.
2. Himpunan basis $a\mathbb{Z}+b$ merupakan himpunan terbuka sekaligus tertutup, sebab $a\mathbb{Z}+b$ merupakan himpunan terbuka (berdasarkan definisi), dan komplemen dari $a\mathbb{Z}+b$ ialah $$(a\mathbb{Z}+b{)}^{𝖼}=\bigcup _{k=1}^{\left|a\right|-1}a\mathbb{Z}+b+k$$

Perhatikan bahwa setiap bilangan bulat selain $-1$ dan $1$ merupakan kelipatan dari suatu bilangan prima. Akibatnya, $$\mathbb{Z}\setminus \{-1,1\}=\bigcup _{p\in P}p\mathbb{Z}$$ dengan $P$ menyatakan himpunan semua bilangan prima. Berdasarkan sifat pertama, himpunan $\mathbb{Z}\setminus \{-1,1\}$ bukan merupakan himpunan tertutup. Di sisi lain, setiap himpunan $p\mathbb{Z}$ merupakan himpunan tertutup, berdasarkan sifat kedua. Andaikan $P$ merupakan himpunan hingga, maka ruas kanan merupakan gabungan berhingga dari sekumpulan himpunan tertutup. Oleh karena gabungan berhingga dari sekumpulan himpunan tertutup juga merupakan himpunan tertutup, maka terjadi kontradiksi. Akibatnya, asumsi bahwa $P$ merupakan himpunan hingga bernilai salah, sehingga $P$ haruslah himpunan takhingga. Dengan kata lain, terdapat takhingga banyaknya bilangan prima.

Pranala luar

• Furstenberg's proof that there are infinitely many prime numbers di Everything2

Sumber dan atribusi

Konten artikel ini diadaptasi dari Wikipedia bahasa Indonesia, revisi 28774497 (2026-01-03T13:54:19Z), yang tersedia berdasarkan lisensi Creative Commons Atribusi-BerbagiSerupa (CC BY-SA). Mohon gunakan konten ini secara bijak serta sesuai dengan ketentuan lisensi yang berlaku.